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第二讲参数方程一、曲线的参数方程第1课时参数方程的概念、参数方程与普通方程的互化[学习目标]1.通过分析抛射体运动中时间与物体位置的关系，了解其参数方程，体会参数的意义(难点)．2.了解一般曲线的参数方程的含义(难点)．3.掌握参数方程和普通方程的互化(重点)．[知识提炼·梳理]1．参数方程的概念(1)概念：在平面直角坐标系中，如果曲线C上任意一点M的坐标(x，y)都是某个变数t的函数x＝f（t），y＝g（t），并且对于t的每一个允许值，由方程组x＝f（t），y＝g（t）所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么方程x＝f（t），y＝g（t）就叫作这条曲线的参数方程，联系变数x，y的变数t叫作参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫作普通方程．(2)参数的意义：参数方程中的参数是联系变数x，y的桥梁，可以是一个有物理意义或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数．同一曲线选取的参数不同，曲线的参数方程形式也不一样．形式不同的参数方程，它们表示的曲线却可以是相同的．(3)参数方程的意义：参数方程借助中间变量把曲线上的动点的两个坐标间接地联系起来，参数方程与普通方程同等地描述了曲线，参数方程实际上是一个方程组，其中x，y分别为曲线上点的横坐标和纵坐标．温馨提示①曲线上任一点与满足参数方程的有序数对(x，y)是一一对应关系．②在表达参数方程时，必须指明参数的取值范围，参数的取值范围不同，所表示的曲线可能不同．2．参数方程的求法首先，建立直角坐标系，设曲线上任意一点P的坐标为(x，y)；其次，选取适当的参数；再次，根据已知条件和图形的几何意义或物理意义，建立点P的坐标与参数的函数式；最后，证明这个参数方程就是所求的曲线的方程．3．参数方程与普通方程的互化(1)参数方程化普通方程：参数方程通过消去参数得到普通方程．(2)普通方程化参数方程：首先确定变数x，y中的一个与参数t的关系，例如x＝f(t)，其次将x＝f(t)代入普通方程解出y＝g(t)，则____________就是曲线的参数方程．x＝f（t），y＝g（t）温馨提示在互化的过程中，必须使x，y的取值范围保持一致．[思考尝试·夯基]1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)．(1)方程x2＝t2，y＝2t＋1可以看作参数方程．()(2)方程x＝t＋1，y＝0可以看作参数方程．()(3)参数方程x＝2t，y＝－t(t为参数)化为普通方程为x＋2y＝0.()(4)若y＝2t(t为参数)，则抛物线y2＝4x的参数方程为x＝t2，y＝2t(t为参数)．()解析：(1)x2＝t2不能把x表示成参数t的函数，不是参数方程．(2)可以作为x轴的参数方程．(3)消去参数t易得x＋2y＝0.(4)由y2＝4x得x＝14y2＝14(2t)2＝t2.答案：(1)×(2)√(3)√(4)√2．下列方程中可以看作参数方程的是()A．x－y－t＝0B．x2＋y2－2ax－9＝0C.x2＝t2，y＝2t－1D.x＝sinθ，y＝cosθ解析：对于A：虽然含有参数t，但它表示的是直线系方程，直接给出了x，y之间的关系，是普通方程；对于B：虽然含有参数a，但它表示的图象方程也是普通方程；对于C：x2＝t2不能把x表示成参数t的函数，也不是参数方程，只有D选项满足参数方程的定义．答案：D3．参数方程x＝cos2θ，y＝sin2θ(θ为参数)表示的曲线是()A．直线B．圆C．线段D．射线解析：x＝cos2θ∈[0，1]，y＝sin2θ∈[0，1]，所以x＋y＝1(x，y∈[0，1])为线段．