人教版高中数学选修44课件第二讲四渐开线与摆线

第二讲参数方程四、渐开线与摆线[学习目标]1.了解圆的渐开线的产生过程及它的参数方程(重点)．2.了解摆线的产生过程及它的参数方程(重点)．3.体会用向量知识推导运动轨迹曲线的方法和步骤(难点)．[知识提炼·梳理]1.圆的渐开线的参数方程以基圆圆心O为原点，直线OA为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系．设基圆的半径为r，绳子外端M的坐标为(x，y)，则有______________________(φ是参数)．这就是圆的渐开线的参数方程．x＝r（cosφ＋φsinφ），y＝r（sinφ－φcosφ）温馨提示(1)圆的渐开线的实质是直线在圆上滚动时直线上定点的轨迹．(2)基圆大小不等的渐开线形状不同，一般基圆越大，它的渐开线愈趋平直．(3)基圆以内无渐开线．(4)字母r、φ的意义：r是基圆的半径，参数φ是绳子外端运动时绳子上的定点M相对于圆心的张角．其中的∠AOB即是角φ，点M由参数φ唯一确定．(5)圆的渐开线的参数方程不宜化为普通方程，普通方程既烦琐又没有实际意义．2．圆的摆线的参数方程半径为r的圆所产生摆线的参数方程为：________________________(φ为参数)．x＝r（φ－sinφ），y＝r（1－cosφ）温馨提示(1)摆线的每一拱的宽度等于圆的周长，拱高等于圆的直径．(2)字母r，φ的意义：r指定圆的半径，参数φ指圆上定点相对于某一定点运动所张开的角度大小．(3)与圆的渐开线参数方程一样，摆线的参数方程也不宜化为普通方程．[思考尝试·夯基]1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)．(1)圆的渐开线的参数方程不能转化为普通方程．()(2)圆的渐开线也可以转化为普通方程，但是转化后的普通方程比较麻烦，且不容易看出坐标之间的关系，所以常使用参数方程研究圆的渐开线问题．()(3)在求圆的摆线和渐开线方程时，如果建立的坐标系不同，可能会得到不同的参数方程．()(4)圆的渐开线和x轴一定有交点而且是唯一的交点．()解析：对于一个圆，只要半径确定，渐开线和摆线的形状就是确定的，但是随着选择坐标系的不同，其在坐标系中的位置也会不同，相应的参数方程也会有所区别，至于渐开线和坐标轴的交点要看坐标系的选取．答案：(1)×(2)√(3)√(4)×2．当φ＝2π时，圆的渐开线x＝6（cosφ＋φsinφ），y＝6（sinφ－φcosφ）(φ为参数)上的点是()A．(6，0)B．(6，6π)C．(6，－12π)D．(－π，12π)解析：当φ＝2π时，代入圆的渐开线方程，得x＝6(cos2π＋2π·sin2π)＝6，y＝6(sin2π－2π·cos2π)＝－12π.答案：C3．已知摆线的参数方程为x＝2（φ－sinφ），y＝2（1－cosφ）(φ为参数)，该摆线一个拱的宽度与高度分别是()A．2π，2B．2π，4C．4π，2D．4π，4解析：因为半径r＝2，所以拱宽为2πr＝4π，拱高为2r＝4.答案：D4．写出半径为2的圆的渐开线参数方程：_________．解析：半径为2的圆的渐开线参数方程为x＝2（cosφ＋φsinφ），y＝2（sinφ－φcosφ）(φ为参数)．答案：x＝2（cosφ＋φsinφ），y＝2（sinφ－φcosφ）(φ为参数)5．摆线x＝2（t－sint），y＝2（1－cost）(0≤t≤2π)与直线y＝2的交点的直角坐标是________________．解析：当y＝2时，cost＝0，所以t＝π2或t＝3π2，所以x＝2π2－sinπ2＝π－2或x＝23π2－sin3π2＝3π＋2.所以交点的直角坐标是(π－2，2)或(3π＋2，2)．答案：(π－2，2)或(3π＋2，2)类型1渐开线的参数方程(自主研析)[典例1]求半径为8的圆的渐开线的参数方程．解：以圆心为原点O，绳端点的初始位置为M0，向量OM0→的方向为x轴正方向，建立平面直角坐标系，设渐开线上的任意点M(x，y)，绳拉直时和圆的切点为A，故OA⊥AM，按渐开线定义，弧AM0︵的长和线段AM的长相等，记OA→和x轴正向所夹的角为θ(以弧度为单位)，则|AM|＝AM0︵＝8θ.作AB垂直于x轴，过M点作AB的垂线，由三角函数和向量知识，得OA→＝(8cosθ，8sinθ)．