人教版高中数学选修44课件第二讲三直线的参数方程

第二讲参数方程三、直线的参数方程[学习目标]1.掌握直线参数方程的标准形式，明确参数的几何意义(重点)．2.能运用直线的参数方程解决某些相关的应用问题(重点、难点)．3.通过关于直线和圆锥曲线的综合练习，进一步体会参数方程的方便之处和参数的作用，增强在处理这一类问题中的参数意识(难点)．[知识提炼·梳理]1．直线的参数方程经过点M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为_______________(t为参数)．x＝x0＋tcosα，y＝y0＋tsinα温馨提示(1)上直线l的参数方程称为直线参数的标准形式，此时参数t有明确的几何意义．(2)参数方程为x＝x0＋at，y＝y0＋bt(t为参数)，称为直线参数方程的一般形式，此时参数t不具有标准式中参数的几何意义．2．直线的参数方程中参数t的几何意义参数t的绝对值表示参数t所对应的点M到定点M0的距离．温馨提示(1)当t0时，M0M→的方向向上．(2)当t0时，M0M→的方向向下．(3)当t＝0时，点M与M0重合．[思考尝试·夯基]1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)．(1)直线y＝2x＋1的参数方程是x＝t－1，y＝2t－1(t为参数)．()(2)直线的参数方程为x＝－1＋t2，y＝2＋32t(t为参数)，M0(－1，2)和M(x，y)是该直线上的定点和动点，则|t|的几何意义是M0M→.()(3)直线x＝－2＋tcos30°，y＝3－tsin60°(t为参数)的倾斜角α等于30°.()(4)直线的参数方程为x＝2＋12t，y＝3＋32t(t为参数)，则它的斜截式方程为y＝3x＋3－23.()解析：(1)把x＝t－1，y＝2t－1，消去参数t后得y＝2x＋1，故(1)正确．(2)直线参数方程的参数几何意义易知|t|的几何意义是|M0M→|，故(2)错误．(3)直线方程可化为x＝－2＋32t，y＝3－32t，消去参数t可得x＋y＝1，故直线的倾斜角为135°.(4)把参数方程消参后即得，故正确．答案：(1)√(2)×(3)×(4)√2．下列可以作为直线2x－y＋1＝0的参数方程的是()A.x＝1＋t，y＝3＋t(t为参数)B.x＝1－t，y＝5－2t(t为参数)C.x＝－t，y＝1－2t(t为参数)D.x＝2＋255t，y＝5＋55t(t为参数)解析：题目所给的直线的斜率为2，选项A中直线斜率为1，选项D中直线斜率为12，所以可排除选项A，D.而选项B中直线的普通方程为2x－y＋3＝0，故选C.答案：C3．直线x＝2＋3t，y＝－1＋t(t为参数)上对应t＝0，t＝1两点间的距离是()A．1B.10C．10D．22解析：将t＝0，t＝1代入参数方程可得两点坐标为(2，－1)和(5，0)，所以d＝（2－5）2＋（－1－0）2＝10.答案：B4．设直线l过点A(2，－4)，倾斜角为56π，则直线l的参数方程是________________．解析：直线l的参数方程为x＝2＋tcos56π，y＝－4＋tsin56π(t为参数)，即x＝2－32t，y＝－4＋12t(t为参数)．答案：x＝2－32t，y＝－4＋12t(t为参数)5．已知直线l1：x＝1＋3t，y＝2－4t(t为参数)与直线l2：2x－4y＝5相交于点B，且点A(1，2)，则|AB|＝________．解析：将x＝1＋3t，y＝2－4t，代入2x－4y＝5，得t＝12，则B52，0.而A(1，2)，得|AB|＝52.答案：52类型1直线参数方程的标准形式(自主研析)[典例1]已知直线l过点M0(1，3)，倾斜角为π3，判断方程x＝1＋12t，y＝3＋32t(t为参数)和方程x＝1＋t，y＝3＋3t(t为参数)是否为直线l的参数方程．