人教版高中数学选修45课件12绝对值不等式2

2.绝对值不等式的解法【自主预习】1.含绝对值不等式|x|a与|x|a的解法(1)|x|a⇔(2)|x|a⇔_____(a0)，___________(a=0),__________(a0)._______(a0),_____(a≤0).-axa空集x∈Rx∈R且x≠0xa或x-a2.|ax+b|≤c(c0)和|ax+b|≥c(c0)型不等式的解法(1)|ax+b|≤c⇔____________.(2)|ax+b|≥c⇔__________________.-c≤ax+b≤cax+b≥c或ax+b≤-c3.|x-a|+|x-b|≥c和|x-a|+|x-b|≤c型不等式的三种解法(1)利用绝对值不等式的几何意义.(2)利用x-a=0,x-b=0的解,将数轴分成三个区间,然后在每个区间上将原不等式转化为不含绝对值的不等式而解之.(3)通过构造函数,利用函数图象.【即时小测】1.若不等式|8x+9|7和不等式x2+ax+b0的解集相同,则a=_________,b=_________.【解析】由|8x+9|7得-2x所以-a=(-2)+所以答案:1,419(),44911a,b2().44291422.不等式的解集是_________.【解析】由知0,解得0x2.答案:{x|0x2}xx||2xx2xx||2xx2xx23.不等式|x+1|≥2-x的解集是_________.【解析】当x≥-1时,原不等式可化为x+1≥2-x,解得x≥当x-1时,原不等式可化为-(x+1)≥2-x,此不等式无解.1;2综合上述,不等式|x+1|≥2-x的解集为答案:1{x|x}.21{x|x}2【知识探究】探究点绝对值不等式的解法1.|x|的几何意义是什么?提示:|x|表示数轴上的点x到原点0的距离.2.|x-a||x-b|,|x-a||x-b|(a≠b)型的不等式如何来解?提示:可通过两边平方去绝对值符号的方法求解.【归纳总结】1.|x-a|±|x-b|的几何意义数轴上的点x到点a,b的距离之和(差)2.解含绝对值不等式的关键解含绝对值不等式的关键是去掉绝对值符号,转化为不含绝对值的不等式.3.|f(x)||g(x)|的解法关于|f(x)||g(x)|的解法可利用|x|a(a0)⇔x2a2的思想去掉绝对值符号(首先使f(x),g(x)都有意义).【典例】1.(2016·承德高二检测)若不等式|8x+9|7和不等式ax2+bx-20的解集相同,则a,b的值为()A.a=-8,b=-10B.a=-4,b=-9C.a=-1,b=9D.a=-1,b=22.对于x∈R,解不等式|2x-3|-x≥3.【解题探究】1.|8x+9|7的解集是什么?提示:2.典例2中不等式|2x-3|-x≥3等价于什么?提示:|2x-3|-x≥3⇔|2x-3|≥x+3.⇔2x-3≥x+3或2x-3≤-x-3.1{x2x}.4【解析】1.选B.|8x+9|7⇒-78x+97,解得-2x因为不等式|8x+9|7和不等式ax2+bx-20的解集相同,所以-2和是方程ax2+bx-2=0的两根,由根与系数的关系得:1,4141b2,a4,4a12b9.2(),4a解得2.方法一:原不等式等价于|2x-3|≥x+3,即2x-3≥x+3或2x-3≤-x-3,解得x≥6或x≤0.所以不等式的解集为(-∞,0]∪[6,+∞).方法二:由题知解得x≥6或x≤0,所以不等式的解集为(-∞,0]∪[6,+∞).2x302x30x3333x3,，＜，或【方法技巧】含有一个绝对值号不等式的常见类型及其解法(1)形如|f(x)|a,|f(x)|a(a∈R)型不等式.①当a0时,|f(x)|a⇒-af(x)a.|f(x)|a⇔f(x)a或f(x)-a;②当a=0时,|f(x)|a无解.|f(x)|a⇔f(x)≠0;③当a0时,|f(x)|a无解.|f(x)|a⇔f(x)有意义即可.(2)形如|f(x)|g(x),|f(x)|g(x)型不等式.①|f(x)|g(x)⇔-g(x)f(x)g(x);②|f(x)|g(x)⇔f(x)g(x)或f(x)-g(x)(其中g(x)可正也可负).(3)形如a|f(x)|b(ba0)型不等式.a|f(x)|b(0ab)⇔af(x)b或-bf(x)-a.(4)形如|f(x)|f(x),|f(x)|f(x)型不等式.|f(x)|f(x)⇔x∈∅,|f(x)|f(x)⇔f(x)0.【变式训练】1.不等式|5x-x2|6的解集为()A.{x|x2或x3}B.{x|-1x2或3x6}C.{x|-1x6}D.{x|2x3}【解析】选B.不等式|5x-x2|6等价于-65x-x26,由5x-x26解得x3或x2;由-65x-x2解得-1x6.综上知不等式|5x-x2|6的解集为{x|-1x2或3x6}.2.解不等式:1|x-2|≤3.【解题指南】可利用公式转化为|ax+b|c(c0)或|ax+b|c(c0)型不等式后逐一求解,也可利用分区讨论法分两种情况去掉绝对值符号,还可用平方法转化为不含绝对值的不等式.【解析】方法一:原不等式等价于不等式组即解得-1≤x1或3x≤5,所以原不等式的解集为{x|-1≤x1或3x≤5}.x21,x23,x1x3,1x5,或方法二:原不等式可转化为:①或②由①得3x≤5,由②得-1≤x1,所以原不等式的解集是{x|-1≤x1或3x≤5}.x20,1x23x20,1x23,方法三:原不等式的解集就是1(x-2)2≤9的解集,即解得所以-1≤x1或3x≤5.