第二讲参数方程二、圆锥曲线的参数方程第2课时双曲线的参数方程和抛物线的参数方程[学习目标]1.了解抛物线和双曲线的参数方程,了解抛物线参数方程中参数的几何意义(重点).2.利用抛物线和双曲线的参数方程处理问题(重点、难点).[知识提炼·梳理]1.双曲线的参数方程双曲线x2a2-y2b2=1的参数方程为______________θ为参数,θ∈[0,2π)且θ≠π2,θ≠3π2.x=asecθ,y=btanθ温馨提示参数θ是点M所对应的圆的半径的旋转角(称为点M的离心角),而不是OM的旋转角.2.抛物线的参数方程如图,抛物线y2=2px(p0)的参数方程为_____________t为参数,t=1tanα.x=2pt2,y=2pt温馨提示t=1sinα(α是以射线OM为终边的角),即参数t表示抛物线上除顶点之外的任意一点与原点连线的斜率的倒数.[思考尝试·夯基]1.思考判断(正确的打“√”,错误的打“×”).(1)双曲线x216-y29=1的参数方程为x=4secφ,y=3tanφ(φ为参数),φ∈[0,2π).()(2)抛物线y2=-2px(p0)的参数方程是x=-2pt2,y=2pt(t为参数).()(3)圆锥曲线x=t2,y=2t(t为参数)的焦点坐标是(1,0).()解析:(1)由双曲线的参数方程易知其参数方程为x=4secφ,y=3tanφ(φ为参数),但φ∈[0,2π)且φ≠π2,φ≠3π2,故(1)错误.(2)由参数方程消去参数t可得普通方程为y2=-2px(p0),故(2)正确.(3)由x=t2,y=2t得y2=4x为抛物线方程,故其焦点为(1,0).答案:(1)×(2)√(3)√2.双曲线x=23tanα,y=6secα(α为参数)的两焦点坐标是()A.(0,-43),(0,43)B.(-43,0),(43,0)C.(0,-3),(0,3)D.(-3,0),(3,0)解析:tanα=x23,secα=y6,由sec2α-tan2α=1,得y262-x2(23)2=1,即y236-x212=1.焦点在y轴上,且c2=a2+b2=48,易得双曲线的焦点坐标是(0,-43),(0,43).答案:A3.过点M(2,4)且与抛物线x=2t2,y=4t只有一个公共点的直线有()A.0条B.1条C.2条D.3条解析:由x=2t2,y=4t得y2=8x.所以点M(2,4)在抛物线上.所以过点M(2,4)与抛物线只有一个公共点的直线有2条.答案:C4.双曲线x2-y2=1的参数方程是_______________.解析:由x2-y2=1,又sec2θ-tan2θ=1,所以令x=secθ,y=tanθ.故参数方程为x=secθ,y=tanθ(θ为参数).答案:x=secθ,y=tanθ(θ为参数)5.设曲线C的参数方程为x=t,y=t2(t为参数),若以直角坐标系的原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则曲线C的极坐标方程为________________.解析:由x=t,y=t2得y=x2,令x=ρcosθ,y=ρsinθ,代入整理得ρcos2θ-sinθ=0,即曲线C的极坐标方程是ρcos2θ-sinθ=0.答案:ρcos2θ-sinθ=0类型1双曲线的参数方程及其应用(互动探究)[典例1]已知点P(0,2)与双曲线x2-y2=1上一点Q,求P、Q两点间距离的最小值.解:把双曲线方程化为参数方程x=secθ,y=tanθ(θ为参数),设双曲线上点Q(secθ,tanθ),则|PQ|2=sec2θ+(tanθ-2)2=(tan2θ+1)+(tan2θ-4tanθ+4)=2tan2θ-4tanθ+5=2(tanθ-1)2+3,当tanθ-1=0,即θ=π4时,|PQ|2取最小值3,此时有|PQ|=3.即P、Q两点间的最小距离为3.[迁移探究](变换条件)已知圆O1:x2+(y-2)2=1上一点P与双曲线x2-y2=1上一点Q,求P,Q两点间距离的最小值.解:设Q(secθ,tanθ),由题意知|O1P|+|PQ|≥|O1Q|.|O1Q|2=sec2θ+(tanθ-2)2=(tan2θ+1)+(tan2θ-4tanθ+4)=2tan2θ-4tanθ+5=2(tanθ-1)2+3,当tanθ=1时,|O1Q|2取得最小值为3,此时有|O1Q|min=3,|PQ|min=3-1.归纳升华当点P在双曲线x2a2-y2b2=1上时,可设P(asecφ,btanφ),其中φ∈[0,2π),且φ≠π2,φ≠32π,从而把与双曲线上的点的坐标有关的问题转化为三角函数问题来处理.类型2抛物线的参数方程及其应用(规范解答)[典例2](本小题满分10分)如图所示,O是直角坐标系的原点,A、B是抛物线y2=2px(p0)上异于顶点的两个动点,且OA⊥OB于O,A、B在什么位置时,△AOB的面积最小?最小值是多少?审题指导:利用抛物线的参数方程,将△AOB的面积用其参数表示,再利用均值不等式求最值.[规范解答]根据题意设点A,B的坐标分别为A(2pt21,2pt1),B(2pt22,2pt2)(t1≠t2,且t1t2≠0),(1分)则:|OA|=(2pt21)2+(2pt1)2=2p|t1|t21+1,(2分)|OB|=(2pt22)2+(2pt2)2=2p|t2|t22+1,(3分)因为OA⊥OB,所以OA→·OB→=0,即2pt21·2pt22+2pt1·2pt2=0,所以t1·t2=-1.(4分)△AOB的面积为S△AOB=12|OA|·|OB|=12×2p|t1|.t21+1·2p|t2|t22+1=(5分)2p2|t1t2|(t21+1)(t22+1)=2p2t21+t22+2=2p2t21+1t21+2≥(6分)2p22+2=4p2,(7分)当且仅当t21=1t21,即t1=1,t2=-1或t1=-1,t2=1时,等号成立.(9分)失分警示:若漏掉一组解扣1分.所以A,B的坐标分别为(2p,2p),(2p,-2p)或(2p,-2p),(2p,2p)时,△AOB的面积最小,最小值为4p2.(10分)归纳升华若点M在抛物线y2=2px(p0)上,可根据其参数方程设M(2pt2,2pt),从而把与抛物线上的点的坐标有关的问题转化为与参数t有关的问题.[变式训练]已知抛物线y2=2px(p0),过顶点的两弦OA⊥OB于O,求分别以OA,OB为直径的两圆的另一交点Q的轨迹.解:设A(2pt21,2pt1),B(2pt22,2pt2),则以OA为直径的圆的方程为x2+y2-2pt21x-2pt1y=0,以OB为直径的圆的方程为x2+y2-2pt22x-2pt2y=0,即t1,t2为方程2pxt2+2pyt-x2-y2=0的两根,所以t1t2=-(x2+y2)2px.又OA⊥OB,所以t1t2=-1,即x2+y2-2px=0,所以另一交点Q的轨迹是以(p,0)为圆心,p为半径的圆.1.双曲线的参数方程主要应用价值在于:(1)通过参数(角)简明地表示曲线上任一点的坐标;(2)将解析几何中的计算问题转化为三角函数问题,从而运用三角函数性质及变换公式帮助求解最值、参数的取值范围等问题.2.在利用参数方程求焦点坐标、准线方程时,应先判断抛物线的对称轴及开口方向,在方程的转化过程中要注意参数的范围限制.