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2020年6月14日1函数、方程、不等式以及它们的图像2020年6月14日2函数是中学数学的一个重要概念。函数的思想，就是用运动变化的观点，分析和研究具体问题中的数量关系，建立函数关系，运用函数的知识，使问题得到解决。2020年6月14日3和函数有必然联系的是方程，方程的图像与x轴的交点的横坐标，函数的解就是函数也可以看作二元方程，通过方程进行研究。2020年6月14日4，在x轴下方则是的作用还可以使动态的y=f(x)的图像上、下、左、右的移动。不等式是函数与方程关系的一个更为广泛的补充。函数y=f(x)图像在x轴上方是。不等式2020年6月14日5函数思想在解题中的应用主要体现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质，解有关求值、解（证）不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题；二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质，达到化难为易，化繁为简的目的。2020年6月14日6方程思想在解题中的应用主要表现在：从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式，或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解。有时，还实现函数函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的。2020年6月14日7图像将使上述的思想具体化、形象化。它从几何的角度描述问题的本质、变化的规律，使数学问题更具有生命力。2020年6月14日8许多数学问题，不能简单地归结于函数、方程或是不等式，而是它们的综合。通过解决这些数学问题，不仅是对我们数学知识掌握的考查，是对我们逻辑思维能力、形象思维能力、综合解题能力、探索创新能力的考查，更重要的是让我们体会到数学知识之间是如何相互联系、相互渗透的，又是联系渗透得那么惊人的深刻，那么意想不到的精彩。2020年6月14日9二、典型习题例题1、已知实数，，，求与的范围。2020年6月14日10解：，且2020年6月14日11解：即a,b是一元二次方程的根，且两根都大于c，令x轴有两个交点且都在又图像开口向上的两个不相等，则图像与内，2020年6月14日12解：xyoc2020年6月14日13解：2020年6月14日14解：,,2020年6月14日15例题2、已知，求函数的最大值和最小值。2020年6月14日16解：建立方程组（两式相乘并相减）由题意x，y不能同时为零，不妨设2020年6月14日17解：即为关于的一元二次方程，有实根2020年6月14日18例题3、设f(x)是定义在R上的偶函数，都有，且（1）求及；（2）证明f(x)是求。其图像关于x=1对称，对任意的周期函数；（3）已知2020年6月14日19解：（1）对任意的，都有类似地，2020年6月14日20解：（2）已知f(x)图像关于x=1对称（，都有）有2020年6月14日21解：又f(x)是R上的偶函数即f(x)是以2为周期的周期函数2020年6月14日22解：（3）由（2）知2n也是f(x)的周期（把1分为2n个的和）2020年6月14日23解：2020年6月14日24例题4、已知集合M是满足下列性质的的全体：存在非零常数T，对任意，有成立。（2）设函数的图像与的图像有公共点，证明：；（3）若函数，求实数k的取值范围。（1）函数是否属于集合M？说明理由；2020年6月14日25解：（1）对于非零常数T，，由于对于任意的，不能恒成立，所以不属于集合M。2020年6月14日26解：（2）由题意可知方程组有解显然不是方程的解，所以存在非零常数T，使得2020年6月14日27解：对于，有2020年6月14日28解：（3）当时，，显然当时，已知对于任意恒成立存在非零常数T，对于任意有成立，即2020年6月14日29解：①当时，恒成立，②当时，恒成立由于x的任意性，则只有当的时候可能恒成立2020年6月14日30解：由①②可知，实数k的取值范围是2020年6月14日31例题5、函数在上有定义，且满足时，有。（1）证明：在上是奇函数；2020年6月14日32（2）对于数列，若，，试求：（3）求证：。