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第四节复数代数形式的加减运算本课主要学习复数代数形式的加减运算的运用，以动画引入新课，接着讲述复数代数形式的加减运算的公式和应用，研究不同题型时，多种求解方式；针对问题给出一些典例和变式通过解决实际问题，掌握运算方法。在讲述复数代数形式的加减运算的应用时，采用例题与变式结合的方法，通过学生自主讨论、分析,总结小老师的方法,师生互动,讲练结合,同学总结提出解题注意事项,从而突出重点,突破难点。1.已知复数z1＝x1＋y1i，z2＝x2＋y2i及其对应的向量OZ1→＝(x1，y1)，OZ2→＝(x2，y2)．以OZ1→和OZ2→为邻边作平行四边形OZ1ZZ2，如图．对角线OZ所表示的向量OZ→＝OZ1→＋OZ2→，而OZ1→＋OZ2→所对应的坐标是(x1＋x2，y1＋y2)，这正是两个复数之和z1＋z2所对应的有序实数对．第三章数系的扩充与复数的引入人教A版数学2．复数减法的几何意义复数z2－z1是指连结向量OZ1→，OZ2→的终点，并指向被减数的向量Z1Z2→所对应的复数．第三章数系的扩充与复数的引入人教A版数学3．对复数加减法几何意义的理解它包含两个方面：一方面是利用几何意义可以把几何图形的变换转化为复数运算去处理，另一方面对于一些复数的运算也可以给予几何解释，使复数作为工具运用于几何之中．4.学习复数的加(减)法，只需把握复数的实部与实部，虚部与虚部分别相加(减)即可．对于加(减)法的几何意义，应明确它们符合向量加(减)法的平行四边形法则．另外，还可以按三角形法则进行，这样类比记忆就把复杂问题简单化了．1．复数加法与减法的运算法则(1)设z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意两个复数，则z1＋z2＝，z1－z2＝.(2)对任意z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝，(z1＋z2)＋z3＝(a＋c)＋(b＋d)i(a－c)＋(b－d)iz2＋z1z1＋(z2＋z3)2．复数加减法的几何意义如图：设复数z1，z2对应向量分别为，，四边形OZ1ZZ2为平行四边形，则与z1＋z2对应的向量是，与z1－z2对应的向量是.实战演练[例1]计算：(1)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i)；(2)5i－[(3＋4i)－(－1＋3i)]；(3)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i(a，b∈R)．[解析](1)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i)＝(4－2i)－(5＋6i)＝－1－8i.(2)5i－[(3＋4i)－(－1＋3i)]＝5i－(4＋i)＝－4＋4i.(3)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i＝(a－2a)＋[b－(－3b)－3]i＝－a＋(4b－3)i.[点评]两个复数相加(减)，将两个复数的实部与实部相加(减)，虚部与虚部相加(减)．计算：(1)(－2＋3i)＋(5－i)；(2)(－1＋2i)＋(1－2i)．[解析](1)原式＝(－2＋5)＋(3－1)i＝3＋2i.(2)原式＝(－1＋1)＋(2－2)i＝0.设向量OZ1→及OZ2→在复平面内分别与复数z1＝5＋3i及复数z2＝4＋i对应，试计算z1－z2，并在复平面内表示出来．[解析]z1－z2＝(5＋3i)－(4＋i)＝(5－4)＋(3－1)i＝1＋2i.如下图所示，Z2Z1→即为z1－z2所对应的向量．根据复数减法的几何意义：复数z1－z2是连结向量OZ1→，OZ2→的终点，并指向被减数的向量所对应的复数．[例2]已知复平面内的平行四边形OABC的三个顶点O，A，C对应的复数分别为0,3＋2i，－2＋4i，试求：①AO→对应的复数；②CA→对应的复数；③B点对应的复数．[解析]①AO→＝－OA→，则AO→对应的复数为－(3＋2i)，即－3－2i.②CA→＝OA→－OC→，所以CA→对应的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.