人教版高中数学选修44课件第二讲一第2课时圆的参数方程

第二讲参数方程一、曲线的参数方程第2课时圆的参数方程[学习目标]1.掌握圆的参数方程，明确圆参数方程中参数的几何意义(重点)．2.会用圆的参数方程解一些数学问题(难点、重点)．[知识提炼·梳理](1)如图所示，圆O的参数方程为____________，其中θ为参数．θ的几何意义是OM0绕点O逆时针旋转到OM的位置时，OM0转过的角度．x＝rcosθ，y＝rsinθ，(2)圆(x－x0)2＋(y－y0)2＝r2的参数方程为___________________________温馨提示圆的参数方程不唯一，选取的参数不同，相应的参数方程也不同．x＝x0＋rcosθ，y＝y0＋rsinθ(θ为参数)．[思考尝试·夯基]1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)．(1)圆x2＋y2＝25的参数方程是x＝5sinθ，y＝5cosθ(θ为参数)．()(2)圆(x＋6)2＋y2＝4的参数方程是x＝6＋2cosθ，y＝2sinθ(θ为参数)．()(3)参数方程x＝4cosθ，y＝4sinθ(θ∈[0，2π)与x＝4cosθ，y＝4sinθθ∈0，π2都表示同一圆．()(4)圆的参数方程为x＝－2＋2cosθ，y＝2sinθ(θ为参数)，则圆心坐标为(－2，0)．()解析：(1)参数方程x＝5sinθ，y＝5cosθ消参后得到x2＋y2＝25，可以表示圆，不过此时参数θ的几何意义与x＝5cosθ，y＝5sinθ中θ的几何意义是不同的，但参数方程是正确的．(2)由圆方程知圆心为(－6，0)，半径为2，故参数方程为x＝－6＋2cosθ，y＝2sinθ，故不正确．(3)x＝4cosθ，y＝4sinθθ∈[0，2π)表示以原点为圆心，半径为4的圆，而x＝4cosθ，y＝4sinθθ∈0，π2表示以原点为圆心，半径为4的圆的一部分，故不正确．(4)由圆的参数方程知圆心为(－2，0)，故正确．答案：(1)√(2)×(3)×(4)√2．圆(x－1)2＋y2＝4上的点可以表示为()A．(－1＋cosθ，sinθ)B．(1＋sinθ，cosθ)C．(－1＋2cosθ，2sinθ)D．(1＋2cosθ，2sinθ)解析：由圆的方程知圆心为(1，0)，半径为2，故由圆的参数方程知D正确．答案：D3．参数方程x＝1－t21＋t2，y＝2t1＋t2(t为参数)，化为普通方程为()A．x2＋(y－1)2＝1B．(x－1)2＋y2＝1C．(x－1)2＋(y－1)2＝1D．x2＋y2＝1解析：x＝1－t21＋t2，1－x1＋x＝t2代入y＝2t1＋t2，所以y＝(1－x2)12，y2＝1－x2，所以x2＋y2＝1.答案：D4．已知圆的普通方程x2＋y2＋2x－6y＋9＝0，则它的参数方程为__________________．解析：由x2＋y2＋2x－6y＋9＝0，得(x＋1)2＋(y－3)2＝1.令x＋1＝cosθ，y－3＝sinθ，所以参数方程为x＝－1＋cosθ，y＝3＋sinθ(θ为参数)．答案：x＝－1＋cosθ，y＝3＋sinθ(θ为参数)(答案不唯一)5．已知点P12，32，Q是圆x＝cosθ，y＝sinθ(θ为参数)上的动点，则|PQ|的最大值是________．解析：由题意，设点Q(cosθ，sinθ)，则|PQ|＝cosθ－122＋sinθ－322＝2－3sinθ－cosθ＝2－2sinθ＋π6故|PQ|max＝2＋2＝2.答案：2类型1圆的参数方程与普通方程互化(自主研析)[典例1](1)已知曲线的参数方程x＝1＋2cost，y＝－2＋2sint(0≤t≤π)，把它化为普通方程，并判断该曲线表示什么图形；(2)已知圆的普通方程为x2＋y2＋2x－6y＋9＝0，将它化为参数方程．解：(1)由曲线的参数方程x＝1＋2cost，y＝－2＋2sint，得x－1＝2cost，y＋2＝2sint.因为cos2t＋sin2t＝1，所以(x－1)2＋(y＋2)2＝4.由于0≤t≤π，所以0≤sint≤1，从而0≤y＋2≤2，即－2≤y≤0.所以所求的曲线的参数方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝4(－2≤y≤0)．这是一个半圆，其圆心为(1，－2)，半径为2.(2)由x2＋y2＋2x－6y＋9＝0得(x＋1)2＋(y－3)2＝1，令x＋1＝cosθ，y－3＝sinθ，所以参数方程为x＝－1＋cosθ，y＝3＋sinθ(θ为参数)．归纳升华1．把圆的参数方程化为普通方程，就是将参数方程中的参变量消去，常利用sin2θ＋cos2θ＝1进行消参，但要注意消去参数时变量范围的一致性．2．将一般方程标准化，引入参数，化为参数方程．