；2020年6月14日33证明（1）：令令2020年6月14日34证明（1）：在上是奇函数；2020年6月14日35证明（2）：2020年6月14日36证明（2）：是以公比的等比数列为首项，2为2020年6月14日37证明（3）：由（2）2020年6月14日38证明（3）：证毕。2020年6月14日39例题6、已知，设P：函数单调递减，Q：不等式的解集为R，如果P和Q有且仅有一个正确，在R上求c的取值范围。2020年6月14日40解：P：函数在R上单调递减Q：不等式的解集为R函数在R上恒大于12020年6月14日41解：又当函数在R上的最小值是2c，1c2，即Q令2020年6月14日42解：若P正确且Q不正确若P不正确且Q正确的取值范围是。2020年6月14日43例题7、已知函数（1）若的定义域为判断在定义域上的增减性，并用定时，使的值域为的定义区间请说明理由。。，义证明；（2）当是否存在？2020年6月14日44解（1）：或，又的定义域为则，2020年6月14日45解（1）：2020年6月14日46解（1）：当时，函数在上是减函数，时，，上是增函数当函数在2020年6月14日47解（2）：由(1)可知，当时，为减函数，则由其值域为2020年6月14日48解（2）：2020年6月14日49解（2）：则为方程的两个根2020年6月14日50解（2）：方程有两个大于3的不等实根，令2020年6月14日51解（2）：xyo32020年6月14日52解（2）：当时，存在这样的区间；时，不存在这样的区间。当2020年6月14日53例题8、设函数和，已知时，，求实数a的取值范围。恒有2020年6月14日54解：，对于恒成立，，令2020年6月14日55解：表示以圆为的上半部分；，表示斜率为，截距为的平行直线系（a为参变量）；圆心，2为半径的2020年6月14日56解：xyo-2时，恒有的几何意义为半圆恒在直线下方（如图）2020年6月14日57解：直线与半圆相切时，有（截距）2020年6月14日58解：由图可知，当截距，即时，恒有，即恒有。2020年6月14日59例题9、已知抛物线和两点直线交曲线C于第一象限内的M、N两点，设点P是弦MN的中点，若直线BP与x轴交于点Q，且点Q在A的左侧，求直线MN的斜率k的取值范围。，过点A作斜率为k的2020年6月14日60解：（设直线MN的方程为由）2020年6月14日61解：设由（1）式直线方程为，令2020年6月14日62解：已知点Q在点左侧即直线MN的斜率k的取值范围是2020年6月14日63例题10、已知对于任意的总过定点，求抛物线与x轴的交点的横坐标的取值范围。，抛物线2020年6月14日64解：已知抛物线总过定点该方程对于任意的均成立2020年6月14日65解：抛物线方程为2020年6月14日66解：设抛物线与x轴的另一交点令y=02020年6月14日67解：当时，由2020年6月14日68解：当时，由当时，2020年6月14日69解：。综上所述，对于任意的，而点P的横坐标x轴的交点的横坐标的取值范围是,所以抛物线与2020年6月14日70是定义在R上的奇函数，当时，。(1)求在上的解析式；(2)证明在上是减函数；(3)当时，求关于x的不等式在内的解集。例题11、2020年6月14日71（1）解：，有则已知当时，，2020年6月14日72（1）解：2020年6月14日73（2）证：2020年6月14日74（2）证：即，在上是减函数。2020年6月14日75（3）解：由(2)可知时，当时，由于在上是减函数只有一个实数根2020年6月14日76（3）解：(不合题意，舍去）2020年6月14日77（3）解：2020年6月14日78例题12、已知函数的图像上有两点、，且满足，。2020年6月14日79（1）求证：（2）求证：的线段长的取值范围是（3）问能否得出，中至少有一个为正数？请证明你的结论。；的图像被x轴所截得；2020年6月14日80证明（1）：或为方程即的实根2020年6月14日81证明（1）：2020年6月14日82证明（1）：，且2020年6月14日83证明（2）：设的两根为，则一个根为1（另一根为），2020年6月14日84证明（2）：且由上知2020年6月14日85证明（3）：由（2），设由（1），不妨设已知（如图）2020年6月14日86证明（3）：xyo12020年6月14日87证明（3）：（）同理，若时，可得，中至少有一个为正数2020年6月14日88函数、方程、不等式以及它们的图像高中数学辅导网