③OB→＝OA→＋AB→＝OA→＋OC→，所以OB→对应的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i，即B点对应的复数为1＋6i.总结：本题给出了几何图形上一些点对应的复数，因此，借助复数加、减法的几何意义求解即可，要学会利用复数加减运算的几何意义去解题，主要包含两个方面：(1)利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理．(2)对于一些复数运算也可以给予几何解释，使复数作为工具运用于几何之中．例如：已知复数z1，z2，z1＋z2在复平面内分别对应点A，B，C，O为原点，且|z1＋z2|＝|z1－z2|，判断四边形OACB的形状．把关系式|z1＋z2|＝|z1－z2|给予几何解释为：平行四边形两对角线长相等，故四边形OACB为矩形．[例3]若|z1|＝|z2|＝1，且|z1＋z2|＝2，求|z1－z2|.[解析]|z1＋z2|和|z1－z2|是以OZ1→和OZ2→为两邻边的平行四边形的两条对角线的长．如图所示，由|z1|＝|z2|＝1，|z1＋z2|＝2，知四边形为正方形，∴另一条对角线的长|z1－z2|＝2.总结：复数的减法也可用向量来进行运算，同样可实施平行四边形法则和三角形法则．满足条件|z－i|＝|3＋4i|的复数z在复平面上的对应点的轨迹是()A．一条直线B．两条直线C．圆D．椭圆[答案]C[解析]解法一：设z＝x＋yi(x，y∈R)，则由已知|z－i|＝|3＋4i|，得|x＋(y－1)i|＝|3＋4i|，∴x2＋(y－1)2＝9＋16，即x2＋(y－1)2＝25.故复数z在复平面上对应点的轨迹是以(0,1)为圆心，5为半径的圆．解法二：∵|z－i|＝|3＋4i|＝9＋16＝5，∴复数z与复数z1＝i两点间的距离为常数5，根据圆的定义知，复数z的轨迹是圆．故应选C.总结：解法一是利用复数的代数形式求解，即“化虚为实”．解法二则是利用复数的几何意义求解．关于复数模的问题，可以转化为复平面内两点间的距离解决．[误解]∵BA→＝CD→，∴zA－zB＝zD－zC，∴zD＝zA－zB＋zC＝(－5－2i)－(－4＋5i)＋2＝1－7i.即点D对应的复数为1－7i.[例4]已知：复平面上的四个点A、B、C、D构成平行四边形，顶点A、B、C对应于复数－5－2i，－4＋5i,2，求点D对应的复数．[辨析]四个点A、B、C、D构成平行四边形，并不仅有▱ABCD一种情况，应该还有▱ABDC和▱ACBD两种情况．如图所示．[正解]用相同的方法可求得另两种情况下点D对应的复数z.图①中点D对应的复数为3＋7i，图②中点D对应的复数为－11＋3i.一、选择题1．已知复数z1＝3＋4i，z2＝3－4i，则z1＋z2＝()A．8iB．6C．6＋8iD．6－8i[答案]B[解析]z1＋z2＝3＋4i＋3－4i＝(3＋3)＋(4－4)i＝62．若复数z满足z＋i－3＝3－i，则z＝()A．0B．2iC．6D．6－2i[答案]D[解析]∵z＋i－3＝3－i∴z＝3－i－(i－3)＝6－2i3．在复平面内，向量AB→，AC→对应的复数分别为－1＋2i，－2－3i，则BC→对应的复数为()A．－1－5iB．－1＋5iC．3－4iD．3＋4i[答案]A[解析]BC→＝AC→－AB→，故BC→对应的复数为(－2－3i)－(－1＋2i)＝－1－5i.二、填空题4．在复平面内，向量OZ1→对应的复数为－1－i，向量OZ2对应的复数为1－i，则OZ1→＋OZ2→对应的复数为________．[答案]－2i[解析]OZ1→＋OZ2对应的复数为－1－i＋1－i＝－2i.5．在复平面内，若OA→，OB→对应的复数分别为7＋i,3－2i，则|AB→|＝________.[答案]5[解析]AB→对应的复数为3－2i－(7＋i)＝－4－3i，所以|AB→|＝(－4)2＋(－3)2＝5.三、解答题6．已知z1＝(3x＋y)＋(y－4x)i，z2＝(4y－2x)－(5x＋3y)i(x，y∈R)，设z＝z1－z2，且z＝13－2i，求z1，z2.[解析]z＝z1－z2＝(3x＋y)＋(y－4x)i－[(4y－2x)－(5x＋3y)i]＝[(3x＋y)－(4y－2x)]＋[(y－4x)＋(5x＋3y)]i＝(5x－3y)＋(x＋4y)i，又因为z＝13－2i，且x，y∈R，所以5x－3y＝13，x＋4y＝－2，解得x＝2，y＝－1.所以z1＝(3×2－1)＋(－1－4×2)i＝5－9i，z2＝4×(－1)－2×2－[5×2＋3×(－1)]i＝－8－7i.