人教版高中数学选修45课件21比较法

第二讲证明不等式的基本方法一比较法【自主预习】比较法的定义比较法证明不等式可分为作差比较法和作商比较法两种.(1)作差比较法:要证明ab,只要证明______;要证明ab,只要证明______.这种证明不等式的方法,叫做作差比较法.(2)作商比较法:若a0,b0,要证明ab,只要证明1;要证明ba,只要证明_____.这种证明不等式的方法,叫做作商比较法.abb1a＞a-b0a-b0【即时小测】1.已知a+b0,b0,那么a,b,-a,-b的大小关系是()A.ab-b-aB.a-b-abC.a-bb-aD.ab-a-b【解析】选C.由a+b0,b0,得a-b0,于是a-bb-a.2.设a,b∈R且a+|b|0,则下列结论中正确的是()A.a-b0B.a2+b20C.a2-b20D.a+b0【解析】选D.由a+|b|0,知a-|b|≤0,所以a+bb-|b|≤0,即a+b0.故选D.3.若a∈R且a≠1,则a2+1与2a的大小关系是_________.【解析】因为a∈R且a≠1,所以a2+1-2a=(a-1)20,即a2+12a.答案:a2+12a【知识探究】探究点比较法证明不等式1.作差比较法的主要适用类型是什么?实质是什么?提示:作差比较法适用于具有多项式结构特征的不等式的证明.实质是把两个数或式子的大小判断问题转化为一个数(或式子)与0的大小关系.2.作商比较法主要适用类型是什么?提示:作商比较法主要用于积(商)、幂(根式)、指数形式的不等式证明.其证明的一般步骤:作商→变形(化简)→判断商值与1的大小关系→结论.【归纳总结】1.作差法的依据若a,b∈R,则a-b0⇔ab;a-b=0⇔a=b;a-b0⇔ab.2.作差法的步骤作差→变形→判断符号(与0比较大小)→结论.3.作商法的依据若a0,b0,则1⇔ab;=1⇔a=b;1⇔ab.4.作商比较法适用证明的不等式的特点适合欲证的不等式两端是乘积形式、幂指数的不等式或某些不同底数对数值的大小比较.ababab类型一作差比较法【典例】已知a,b∈R,求证:a2+b2+1≥ab+a+b.【解题探究】典例中作差后,如何与0比较大小?提示:化为几个完全平方式的和,然后与0比较大小.【证明】因为a2+b2-ab-a-b+1=[(a-b)2+(a-1)2+(b-1)2]≥0,当且仅当a=b=1时取等号,所以a2+b2+1≥ab+a+b.12【方法技巧】作差比较法证明不等式的技巧(1)作差比较法中,变形具有承上启下的作用,变形的目的在于判断差的符号,而不用考虑差能否化简或值是多少.(2)变形所用的方法要具体情况具体分析,可以配方,可以因式分解,可以运用一切有效的恒等变形的方法.(3)因式分解是常用的变形手段,为了便于判断差式的符号,常将差式变形为一个常数,或几个因式积的形式,当所得的差式是某字母的二次三项式时,常用判别式法判断符号.【变式训练】1.(2015·浙江高考)有三个房间需要粉刷,粉刷方案要求:每个房间只用一种颜色,且三个房间颜色各不相同.已知三个房间的粉刷面积(单位:m2)分别为x,y,z,且xyz,三种颜色涂料的粉刷费用(单位:元/m2)分别为a,b,c,且abc.在不同的方案中,最低的总费用(单位:元)是()A.ax+by+czB.az+by+cxC.ay+bz+cxD.ay+bx+cz【解析】选B.由xyz,abc,所以ax+by+cz-(az+by+cx)=a(x-z)+c(z-x)=(x-z)(a-c)0,故ax+by+czaz+by+cx;ay+bz+cx-(ay+bx+cz)=b(z-x)+c(x-z)=(x-z)(c-b)0,故ay+bz+cxay+bx+cz;az+by+cx-(ay+bz+cx)=a(z-y)+b(y-z)=(a-b)(z-y)0,故az+by+cxay+bz+cx,所以最低费用为az+by+cx.2.已知abc,证明:a2b+b2c+c2aab2+bc2+ca2.【证明】因为a2b+b2c+c2a-ab2-bc2-ca2=(a2b-bc2)+(b2c-ab2)+(c2a-ca2)=b(a2-c2)+b2(c-a)+ac(c-a)=(a-c)(ba+bc-b2-ac)=(a-c)(a-b)(b-c).因为abc,所以a-c0,a-b0,b-c0,所以(a-c)(a-b)(b-c)0,即a2b+b2c+c2aab2+bc2+ca2.类型二作商比较法【典例】设a0,b0,求证:aabb≥【解题探究】由指数函数的性质可知a,b满足什么条件时ab1?提示:若0a1,则b0时,ab1;若a1,则b0时,ab1.ab2ab.【证明】因为aabb0,0,所以所以当a=b时,显然有=1;当ab0时,当ba0时,ab2ab（）a－bb－aa－bab222ab2abaab，bab（）a－b2abaab＞1,＞0;b2aab 0＜＜1,＜0,b2由指数函数的单调性,有综上可知,对任意a0,b0,都有aabb≥（）＞（），a－b02aa=1bbab2ab.【延伸探究】1.典例中的条件不变,试证明:abba≤【证明】因为abba0,0,所以所以当a=b时,显然有=1;ab2ab.ab2ab（）b－aa－bb－aba222ab2abaab，bab（）b－a2ab当ab0时,当ba0时,由指数函数的单调性,有综上可知,对任意a0,b0,都有abba≤aba＞1,＜0;b2aba 0＜＜1,＞0,b2（）（），ba02aa＜=1bbab2ab.2.将典例中的条件改为“abc0”,求证:a2ab2bc2cab+cbc+aca+b.【证明】由abc0,得ab+cbc+aca+b0,a2ab2bc2c0.所证不等式左边除以右边,得=aa-baa-cbb-cbb-acc-acc-b=2a2b2caabbccbccaabbccaababcaabbccabcaabbccabacbcaab()()().bcc因为ab0,所以1,a-b0,所以1.同理1,1.所以1,所以a2ab2bc2cab+cbc+aca+b.ababa()bbcb()caca()c2a2b2cbccaababcabc【方法技巧】作商比较法证明不等式的一般步骤(1)作商:将不等式左右两边的式子进行作商.(2)变形:化简商式到最简形式.(3)判断:判断商与1的大小关系,也就是判断商大于1或小于1或等于1.(4)得出结论.【变式训练】已知a2,求证:loga(a-1)log(a+1)a.【证明】因为a2,则a-11,所以loga(a-1)0,log(a+1)a0,由于=loga(a-1)·loga(a+1)aa1loga1loga2aaa22loga1loga1loga1][].22＜[因为a2,所以0loga(a2-1)logaa2=2,因为log(a+1)a0,所以loga(a-1)log(a+1)a.22aa22aa1loga1loga1loga]]1122loga所以[＜[，因此＜自我纠错利用比较法证明不等式【典例】设实数a,b,c满足等式①b+c=6-4a+3a2;②c-b=4-4a+a2;试比较a,b,c的大小关系.【失误案例】分析解题过程,找出错误之处,并写出正确答案.提示:错误的根本原因是应用不等式的性质,或对差式的变形不彻底而引起的.【解析】由②c-b=(a-2)2≥0,知c≥b.又①-②,得b=a2+1,所以b-a=a2-a+1=所以ba,故c≥ba.213(a)0.24＞