所以原不等式的解集是{x|-1≤x1或3x≤5}.22x29,x21,1x5,x1x3,或类型二含有两个绝对值号不等式的解法【典例】(2016·商丘高二检测)已知函数f(x)=|2x+1|+|2x+a|.(1)a=-3时,求不等式f(x)≤6的解集.(2)若关于x的不等式f(x)a恒成立,求实数a的取值范围.【解题探究】典例(1)如何去掉|2x+1|+|2x-3|≤6的绝对值符号?(2)如何求f(x)的最小值?提示:(1)将x分成x,-≤x≤和x-三种情况,通过分类讨论去掉绝对值,将原不等式等价转化为三个一元一次不等式组,解这些不等式组即可得到原不等式的解集.(2)利用绝对值不等式性质:|a|+|b|≥|a-b|,求出|2x+1|+|2x+a|的最小值|1-a|.32121232【解析】(1)当a=-3时,f(x)≤6为|2x+1|+|2x-3|≤6,等价于解得x≤2或-≤x≤或-1≤x-,所以不等式f(x)≤6的解集为[-1,2].1313xxx22222x12x362x12x362x12x36，＜，＞，或或，32123212(2)因为|2x+1|+|2x+a|≥|2x+1-(2x+a)|=|1-a|,所以a|1-a|,解得a,即实数a取值范围121().2，【延伸探究】1.若将本例条件“f(x)=|2x+1|+|2x+a|”换为“f(x)=|2x+1|-|2x+a|”,且f(x)a对任意x恒成立,求a的取值范围是什么?【解析】因为|2x+1|-|2x+a|≤|2x+1-2x-a|=|1-a|因为f(x)a恒成立,所以|1-a|a.解得a,所以a的取值范围是121().2，2.本例条件不变,若f(x)≤|2x-4|的解集包含[1,2],求a的取值范围.【解析】f(x)≤|2x-4|,即|2x-4|-|2x+1|≥|2x+a|,而|2x-4|-|2x+1|≤|2x-4-2x-1|=5所以|2x+a|≤5,得由条件得:解得-7≤a≤1.所以a的取值范围是[-7,1].5a5ax225a125a22，【方法技巧】1.形如|f(x)||g(x)|型不等式的解法此类问题的简单解法是利用平方法,即|f(x)||g(x)|⇔[f(x)]2[g(x)]2⇔[f(x)+g(x)][f(x)-g(x)]0.2.|x-a|+|x-b|≥c,|x-a|+|x-b|≤c(c0)型不等式的解法(1)|x-a|+|x-b|≥c,|x-a|+|x-b|≤c(c0)型不等式有三种解法:分区间(分类)讨论法、图象法和几何法.分区间讨论的方法具有普遍性,但较麻烦;几何法和图象法直观,但只适用于数据较简单的情况.(2)“零点分段法”的关键在于对绝对值代数意义的理解,即|x|=也即x∈R.x为非负数时,|x|为x;x为负数时,|x|为-x,即x的相反数.xx0xx0，，，，(3)|x-a|+|x-b|≥c,|x-a|+|x-b|≤c(c0)型不等式的图象解法和画出函数f(x)=|x-a|+|x-b|-c的图象是密切相关的,正确地画出其图象的关键是写出f(x)的分段表达式.不妨设ab,于是f(x)=2xabcxabacaxb2xabcxb.，，，，，这种图象法的关键是合理构造函数,正确画出函数的图象,求出函数的零点,体现了函数与方程结合、数形结合的思想.【变式训练】1.解不等式|x+1|+|x-1|≥3.【解析】当x≤-1时,原不等式可化为-(x+1)-(x-1)≥3,解得x≤-.当-1x1时,原不等式可化为x+1-(x-1)≥3,32即2≥3无解.当x≥1时,原不等式可化为x+1+x-1≥3解得x≥.综上所述,原不等式的解集是:{x|x≤-或x≥}.3232322.已知函数f(x)=|x-a|-|x+3|,a∈R.(1)当a=-1时,解不等式f(x)≤1.(2)若当x∈[0,3]时,f(x)≤4,求a的取值范围.【解析】(1)当a=-1时,不等式为|x+1|-|x+3|≤1.当x≤-3时,不等式化为-(x+1)+(x+3)≤1,不等式不成立.当-3x-1时,不等式化为-(x+1)-(x+3)≤1,解得≤x-1.52当x≥-1时,不等式化为(x+1)-(x+3)≤1,不等式必成立.综上,不等式的解集为5[).2，(2)当x∈[0,3]时,f(x)≤4即|x-a|≤x+7,由此得a≥-7且a≤2x+7,当x∈[0,3]时,2x+7的最小值为7,所以a的取值范围是[-7,7].【补偿训练】已知f(x)=|x-3|+|x+1|-6,若不等式f(x)≥m+1的解集为R,求m的取值范围.【解析】因为对任意x∈R,f(x)≥m+1恒成立,f(x)=|x-3|+|x+1|-6=|3-x|+|x+1|-6≥|3-x+x+1|-6=4-6=-2,于是有m+1≤-2,得m≤-3.即m的取值范围是(-∞,-3].自我纠错绝对值不等式的恒成立问题【典例】求使不等式(|x+3|-|x+7|)m恒成立的m的取值范围.12log【失误案例】分析解题过程,找出错误之处,并写出正确答案.提示:错误的根本原因是指数函数与对数函数的单调性记错,底数小于1,应为减函数,所以不等式要变号.【解析】不等式(|x+3|-|x+7|)m恒成立,即不等式|x+3|-|x+7|恒成立.由绝对值不等式的几何意义知|x+3|-|x+7|≤|(x+3)-(x+7)|=4,即所以m-2.12logm1()2m211()4(),22