第二讲参数方程一、曲线的参数方程第2课时圆的参数方程[学习目标]1.掌握圆的参数方程,明确圆参数方程中参数的几何意义(重点).2.会用圆的参数方程解一些数学问题(难点、重点).[知识提炼·梳理](1)如图所示,圆O的参数方程为____________,其中θ为参数.θ的几何意义是OM0绕点O逆时针旋转到OM的位置时,OM0转过的角度.x=rcosθ,y=rsinθ,(2)圆(x-x0)2+(y-y0)2=r2的参数方程为___________________________温馨提示圆的参数方程不唯一,选取的参数不同,相应的参数方程也不同.x=x0+rcosθ,y=y0+rsinθ(θ为参数).[思考尝试·夯基]1.思考判断(正确的打“√”,错误的打“×”).(1)圆x2+y2=25的参数方程是x=5sinθ,y=5cosθ(θ为参数).()(2)圆(x+6)2+y2=4的参数方程是x=6+2cosθ,y=2sinθ(θ为参数).()(3)参数方程x=4cosθ,y=4sinθ(θ∈[0,2π)与x=4cosθ,y=4sinθθ∈0,π2都表示同一圆.()(4)圆的参数方程为x=-2+2cosθ,y=2sinθ(θ为参数),则圆心坐标为(-2,0).()解析:(1)参数方程x=5sinθ,y=5cosθ消参后得到x2+y2=25,可以表示圆,不过此时参数θ的几何意义与x=5cosθ,y=5sinθ中θ的几何意义是不同的,但参数方程是正确的.(2)由圆方程知圆心为(-6,0),半径为2,故参数方程为x=-6+2cosθ,y=2sinθ,故不正确.(3)x=4cosθ,y=4sinθθ∈[0,2π)表示以原点为圆心,半径为4的圆,而x=4cosθ,y=4sinθθ∈0,π2表示以原点为圆心,半径为4的圆的一部分,故不正确.(4)由圆的参数方程知圆心为(-2,0),故正确.答案:(1)√(2)×(3)×(4)√2.圆(x-1)2+y2=4上的点可以表示为()A.(-1+cosθ,sinθ)B.(1+sinθ,cosθ)C.(-1+2cosθ,2sinθ)D.(1+2cosθ,2sinθ)解析:由圆的方程知圆心为(1,0),半径为2,故由圆的参数方程知D正确.答案:D3.参数方程x=1-t21+t2,y=2t1+t2(t为参数),化为普通方程为()A.x2+(y-1)2=1B.(x-1)2+y2=1C.(x-1)2+(y-1)2=1D.x2+y2=1解析:x=1-t21+t2,1-x1+x=t2代入y=2t1+t2,所以y=(1-x2)12,y2=1-x2,所以x2+y2=1.答案:D4.已知圆的普通方程x2+y2+2x-6y+9=0,则它的参数方程为__________________.解析:由x2+y2+2x-6y+9=0,得(x+1)2+(y-3)2=1.令x+1=cosθ,y-3=sinθ,所以参数方程为x=-1+cosθ,y=3+sinθ(θ为参数).答案:x=-1+cosθ,y=3+sinθ(θ为参数)(答案不唯一)5.已知点P12,32,Q是圆x=cosθ,y=sinθ(θ为参数)上的动点,则|PQ|的最大值是________.解析:由题意,设点Q(cosθ,sinθ),则|PQ|=cosθ-122+sinθ-322=2-3sinθ-cosθ=2-2sinθ+π6故|PQ|max=2+2=2.答案:2类型1圆的参数方程与普通方程互化(自主研析)[典例1](1)已知曲线的参数方程x=1+2cost,y=-2+2sint(0≤t≤π),把它化为普通方程,并判断该曲线表示什么图形;(2)已知圆的普通方程为x2+y2+2x-6y+9=0,将它化为参数方程.解:(1)由曲线的参数方程x=1+2cost,y=-2+2sint,得x-1=2cost,y+2=2sint.因为cos2t+sin2t=1,所以(x-1)2+(y+2)2=4.由于0≤t≤π,所以0≤sint≤1,从而0≤y+2≤2,即-2≤y≤0.所以所求的曲线的参数方程为(x-1)2+(y+2)2=4(-2≤y≤0).这是一个半圆,其圆心为(1,-2),半径为2.(2)由x2+y2+2x-6y+9=0得(x+1)2+(y-3)2=1,令x+1=cosθ,y-3=sinθ,所以参数方程为x=-1+cosθ,y=3+sinθ(θ为参数).归纳升华1.把圆的参数方程化为普通方程,就是将参数方程中的参变量消去,常利用sin2θ+cos2θ=1进行消参,但要注意消去参数时变量范围的一致性.2.