人教版高中数学选修45课件模块复习课第三课柯西不等式排序不等式与数学归纳法共63张PP

第三课柯西不等式、排序不等式与数学归纳法【网络体系】【核心速填】1.二维形式的柯西不等式(1)二维形式的柯西不等式:____________________________________________.若a,b,c,d都是实数,则(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2(2)柯西不等式的向量形式:__________________________________________.当且仅当是零向量,或存在实数k,使=k时,等号成立.设是两个向量,则||·||,αβααββαββ|·|≤(3)二维形式的三角不等式:设x1,y1,x2,y2∈R,那么________________________________________22222211221212xyxyxxyy2.一般形式的柯西不等式设a1,a2,a3,…,an,b1,b2,b3,…,bn是实数,则________________________________________________.当且仅当bi=0(i=1,2,…,n)或存在一个数k,使得ai=kbi(i=1,2,…,n)时,等号成立.(a12+a22+…+an2)(b12+b22+…+bn2)≥(a1b1+a2b2+…+anbn)23.排序不等式设a1≤a2≤…≤an,b1≤b2≤…≤bn为两组实数,c1,c2,…,cn是b1,b2,…,bn的任一排列,则a1bn+a2bn-1+…+anb1≤________________≤a1b1+a2b2+…+anbn.a1c1+a2c2+…+ancn4.数学归纳法一般地,当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数n都成立时,可以用以下两个步骤:(1)证明当____时,命题成立.(2)假设当n=k(k∈N+,且k≥n0)时,命题成立.证明______时,命题也成立.n=n0n=k+1【易错警示】关注数学归纳法应用时常出现的三个错误(1)对假设设而不用.(2)机械套用数学归纳法中的两个步骤致误.(3)没有搞清从k到k+1的跨度.＜1-＜.类型一利用柯西不等式证明不等式【典例1】若n是不小于2的正整数,求证:4711111...2342n12n22【证明】1-所以求证式等价于.11111...2342n12n47111...n1n22n22111111111(1)2()2342n12n2462n1111.n1n22n12n由柯西不等式,有[(n+1)+(n+2)+…+2n]n2,于是==≥=.111(...)n1n22n111...n1n22n2n(n1)(n2)...(2n)2n3n1213n213247＜1-＜.又由柯西不等式,有所以111...n1n22n＜222222111(11...1)[...](n1)(n2)(2n)11n()n2n＜2.24711111...2342n12n22【方法技巧】利用柯西不等式证题的技巧(1)柯西不等式的一般形式为(a12+a22+…+an2)·(b12+b22+…+bn2)≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2(ai,bi∈R,i=1,2,…,n),形式简洁、美观、对称性强,灵活地运用柯西不等式,可以使一些较为困难的不等式的证明问题迎刃而解.(2)利用柯西不等式证明其他不等式的关键是构造两组数,并向着柯西不等式的形式进行转化,运用时要注意体会.【变式训练】1.设a,b,c为正实数,且a+b+c=3,求证:2a12b12c133.【解题指南】利用柯西不等式的向量形式,目标式的左边应是两个向量的数量积.由于变量a,b,c的系数都相等,由整体性可构造向量m=(),n=(1,1,1),利用|m·n|≤|m||n|可得证.2a12b12c1，，【证明】令m=(),n=(1,1,1),则m·n=而|m|=又|n|=,由|m·n|≤|m||n|,得所以当且仅当a=b=c=1时,等号成立.2a12b12c1，，2a12b12c1.2a12b1(2c1)2abc33.32a12b12c133.2.已知正数x,y,z满足5x+4y+3z=10.(1)求证:(2)求的最小值.22225x16y9z5.4y3z3z5x5x4y222xyz99【解析】(1)根据柯西不等式,得[(4y+3z)+(3z+5x)+(5x+4y)]≥(5x+4y+3z)2,因为5x+4y+3z=10,所以22225x16y9z()4y3z3z5x5x4y222225x16y9z105.4y3z3z5x5x4y20(2)根据基本不等式,得当且仅当x2=y2+z2时,等号成立.根据柯西不等式,得(x2+y2+z2)(52+42+32)≥(5x+4y+3z)2=100,即x2+y2+z2≥2,当且仅当时,等号成立.综上,≥2×32=18.222222222xyzxyzxyz9929923,xyz15435222xyz99类型二利用排序不等式证明不等式【典例2】设A,B,C表示△ABC的三个内角的弧度数,a,b,c表示其对边,求证:aAbBcCabc.3【证明】方法一:不妨设ABC,则有abc由排序原理:顺序和≥乱序和所以aA+bB+cC≥aB+bC+cAaA+bB+cC≥aC+bA+cBaA+bB+cC=aA+bB+cC上述三式相加得3(aA+bB+cC)≥(A+B+C)(a+b+c)=π(a+b+c)所以aAbBcCabc.3方法二:不妨设ABC,则有abc,由排序不等式即aA+bB+cC≥(a+b+c),所以aAbBcCABCabc333，3aAbBcCabc.3【延伸探究】在本例条件下,你能证明吗?aAbBcCabc2【证明】能.