如果是直线l的参数方程，那么请指出是参数方程中的哪种形式，并指出方程中的参数t是否具有标准形式中参数的几何意义．[自主解答]因为以上两个方程消去参数后，均可以得到直线l的普通方程为3x－y－3＋3＝0，所以以上两个方程都是直线l的参数方程，其中x＝1＋12t，y＝3＋32t(cosα＝12，sinα＝32，t为参数)是标准形式，参数t的绝对值是有向线段M0M→的长度，而方程x＝1＋t，y＝3＋3t(t为参数)是非标准形式，参数t不具有上述几何意义．归纳升华1．已知直线l上一点的坐标和直线的倾斜角，可直接写出直线参数方程．2．已知直线l的参数方程求倾斜角α.(1)若是标准式x＝x0＋tcosα，y＝y0＋tsinα(t为参数)，则可直接得出倾斜角即方程中的α，否则需化成标准式再求α.(2)若是一般式x＝x0＋at，y＝y0＋bt，则当a≠0时，斜率k＝ba，再由tanα＝ba及0≤απ求出α，当a＝0时，显然直线与x轴垂直，倾斜角为α＝π2.(3)若是其他形式，则通过消参化成普通方程，再求斜率及倾斜角．[变式训练](1)若直线的参数方程为x＝3＋12t，y＝3－32t(t为参数)，则此直线的斜率为()A.3B．－3C.33D．－33(2)设直线l过点(1，－1)，倾斜角为π6，则直线l的参数方程为________．解析：(1)直线的参数方程x＝3＋12t，y＝3－32t(t为参数)可化为标准形式x＝3＋－12（－t），y＝3＋32（－t）(－t为参数)．所以直线的斜率为－3.(2)直线l的参数方程为x＝1＋tcosπ6，y＝－1＋tsinπ6(t为参数)，即x＝1＋32t，y＝－1＋12t(t为参数)．答案：(1)B(2)x＝1＋32t，y＝－1＋12t(t为参数)类型2直线参数方程的一般式[典例2]设直线的参数方程为x＝5＋3t，y＝10－4t(t为参数)．(1)求直线的普通方程；(2)化参数方程为标准形式．解：(1)由y＝10－4t，得t＝10－y4，代入x＝5＋3t，得x＝5＋3×10－y4.化简得普通方程为4x＋3y－50＝0.(2)把方程变形为x＝5＋3t＝5－35×（－5t），y＝10＋45×（－5t）.令cosα＝－35，sinα＝45.u＝－5t，则参数方程的标准形式为：x＝5－35u，y＝10＋45u(u为参数)．归纳升华如果直线的参数方程的一般形式为x＝x0＋ct，y＝y0＋dt(t为参数；c，d∈R)，则通过x＝x0＋cc2＋d2（c2＋d2·t），y＝y0＋dc2＋d2（c2＋d2·t），就可以把直线的参数方程化为标准形式：x＝x0＋cc2＋d2t′，y＝y0＋dc2＋d2t′(其中t′是参数，且t′＝c2＋d2·t)．[变式训练]化直线的参数方程x＝1＋3t，y＝3＋6t(t为参数)为参数方程的标准形式．解：由x＝1＋3t，y＝3＋6t得x＝1＋332＋（6）2（32＋（6）2t），y＝3＋632＋（6）2（32＋（6）2t），令t′＝32＋（6）2t，得到直线l的参数方程的标准形式为：x＝1＋155t′，y＝3＋105t′(t′为参数)．类型3直线的参数方程中参数的几何意义的应用(互动探究)[典例3]一直线过点P0(3，4)，倾斜角a＝π4，求此直线与直线3x＋2y＝6的交点M与P0之间的距离．解：设直线的参数方程为x＝3＋22t，y＝4＋22t(t为参数)，将它代入已知直线3x＋2y－6＝0得3(3＋22t)＋24＋22t＝6，解得t＝－1125，则|MP0|＝|t|＝1125.[迁移探究](变换条件，改变问法)过抛物线y2＝4x的焦点F作倾斜角为3π4的直线，它与抛物线交于A，B两点，求这两点之间的距离．