人教版高中数学选修45课件42用数学归纳法证明不等式举例

二用数学归纳法证明不等式举例【自主预习】贝努利(Bernoulli)不等式如果x是实数,且x-1,x≠0,n为大于1的自然数,则有___________.(1+x)n1+nx【即时小测】1.用数学归纳法证明不等式成立,起始值至少应取为()A.7B.8C.9D.10n1111127124264＞【解析】选B.左边的和为=2-21-n,当n=8时,和为2-2-7n112112127.642.用数学归纳法证明:(n≥2,n∈N*)时第一步需要证明()222nn111112232121＜222222222111A.12B.12212211111111C.12D.12232123421＜＜＜＜【解析】选C.用数学归纳法证明(n≥2,n∈N*),第一步应验证不等式为:222n11112321n1221＜22211112.2321＜【知识探究】探究点贝努利不等式1.在应用贝努利不等式时应注意什么?提示:在应用贝努利不等式时要注意应用条件x-1,且x≠0,n是大于1的自然数.2.在利用数学归纳法证明贝努利不等式时n的初始值应选什么?提示:因为n为大于1的自然数,故n的初始值为2.【归纳总结】1.贝努利不等式成立的两个条件一是x的范围是x-1且x≠0,x∈R.二是n为大于1的自然数.2.贝努利不等式的推广当指数n推广到任意实数α时,x-1时,①若0α1,则(1+x)α≤1+αx;②若α0或α1,则(1+x)α≥1+αx.当且仅当x=0时等号成立.类型一用数学归纳法证明有关函数中的不等关系【典例】已知f(x)=.对于n∈N+,试比较f()与的大小并说明理由.nnnnxxxx222n1n1【解题探究】解答本例的解题方向是什么?提示:先通过n取比较小的值进行归纳猜想,确定证明方向,再用数学归纳法证明.【解析】根据题意f(x)=所以要比较f()与的大小,只需比较2n与n2的大小即可,nn2nnn2n2nxxx121xxx1x1，n2222f21.21n121n1n1所以又，222n1n1当n=1时,21=212=1,当n=2时,22=4=22,当n=3时,23=832=9,当n=4时,24=16=42,当n=5时,25=3252=25,当n=6时,26=6462=36.故猜测当n≥5(n∈N+)时,2nn2,下面用数学归纳法加以证明.(1)当n=5时,2nn2显然成立.(2)假设n=k(k≥5,且k∈N+)时,不等式2nn2成立,即2kk2(k≥5),则当n=k+1时,2k+1=2·2k2·k2=k2+k2+2k+1-2k-1=(k+1)2+(k-1)2-2(k+1)2(因为(k-1)22).由(1)(2)可知,对一切n≥5,n∈N+,2nn2成立.综上所述,当n=1或n≥5时,f();当n=2或n=4时,f()=;当n=3时,f().222n1n1222n1n1222n1n1【方法技巧】利用数学归纳法解决比较大小问题的方法利用数学归纳法比较大小,关键是先用不完全归纳法归纳出两个量的大小关系,猜测出证明的方向,再用数学归纳法证明结论成立.【变式训练】1.设f(x)是定义在正整数集上的函数,且f(x)满足:当f(k)≥k2成立时,总可推出f(k+1)≥(k+1)2成立.那么下列命题总成立的是()A.若f(3)≥9成立,则当k≥1时,均有f(k)≥k2成立B.若f(5)≥25成立,则当k≤5时,均有f(k)≥k2成立C.若f(7)49成立,则当k≥8时,均有f(k)k2成立D.若f(4)=25成立,则当k≥4时,均有f(k)≥k2成立【解析】选D.根据题中条件可知:由f(k)≥k2,必能推得f(k+1)≥(k+1)2,但反之不成立,因为D中f(4)=2542,故可推得k≥4时,f(k)≥k2,故只有D正确.2.(2016·淮南高二检测)已知函数f(x)=(其中e为自然对数的底数).证明:当x0时,对任意正整数n都有fn!·x2-n.1x21ex1()x【证明】当x0时,f(x)=,所以f=x2e-x考虑到:x0时,不等式fn!·x2-n等价于x2e-xn!·x2-n,即xnn!·ex.(*)所以只要用数学归纳法证明不等式(*)对一切n∈N+都成立即可.1x21ex1()x1()x(1)当n=1时,设g(x)=ex-x(x0).因为x0时,g′(x)=ex-10,所以g(x)在(0,+∞)上是增函数,故g(x)g(0)=10,即exx(x0),所以,当n=1时,不等式(*)成立.(2)假设n=k(k∈N+)时,不等式(*)成立,即xkk!·ex,当n=k+1时,设h(x)=(k+1)!·ex-xk+1(x0),有h′(x)=(k+1)!·ex-(k+1)xk=(k+1)(k!·ex-xk)0,故h(x)=(k+1)!·ex-xk+1(x0)为增函数,所以h(x)h(0)=(k+1)!0,即xk+1(k+1)!·ex,这说明当n=k+1时不等式(*)也成立,根据(1)(2)可知不等式(*)对一切n∈N*都成立,故原不等式对一切n∈N+都成立.类型二数学归纳法证明不等式【典例】已知Sn=(n1,n∈N+),求证:(n≥2,n∈N+).111123nn2nS12＞【解题探究】本例能否先求Sn,再证明不等式?提示:不能.若先求Sn再证明会比较困难.【证明】(1)当n=2时,S4=即当n=2时命题成立.(2)假设n=k(k≥2,n∈N+)时命题成立,即当n=k+1时,11125211234122＞，kk2111kS11.2322＞故当n=k+1时,命题也成立.