由0b+c-a,0a+b-c,0a+c-b,有0A(b+c-a)+C(a+b-c)+B(a+c-b)=a(B+C-A)+b(A+C-B)+c(A+B-C)=a(π-2A)+b(π-2B)+c(π-2C)=(a+b+c)π-2(aA+bB+cC).得aAbBcCabc.2【方法技巧】利用排序不等式证明不等式的策略(1)在利用排序不等式证明不等式时,首先考虑构造出两个合适的有序数组,并能根据需要进行恰当地组合.这需要结合题目的已知条件及待证不等式的结构特点进行合理选择.(2)根据排序不等式的特点,与多变量间的大小顺序有关的不等式问题,利用排序不等式解决往往很简捷.【变式训练】若a1≤a2≤…≤an,而b1≥b2≥…≥bn或a1≥a2≥…≥an而b1≤b2≤…≤bn,证明:当且仅当a1=a2=…=an或b1=b2=…=bn时,等号成立.1122nnabababn12n12naaabbb()().nn【证明】不妨设a1≤a2≤…≤an,b1≥b2≥…≥bn.则由排序原理得:a1b1+a2b2+…+anbn≤a1b1+a2b2+…+anbna1b1+a2b2+…+anbn≤a1b2+a2b3+…+anb1a1b1+a2b2+…+anbn≤a1b3+a2b4+…+an-1b1+anb2……a1b1+a2b2+…+anbn≤a1bn+a2b1+…+anbn-1.将上述n个式子相加,得:n(a1b1+a2b2+…+anbn)≤(a1+a2+…+an)(b1+b2+…+bn)上式两边除以n2,得等号当且仅当a1=a2=…=an或b1=b2=…=bn时成立.1122nnabababn12n12naaabbb()().nn类型三利用柯西不等式和排序不等式求最值【典例3】(1)已知实数x,y,z满足x2+2y2+3z2=3,求u=x+2y+3z的最小值和最大值.(2)设a1,a2,a3,a4,a5是互不相同的正整数,求M=a1+的最小值.35242222aaaa2345【解析】(1)因为(x+2y+3z)2=(x·1+y·+z·)2≤[x2+(y)2+(z)2]·[12+()2+()2]=(x2+2y2+3z2)(1+2+3)=18.22332323当且仅当,即x=y=z时,等号成立.所以-3≤x+2y+3z≤3,即u的最小值为-3,最大值为3.x2y3z1232222(2)设b1,b2,b3,b4,b5是a1,a2,a3,a4,a5的一个排列,且b1b2b3b4b5.因此b1≥1,b2≥2,b3≥3,b4≥4,b5≥5.又1≥由排序不等式,得22221111.2345即M的最小值为353524241122222222aabbaabbab234523452222111111111371123451.2345234560137.60【方法技巧】利用柯西或排序不等式求最值的技巧(1)有关不等式问题往往要涉及对式子或量的范围的限定,其中含有多变量限制条件的最值问题往往难以处理.在这类题目中,利用柯西不等式或排序不等式处理往往比较容易.(2)在利用柯西不等式或排序不等式求最值时,要关注等号成立的条件,不能忽略.【变式训练】1.设x1,x2,x3,x4是2,3,4,5的任一排列,则2x1+3x2+4x3+5x4的最小值是_________.【解析】反序和最小,即最小值为2×5+3×4+4×3+5×2=44.答案:442.已知|x|≤1,|y|≤1,试求x+y的最大值.【解析】由柯西不等式得x+y当且仅当xy=即x2+y2=1时,等号成立,所以x+y的最大值为1.21y21x21y21x222x(1x)222y(1y)1，21x21y,21y21x类型四用数学归纳法证明恒等式【典例4】用数学归纳法证明:12-22+32-42+…+(2n-1)2-(2n)2=-n(2n+1)(n∈N+).【证明】(1)当n=1时,左边=12-22=-3,右边=-1×(2×1+1)=-3,等式成立.(2)假设当n=k(k≥1)时,等式成立,即12-22+32-42+…+(2k-1)2-(2k)2=-k(2k+1),则当n=k+1时,12-22+32-42+…+(2k-1)2-(2k)2+(2k+1)2-[2(k+1)]2=-k(2k+1)+(2k+1)2-[2(k+1)]2=-2k2-5k-3=-(k+1)(2k+3)=-(k+1)[2(k+1)+1],即当n=k+1时,等式成立.由(1)(2)可知,对任何n∈N+,等式都成立.【方法技巧】利用数学归纳法证明恒等式的方法用数学归纳法证明恒等式的关键是证明n=k+1时命题成立,从n=k+1的待证目标恒等式的一端“拼凑”出归纳假设的恒等式的一端,再运用归纳假设即可.同时应注意目标恒等式另一端的变化(即用k+1代替恒等式中的n).【变式训练】1.用数学归纳法证明:(n∈N+).【证明】(1)当n=1时,左边=1-,右边=,等式成立.11112(1)(1)(1)(1)345n2n2123322123(2)假设当n=k(k≥1,k∈N+)时等式成立,即当n=k+1时,11112(1)(1)(1)(1).345k2k21111121(1)(1)(1)(1)(1)(1)345k2k3k2k32k22.k2k3k3所以当n=k+1时,等式也成立.由(1)(2)可知,对于任意n∈N+等式都成立.2.是否存在常数a,b,使得2+4+6+…+(2n)=an2+bn对一切n∈N+恒成立?若存在,求出a,b的值,并用数学归纳法证明,若不存在,说明理由.【解析】取n=1和2,即2+4