解：由题意知F(1，0)，则直线的参数方程为x＝1－22t，y＝22t(t为参数)，代入抛物线方程得(22t)2＝4(1－22t)，整理得t2＋42t－8＝0，由一元二次方程根与系数的关系可得t1＋t2＝－42，t1t2＝－8，由参数t的几何意义得|AB|＝|t1－t2|＝（t1＋t2）2－4t1t2＝64＝8.归纳升华1．在直线的参数方程x＝x0＋tcosα，y＝y0＋tsinα(t为参数)中，参数t的绝对值表示直线上动点M到定点M0的距离，参数t可以理解为直线l上有向线段M0M→的数量．对于直线l上任意两点A，B(不重合)，若对应的参数值为tA，tB，那么|AB→|＝|M0B→－M0A→|＝|tB－tA|，通常把这一公式叫作参数方程下的弦长公式．2．若直线参数方程为x＝x0＋at，y＝y0＋bt(t为参数)，那么对于直线l上任意两点A，B(不重合)，若对应的参数值为tA，tB，则|AB→|＝a2＋b2|tA－tB|.另外，对于这种情形也可以先将参数方程转化为x＝x0＋tcosα，y＝y0＋tsinα(t为参数)再求解．类型4直线与圆、圆锥曲线的综合(规范解答)[典例4](本小题满分10分)已知直线l经过点P12，1，倾斜角α＝π6，圆C的极坐标方程为ρ＝2·cosθ－π4.(1)写出直线l的参数方程，并把圆C的方程化为直角坐标方程；(2)设l与圆C相交于A，B两点，求点P到A，B两点的距离之积．审题指导：(1)由已知直线l经过点P12，1，倾斜角α＝π6，利用直线参数方程的定义，我们易得到直线l的参数方程；利用两角差的余弦公式，可得到ρ＝cosθ＋sinθ，进而即可得到圆C的标准方程．(2)联立直线与圆的方程，我们可以得到一个关于t的方程，由于|t|表示P点到A，B的距离，故点P到A，B两点距离之积为|t1·t2|，根据韦达定理，即可得到答案．[规范解答](1)直线l的参数方程为x＝12＋tcosπ6，y＝1＋tsinπ6(t为参数)，即x＝12＋32t，y＝1＋12t(t为参数)．(2分)由ρ＝2cosθ－π4得ρ＝cosθ＋sinθ，所以ρ2＝ρcosθ＋ρsinθ，得x2＋y2＝x＋y，即圆C的直角坐标方程为x－122＋y－122＝12.(5分)(2)把x＝12＋32t，y＝1＋12t代入x－122＋y－122＝12，得t2＋12t－14＝0，(7分)设A、B两点对应的参数分别为t1，t2，失分警示：若漏掉此步，则扣1分．则t1t2＝－14，所以|PA|·|PB|＝|t1·t2|＝14.(10分)归纳升华1．标准形式的参数方程中参数的应用．直线l的参数方程为x＝x0＋tcosα，y＝y0＋tsinα(t为参数)．(1)若P1、P2是直线l上的两个点，对应的参数分别为t1，t2，则向量P1P2→的数量为t2－t1，所以|P2P1→|＝|t2－t1|；若P1，P2是直线l与圆锥曲线的两个交点，则弦长|P1P2|＝|t2－t1|.(2)若P1P2的中点为P3，且P1，P2，P3对应的参数分别为t1，t2，t3，则t3＝t1＋t22.特别地，若直线l上的两个点P1，P2的中点为M0(x0，y0)，则t1＋t2＝0，t1t20.2．非标准形式的参数方程中参数的应用．根据非标准形式的参数方程x＝x0＋at，y＝y0＋bt(t为参数)化标准形式的公式，非标准形式中的a2＋b2t具有标准形式参数方程x＝x0＋tcosα，y＝y0＋tsinα(α为参数)中参数t的几何意义，故可以直接利用非标准形式的参数方程解题．[变式训练]在直角坐标系xOy中，过点P(1，－2)的直线l的倾斜角为45°.以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝2cosθ，直线