答案：C4．点M(2，y0)在曲线C：x＝2t，y＝t2－1(t为参数)上，则y0＝________.解析：将M(2，y0)代入参数方程得2＝2t，y0＝t2－1，解得t＝1，y0＝0.答案：05．设x＝2cosθ(θ为参数)，则椭圆x24＋y2＝1的参数方程为________．解析：将x＝2cosθ代入x24＋y2＝1得cos2θ＋y2＝1，所以y2＝sin2θ.所以y＝±sinθ，不妨取y＝sinθ，则椭圆x24＋y2＝1的参数方程为x＝2cosθ，y＝sinθ(θ为参数)．答案：x＝2cosθ，y＝sinθ(θ为参数)答案不唯一，也可以是x＝2cosθ，y＝－sinθ(θ为参数)))类型1参数方程的概念[典例1]已知曲线C的参数方程为x＝t2＋1，y＝2t(t为参数)．(1)判断点A(1，0)，B(5，4)，E(3，2)与曲线C的位置关系；(2)若点F(10，a)在曲线C上，求实数a的值．解：(1)把点A(1，0)的坐标代入方程组，解得t＝0，所以点A(1，0)在曲线上．把点B(5，4)的坐标代入方程组，解得t＝2，所以点B(5，4)也在曲线上．把点E(3，2)的坐标也代入方程组，得到3＝t2＋1，2＝2t，即t＝±2，t＝1.故方程组无解，所以点E不在曲线上．(2)因为点F(10，a)在曲线C上，所以10＝t2＋1，a＝2t，解得t＝3，a＝6或t＝－3，a＝－6.所以a＝±6.归纳升华1．满足某种约束条件的动点的轨迹形成曲线，点与曲线的位置关系有两种：点在曲线上和点不在曲线上．2．对于曲线C的参数方程x＝f（t），y＝g（t）(t为参数)，若点M(x1，y1)在曲线上，则x1＝f（t），y1＝g（t）对应的参数t有解，否则参数t不存在．[变式训练](1)曲线C：x＝t，y＝t－2(t为参数)与y轴的交点坐标是________．(2)已知曲线C的参数方程是x＝2t，y＝3t2－1(t为参数)．①判断点M1(0，－1)和M2(4，10)与曲线C的位置关系；②已知点M(2，a)在曲线C上，求a的值．(1)解析：令x＝0，即t＝0得y＝－2，所以曲线C与y轴交点坐标是(0，－2)．答案：(0，－2)(2)解：①把点M1(0，－1)的坐标代入参数方程x＝2t，y＝3t2－1得0＝2t，－1＝3t2－1，所以t＝0.所以点M1(0，－1)在曲线C上．把点M2(4，10)的坐标代入参数方程x＝2t，y＝3t2－1得4＝2t，10＝3t2－1，方程组无解．所以点M2(4，10)不在曲线C上．②因为点M(2，a)在曲线C上，所以2＝2t，a＝3t2－1.所以t＝1，a＝3×12－1＝2.即a的值为2.类型2求曲线的参数方程(自主研析)[典例2]已知动点P、Q都在曲线C：x＝2cost，y＝2sint(t为参数)上，对应参数分别为t＝α与t＝2α(0α2π)，M为PQ的中点．(1)求M的轨迹的参数方程；(2)将M到坐标原点的距离d表示为α的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点．解：(1)依题意有P(2cosα，2sinα)，Q(2cos2α，2sin2α)，设PQ的中点M(x，y)，由中点坐标公式得x＝2cosα＋2cos2α2＝cosα＋cos2α，y＝2sinα＋2sin2α2＝sinα＋sin2α.因此M(cosα＋cos2α，sinα＋sin2α)．所以M的轨迹的参数方程为x＝cosα＋cos2α，y＝sinα＋sin2(α为参数，0α2π)．(2)M点到坐标原点的距离d＝x2＋y2＝（cosα＋cos2α）2＋（sinα＋sin2α）2＝2＋2（cosαcos2α＋sinαsin2α）＝2＋2cosα＝2cosα2(0α2π)．当α＝π时，d＝0，故M的轨迹过坐标原点．归纳升华1．求曲线的参数方程主要有两种情形，一是题设条件中已选定参数，二是自选参数．