由几何知识知∠MAB＝θ，AM→＝(8θsinθ，－8θcosθ)得OM→＝OA→＋AM→＝(8cosθ＋8θsinθ，8sinθ－8θcosθ)＝(8(cosθ＋θsinθ)，8(sinθ－θcosθ))．又OM→＝(x，y)，因此有x＝8（cosθ＋θsinθ），y＝8（sinθ－θcosθ）(θ为参数)，即为所求圆的渐开线的参数方程．归纳升华1．求圆的渐开线的参数方程，关键是根据渐开线定义及形成过程获得动点轨迹的几何条件|AM|＝AM0︵＝rθ.合理建立平面直角坐标系后，借助几何图形，运用三角函数和平面向量知识将几何条件代数化，得到参数方程．2．圆的渐开线的参数方程可作为公式使用，只要不要求用定义求解就可直接将半径r的值代入．[变式训练]已知圆的渐开线的参数方程x＝3cosφ＋3φsinφ，y＝3sinφ－3φcosφ(φ为参数)，则此渐开线对应基圆的半径是________．解析：对照渐开线参数方程可知半径r＝3.答案：3类型2摆线的参数方程(互动探究)[典例2]已知一个圆的摆线过一定点(1，0)，请写出该摆线的参数方程．解：由y＝0知，r(1－cosφ)＝0，因为r≠0，所以cosφ＝1，所以φ＝2kπ(k∈Z)．代入x＝r(φ－sinφ)＝1，得2kπr＝1(k∈Z)．由于r表示圆的半径，故r0，所以r＝12kπ(k∈N*)，故所求摆线的参数方程为x＝12kπ（φ－sinφ），y＝12kπ（1－cosφ）(φ为参数，其中k∈N*)．[迁移探究](变换条件)把典例2中的条件“摆线过一定点(1，0)”改为“半径为2”，请写出该摆线的参数方程．解：由摆线的参数方程易知半径为2的圆的参数方程为：x＝2（φ－sinφ），y＝2（1－cosφ）(φ为参数)．归纳升华1．圆的摆线的实质是一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时圆周上一个定点的轨迹．2．根据圆的摆线的定义和建立参数方程的过程，可知其中的字母r是指定圆的半径，参数φ是指圆上定点相对于某一定点运动所张开的角度大小．3．根据圆的摆线的参数方程x＝r（φ－sinφ），y＝r（1－cosφ）(φ为参数)，可知只需求出其中的半径r，圆摆线的参数方程即可写出．也就是说圆的摆线的参数方程是由圆的半径唯一确定的．类型3渐开线、摆线参数方程的应用(规范解答)[典例3](本小题满分10分)设摆线x＝t－sint，y＝1－cost(t为参数，0≤t≤2π)与直线y＝1相交于A，B两点，求A，B两点间的距离．审题指导：解决此类问题要先求出两交点A、B的直角坐标，然后代入相应公式计算．[规范解答]由y＝1及y＝1－cost得cost＝0，又0≤t≤2π，失分警示：若漏掉此范围，扣1分．所以t1＝π2，t2＝3π2.(2分)当t1＝π2时，x＝π2－sinπ2＝π2－1，y＝1－cosπ2＝1.所以Aπ2－1，1.(5分)当t2＝3π2时，x＝3π2－sin3π2＝3π2＋1，y＝1－cos3π2＝1，所以B3π2＋1，1.(8分)故A，B两点间的距离为|AB|＝3π2＋1－π2－12＋（1－1）2＝（π＋2）2＝π＋2.(10分)归纳升华因为摆线的参数方程不宜化为普通方程，所以求交点坐标问题一般先求出参数t，然后代入参数方程求出x，y，注意参数t的取值范围．[变式训练]已知渐开线的参数方程是x＝2（cosθ＋θsinθ），y＝2（sinθ－θcosθ）(θ为参数)，求当参数θ值为π2和π时对应的渐开线上的两点A、B之间的距离．解：当θ＝π2时，x＝π，y＝2，当θ＝π时，x＝－2，y＝2π，所以A(π，2)，B(－2，2π)，所以|AB|＝（π＋2）2＋（2－2π）2＝5π2－4π＋8.1．渐开线的实质是直线在圆上滚动时直线上定点的轨迹．圆的摆线的实质是一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时圆周上一个定点的轨迹．2．渐开线上任一点M的坐标由圆心角φ(以弧度为单位)唯一确定，而在圆的摆线中，圆周上定点M的位置也可以由圆心角φ唯一确定的．3．圆的渐开线和摆线的参数方程均不宜化为普通方程，既烦琐又没有实际意义．4．有关已知摆线过定点求摆线及渐开线的参数方程等问题，可按如下思路解题：将定点坐标代入摆线的参数方程x＝r（φ－sinφ），y＝r（1－cosφ）(φ为参数)，可求出φ，进一步求出r，这样就可以写出该圆的摆线和渐开线的参数方程.