将一般方程标准化,引入参数,化为参数方程.将参数方程化为普通方程时,要注意防止变量x和y取值范围的扩大或缩小,必须根据参数的取值范围确定参数f(t)和g(t)的值域,即x和y的取值范围.[变式训练](2015·福建卷)在平面直角坐标系xOy中,圆C的参数方程为x=1+3cost,y=-2+3sint(t为参数).在极坐标系(与平面直角坐标系xOy取相同的长度单位,且以原点O为极点,以x轴非负半轴为极轴)中,直线l的方程为2ρsin(θ-π4)=m(m∈R).(1)求圆C的普通方程及直线l的直角坐标方程;(2)设圆心C到直线l的距离等于2,求m的值.解:(1)消去参数t,得到圆的标准方程为(x-1)2+(y+2)2=9.由2ρsin(θ-π4)=m,得ρsinθ-ρcosθ-m=0.所以直线l的直角坐标方程为x-y+m=0.(2)依题意,圆心C到直线l的距离等于2,则|1-(-2)+m|2=2,解得m=-3±22.类型2利用圆的参数方程求轨迹[典例2]如图,圆O的半径为2,P是圆上的动点,Q(6,0)是x轴上的定点,M是PQ的中点.当点P绕点O作匀速圆周运动时,求点M的轨迹的参数方程.解:设点M的坐标为(x,y),∠POQ=θ,取θ为参数,则点P的坐标为(2cosθ,2sinθ).由中点坐标公式可得x=2cosθ+62=cosθ+3,y=2sinθ+02=sinθ.因此点M的轨迹的参数方程为x=cosθ+3,y=sinθ(θ为参数).归纳升华当点P在圆(x-x0)2+(y-y0)2=r2上时,可设其坐标为(x0+rcosθ,y0+ysinθ)然后找所求动点与点P的关系,从而求得其参数方程.[变式训练]在平面直角坐标系xOy中,若直线l:x=t,y=t-a(t为参数)过椭圆C:x=3cosφ,y=2sinφ(φ为参数)的右顶点,求常数a的值.解:直线l的普通方程为x-y-a=0,椭圆C的标准方程为x29+y24=1,所以椭圆C的右顶点坐标为(3,0),若直线l过点(3,0),则3-a=0,所以a=3.类型3利用圆的参数方程求最值(规范解答)[典例3](本小题满分10分)已知直线l的方程为y=x+4,圆C的参数方程为x=2cosθ,y=2+sinθ(θ为参数),以原点为极点,x轴正半轴为极轴,建立极坐标系.(1)求直线l与圆C的交点的极坐标;(2)若P为圆C上的动点,求P到直线l的距离d的最大值.审题指导:(1)先将圆的参数方程化为普通方程,然后和直线方程联立方程组,解得交点的直角坐标,再化为直角坐标.(2)利用点到直线的距离公式求出距离,然后利用三角函数知识求最值或结合圆的性质求最值.[规范解答](1)直线l:y=x+4,圆C:x2+(y-2)2=4,(1分)联立方程组y=x+4,x2+(y-2)2=4,(2分)解得x=-2,y=2或x=0,y=4,(3分)对应的极坐标分别为22,3π4,4,π2.(5分)(2)设P(2cosθ,2+2sinθ),(6分)则d=|2cosθ-2sinθ+2|2=(7分)22cosθ+π4+1.(8分)当cosθ+π4=1时,失分警示:若没有此说明,则扣1分.d取得最大值2+2.(10分)归纳升华1.根据圆的参数方程可知圆x2+y2=r2上动点M(x,y)可直接写成M(rcosθ,rsinθ),圆(x-a)2+(y-b)2=r2上动点M(x,y)可直接写成M(a+rcosθ,b+rsinθ),这样就把与圆有关的解析几何问题转化为三角函数问题.2.利用圆的参数方程容易解决一些与圆有关的最值和取值范围问题.求最值问题时,利用圆的参数方程来将问题合理地转化,常用的方法是建立代数与三角函数的联系,利用三角函数的值域求解,解决此类问题还要注意数形结合思想的应用.[变式训练]已知某圆的极坐标方程为ρ2-42ρcosθ-π4+6=0.(1)将极坐标方程化为直角坐标方程,并选择恰当的参数写出它的参数方程;(2)若点P(x,y)在该圆上,求x+y的最大值和最小值.解:(1)直角坐标方程为x2+y2-4x-4y+6=0,将方程配方为(x-2)2+(y-2)2=2,所以圆心为(2,2),半径r=2,故圆的参数方程为x=2+2cosα,y=2+2sinα(α为参数).(2)x+y=2+2cosα+2+2sinα=4+2sinα+π4,故x+y的最大值是6,最小值是2.1.圆的参数方程主要用于解决与圆有关的轨迹问题与最值问题.2.利用圆的参数方程求x,y代数式的取值范围问题,常把普通方程化为参数方程,利用三角函数的值域来求解.