后者将因所选参数不同而求出不同的参数方程，对于求出的参数方程，都要标注参数及其取值范围．2．求曲线参数方程的步骤：第一步，建立适当的直角坐标系，设出曲线上任一点M的坐标为(x，y)，画出草图；第二步，选择适当的参数，参数的选择要考虑两点：一是曲线上有一点的坐标(x，y)与参数的关系比较明显，容易列出方程；二是x，y的值可以由参数唯一确定；第三步，根据已知条件、图形的几何性质、问题的物理意义等，建立点的坐标与参数的函数关系式，并化成最简形式；第四步，证明以化简后的参数方程的解为坐标的点都是曲线上的点．(求解过程中第四步通常省略，但要通过检验，并准确标注参数及其取值范围．)[变式训练]如图所示，△ABP是等腰直角三角形，∠B是直角，腰长为a，顶点B、A分别在x轴、y轴上滑动，求点P在第一象限的轨迹的参数方程．解：法一设P点的坐标为(x，y)，过P点作x轴的垂线交x轴于Q.如图所示，则Rt△OAB≌Rt△QBP.取OB＝t，t为参数(0ta)．因为|OA|＝a2－t2，所以|BQ|＝a2－t2.所以点P在第一象限的轨迹的参数方程为x＝t＋a2－t2，y＝t(0ta)．法二设点P的坐标为(x，y)，过点P作x轴的垂线交x轴于点Q，如图所示．取∠QBP＝θ，θ为参数0θπ2，则∠ABO＝π2－θ.在Rt△OAB中，|OB|＝acosπ2－θ＝asinθ.在Rt△QBP中，|BQ|＝acosθ，|PQ|＝asinθ.所以点P在第一象限的轨迹的参数方程为x＝a（sinθ＋cosθ），y＝asinθθ为参数，0θπ2.类型3参数方程与普通方程的互化[典例3](1)化下列曲线的参数方程为普通方程，并指出它是什么曲线．①x＝1＋2t，y＝3－4t(t为参数)；②x＝cosθ＋sinθ，y＝sinθcosθ(θ为参数)．(2)根据所给的条件，把曲线的普通方程化为参数方程．①y2＝2x，y＝t(t为参数)；②x2＋(y－1)2＝1，x＝cosθ(θ为参数)．解：(1)①因为x＝1＋2t，所以2t＝x－1.因为－4t＝－2x＋2，所以y＝3－4t＝3－2x＋2.即y＝－2x＋5(x≥1)，它表示一条射线．②因为x＝cosθ＋sinθ＝2sinθ＋π4，所以x∈[－2，2]．x2＝1＋2sinθcosθ，将sinθcosθ＝y代入，得x2＝1＋2y.所以普通方程为y＝12x2－12(－2≤x≤2)，它是抛物线的一部分．(2)①把y＝t代入y2＝2x得x＝12t2，所以x＝12t2，y＝t(t为参数)，这就是所求的参数方程．②把x＝cosθ代入x2＋(y－1)2＝1.(y－1)2＝sin2θ，y－1＝±sinθ，所以y＝1±sinθ.不妨取y＝1＋sinθ，则所求的参数方程为x＝cosθ，y＝1＋sinθ(θ为参数)．归纳升华1．消去参数的方法主要有三种．①利用解方程的技巧求出参数的表示式，然后运用代入消元法或加减消元法消去参数．②利用三角恒等式借助sin2θ＋cos2θ＝1等消去参数．③根据参数方程本身的结构特征，选用一些灵活的方法)例如借助2t1＋t22＋1－t21＋t22＝1，t＋1t2－t－1t2＝4等)从整体上消去参数．2．将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量x和y的取值范围扩大或缩小，必须根据参数的取值范围，确定函数f(t)和g(t)的值域，即x和y的取值范围．3．普通方程化为参数方程时，选取参数后，要特别注意参数的取值范围，它将决定参数方程是否与普通方程等价．参数的选取不同，得到的参数方程是不同的．[变式训练](1)化下列曲线的参数方程为普通方程，并指出它是什么曲线．①x＝2＋2cosθ，y＝3＋2sinθ(θ为参数)；②x＝et＋e－t，y＝2（et－e－t）(t为参数)．(2)根据所给条件，把曲线的普通方程化为参数方程．①（x－1）23＋（y－2）25＝1，x＝