将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量x和y取值范围的扩大或缩小，必须根据参数的取值范围确定参数f(t)和g(t)的值域，即x和y的取值范围．[变式训练](2015·福建卷)在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为x＝1＋3cost，y＝－2＋3sint(t为参数)．在极坐标系(与平面直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴)中，直线l的方程为2ρsin(θ－π4)＝m(m∈R)．(1)求圆C的普通方程及直线l的直角坐标方程；(2)设圆心C到直线l的距离等于2，求m的值．解：(1)消去参数t，得到圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝9.由2ρsin(θ－π4)＝m，得ρsinθ－ρcosθ－m＝0.所以直线l的直角坐标方程为x－y＋m＝0.(2)依题意，圆心C到直线l的距离等于2，则|1－（－2）＋m|2＝2，解得m＝－3±22.类型2利用圆的参数方程求轨迹[典例2]如图，圆O的半径为2，P是圆上的动点，Q(6，0)是x轴上的定点，M是PQ的中点．当点P绕点O作匀速圆周运动时，求点M的轨迹的参数方程．解：设点M的坐标为(x，y)，∠POQ＝θ，取θ为参数，则点P的坐标为(2cosθ，2sinθ)．由中点坐标公式可得x＝2cosθ＋62＝cosθ＋3，y＝2sinθ＋02＝sinθ.因此点M的轨迹的参数方程为x＝cosθ＋3，y＝sinθ(θ为参数)．归纳升华当点P在圆(x－x0)2＋(y－y0)2＝r2上时，可设其坐标为(x0＋rcosθ，y0＋ysinθ)然后找所求动点与点P的关系，从而求得其参数方程．[变式训练]在平面直角坐标系xOy中，若直线l：x＝t，y＝t－a(t为参数)过椭圆C：x＝3cosφ，y＝2sinφ(φ为参数)的右顶点，求常数a的值．解：直线l的普通方程为x－y－a＝0，椭圆C的标准方程为x29＋y24＝1，所以椭圆C的右顶点坐标为(3，0)，若直线l过点(3，0)，则3－a＝0，所以a＝3.类型3利用圆的参数方程求最值(规范解答)[典例3](本小题满分10分)已知直线l的方程为y＝x＋4，圆C的参数方程为x＝2cosθ，y＝2＋sinθ(θ为参数)，以原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系．(1)求直线l与圆C的交点的极坐标；(2)若P为圆C上的动点，求P到直线l的距离d的最大值．审题指导：(1)先将圆的参数方程化为普通方程，然后和直线方程联立方程组，解得交点的直角坐标，再化为直角坐标．(2)利用点到直线的距离公式求出距离，然后利用三角函数知识求最值或结合圆的性质求最值．[规范解答](1)直线l：y＝x＋4，圆C：x2＋(y－2)2＝4，(1分)联立方程组y＝x＋4，x2＋（y－2）2＝4，(2分)解得x＝－2，y＝2或x＝0，y＝4，(3分)对应的极坐标分别为22，3π4，4，π2.(5分)(2)设P(2cosθ，2＋2sinθ)，(6分)则d＝|2cosθ－2sinθ＋2|2＝(7分)22cosθ＋π4＋1.(8分)当cosθ＋π4＝1时，失分警示：若没有此说明，则扣1分．d取得最大值2＋2.(10分)归纳升华1．根据圆的参数方程可知圆x2＋y2＝r2上动点M(x，y)可直接写成M(rcosθ，rsinθ)，圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上动点M(x，y)可直接写成M(a＋rcosθ，b＋rsinθ)，这样就把与圆有关的解析几何问题转化为三角函数问题．2．利用圆的参数方程容易解决一些与圆有关的最值和取值范围问题．求最值问题时，利用圆的参数方程来将问题合理地转化，常用的方法是建立代数与三角函数的联系，利用三角函数的值域求解，解决此类问题还要注意数形结合思想的应用．[变式训练]已知某圆的极坐标方程为ρ2－42ρcosθ－π4＋6＝0.(1)将极坐标方程化为直角坐标方程，并选择恰当的参数写出它的参数方程；(2)若点P(x，y)在该圆上，求x＋y的最大值和最小值．解：(1)直角坐标方程为x2＋y2－4x－4y＋6＝0，将方程配方为(x－2)2＋(y－2)2＝2，所以圆心为(2，2)，半径r＝2，故圆的参数方程为x＝2＋2cosα，y＝2＋2sinα(α为参数)．(2)x＋y＝2＋2cosα＋2＋2sinα＝4＋2sinα＋π4，故x＋y的最大值是6，最小值是2.1．圆的参数方程主要用于解决与圆有关的轨迹问题与最值问题．2．利用圆的参数方程求x，y代数式的取值范围问题，常把普通方程化为参数方程，利用三角函数的值域来求解.