由(1)(2)知,对n∈N+,n≥2,都成立.k12kkk1kk11111k11S1123221222122＞kk1kk1k2k1k1111.2222222＞n2nS12＞【延伸探究】1.将本例中所要证明的不等式改为:(n≥2,n∈N+),如何证明?1112n1(1)(1)(1)352n12＞【证明】(1)当n=2时,左边=因为所以左边右边,原不等式成立.1451332，右边，2241655()()3942＞，(2)假设当n=k(k≥2)时不等式成立,即则当n=k+1时,左边=1112k1(1)(1)(1)352k12＞，1111(1)(1)(1)[1]352k12k1122k114k8k32k32k1222k122k1＞，22k12k22k24k8k422k122k122k1＞所以,当n=k+1时,不等式也成立.由(1)和(2)可知,对n≥2,且n∈N+,不等式都成立.2.若在本例中,条件变为“设f(n)=(n∈N+),由f(1)=1,f(3)1,f(7),f(15)2,…”.试问:f(2n-1)与大小关系如何?试猜想并加以证明.111123n1232n2【解析】数列1,3,7,15,…,通项公式为an=2n-1,数列,1,,2,…通项公式为an=,所以猜想:f(2n-1).1232n2n2下面用数学归纳法证明:(1)当n=1时,f(21-1)=f(1)=1,不等式成立.(2)假设当n=k(k≥1)时不等式成立,即f(2k-1),则f(2k+1-1)=f(2k-1)+12k2kkk1k111112212221k1k1k1f21.2222＞kkkk1211f21212个＞，所以当n=k+1时,不等式也成立.据(1),(2)知对任何n∈N+原不等式均成立.【方法技巧】用数学归纳法证明不等式的技巧(1)证明不等式时,由n=k到n=k+1时的推证过程与证明等式有所不同,由于不等式中的不等关系,需要我们在证明时,对原式进行“放大”或者“缩小”才能使用到n=k时的假设,所以需要认真分析,适当放缩,才能使问题简单化,这是利用数学归纳法证明不等式时常用的方法之一.(2)数学归纳法的应用通常需要与数学的其他方法联系在一起,如比较法、放缩法、配凑法、分析法和综合法等,才能完成证明过程.【变式训练】1.已知f(n)=1+++…+(n∈N*),经计算得:f(4)2,f(8)f(16)3,f(32)…观察上述结论,可归纳出一般结论为_________.12131n5,27,2【解析】将已知计算结果变形为归纳结论为f(2n)答案:f(2n)234522324252f2,f2,f2,f2,,2222n2.2n222.证明:(n∈N+,n≥2).【证明】(1)当n=2时,左边=1+,右边=2-,由于,故不等式成立.22211111223nn＜2152413225342＜(2)假设n=k(k∈N+,k≥2)时命题成立,即则当n=k+1时,222111112.23kk＜222221111111112223kkkkk1k1k111112()2.kkk1k1＜＜即当n=k+1时,命题成立.由(1),(2)知,原不等式对一切n∈N+,n≥2都成立.【补偿训练】数列{an}中,a1=1,an+1=1+求证:当n≥2且n∈N+时,【证明】(1)当n=2时,a2=1+1=2,且不等式成立.nna，nnan1.2221，(2)假设当n=k(k≥2)时,有则当n=k+1时,ak+1=(分析法证明)要证只需证ak即ak(由假设可知成立),kkak1,kkk11k1k11.akkk1k1,akk11，k11，所以由(1)(2)知,当n≥2,且n∈N+时,成立.k1k1ak11.nnan1类型三利用数学归纳法证明数列不等式【典例】已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足a1=,an+2SnSn-1=0(n≥2).(1)判断是否为等差数列,并证明你的结论.(2)证明(n≥1且n∈N+).12n1S{}22212n11SSS24n【解题探究】本例中an与Sn的关系式是什么?提示:当n≥2时,an=Sn-Sn-1.【解析】(1)是等差数列,证明如下:S1=a1=,所以=2.当n≥2时,an=Sn-Sn-1,即Sn-Sn-1=-2SnSn-1.所以=2.故是以2为首项,2为公差的等差数列.n1S{}1211Snn111SSn1S{}(2)①当n=1时,,不等式成立.②假设n=k(k≥1)时,不等式成立,即成立,则当n=k+1时,21111S424122212k11SSS24k222212kk12111SSSS24k4k122222111111kk111kk11[].24k242424k1k1kk1kk1＜即当n=k+1时,不等式成立.由①,②可知对任意n∈N+不等式都成立.【延伸探究】本例中若将“an+2SnSn-1=0(n≥2)”改为“an+1=(n∈N+)”,那么数列{a2n}的单调性怎样?证明你的结论.n11a【解析】由a1=,an+1=,得a2=,a4=,a6=.由a2a4a6,猜想:数列{a2n}是递减数列.下面用数学归纳法证明:(1)当n=1时,已证命题成立.(2)假设n=k(k≥1)时命题成立,即a2ka2k+2,12n11a23581321易知an0,那么:即a2(k+1)a2(k+1)+2也就是说,当n=k+1时,命题也成立.综上(1)(2)可知,命题成立.2k32k12