数学归纳法1

§2.3数学归纳法(1)【学情分析】：数学归纳法是一种特殊的直接证明的方法，在证明一些与正整数n（n取无限多个值）有关的数学命题时，数学归纳法往往是非常有用的研究工具，它通过有限个步骤的推理，证明n取无限多个正整数的情形。【教学目标】：（1）知识与技能：理解“归纳法”和“数学归纳法”的含意和本质；掌握数学归纳法证题的两个步骤一个结论；会用“数学归纳法”证明与正整数有关的数学命题。（2）过程与方法：初步掌握归纳与推理的方法；培养大胆猜想，小心求证的辩证思维素质。（3）情感态度与价值观：培养学生对于数学内在美的感悟能力。【教学重点】：借助具体实例了解数学归纳法的基本思想，掌握它的基本步骤(特别要注意递推步骤中归纳假设的运用和恒等变换的运用)，运用它证明一些与正整数有关的数学命题。【教学难点】：如何理解数学归纳法证题的有效性；递推步骤中如何利用归纳假设。【教学过程设计】：教学环节教学活动设计意图一、提出问题1.问题1：盒子里有八个乒乓球，如何证明里面的球全为白色？以试验的方式，从盒子中先取5次球，观察颜色并猜想其余球的颜色，判断猜想是否正确（完全归纳法）？2.考察部分对象，得到一般结论的方法，叫做不完全归纳法。不完全归纳法得到的结论不一定正确。考察全部对象，得到一般结论的方法，叫做完全归纳法。完全归纳法得到的结论一定正确。3.举2个小例子说明不完全归纳法不一定正确。小明的爸爸有3个儿子，老大说：“我叫1毛”，老二说：“我叫2毛”，老三说————？（我声明，我不叫3毛，我叫小明）。因为矩形与正方形的对角线都相等且互相平分，所以说所有四边形的对角线都相等且互相平分。4.问题2：请大家回忆，课本是如何得出等差数列的通项公式的？（板书）归纳出的结论——正确。5.问题3：对于数列{an}，已知nnnaaaa1,111（n=1,2,……），求出432,,aaa，我们猜想其通项公式为nan1。这个结论正确吗？生：讨论、交流。6.提出问题：很多时候用完全归纳法证明结论是否正确是不合适的，我们借助不完全归纳法去发现或猜想结论，那么如何解决不完全归纳法存在的问题呢？（只有经过严格的证明，不完全归纳得出的结论才是正确的。）通过实际例子了解不完全归纳法与完全归纳法的概念复习回顾提出问题，引发思考通过一系列的问题引出新课二、数学归纳法原理1.由多米诺骨牌引入数学归纳法[投影]多米诺骨牌游戏提出两个问题：若第一块不倒，出现什么情况？若中间某块倒下，不能使其下一块倒下，出现什么情况？所以多米诺骨牌游戏能进行下去要满足两个条件。（1）第一块骨牌倒下；（2）任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下。2．参照多米诺骨牌的原理，我们设想：在证明某些与正整数有关问题时，先证明当n取第一个值n0(例如n0=1或2)时，命题成立（即骨牌的第一块能倒），然后假设只要由n=k(k∈N*，k≥n0)时命题成立，就能推出n=k+1时命题也成立（即只要某一块倒下，就能使其下一块也倒下），那么就证明这个命题成立（所有骨牌都能倒下）。我们称这种证明方法叫做数学归纳法。（严谨，一而二，二而三，……以至无穷）数学归纳法的适用范围、原理电脑多媒体课件能够强化对学生感观的刺激，它创设生动、形象、直观的教学情景，可以极大提高学生的学习兴趣，加大一节课的信息容量，帮助学生理解和掌握知识三、应用给出问题3的数学归纳法的证明，将每一步骤标号。引导学生总结出数学归纳法的证题思路和步骤。数列{an}中，已知nnnaaaa1,111（n=1,2,……），则猜想其通项公式为nan1。证明：（1）当n=1时，,11a猜想式成立（2）假设当n=k时猜想成立，即kak1，那么当n=k+1时，根据已知kkkaaa11及假设kak1，所以1111111kkkaaakkk即当n=k+1时猜想也成立。由（1）（2）可以断定，等式对一切n∈N*都成立强调:要用到归纳假设；列出证明n=k+1成立时的目标通过此例引导学生总结数学归纳法的证题步骤。详细的板书推导利于学生总结归纳出数学归纳法的证题步骤及更进一步地理解原理四、归纳明确数学归纳法的“起动步骤”和“递推步骤”这“两个步骤”以及“一个结论”。用数学归纳法证明命题的具体步骤是：(1)（归纳奠基）证明当n取第一值n0(例如n0=1，n0=2等)时命题成立；(2)（归纳递推）假设n=k(k∈N*且k≥n0)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。在完成了这两个步骤以后，就可以断定命题对从n0开始的所有的自然数n都正确。强调：（1）上面的证明第一步是递推基础，第二步是递推的依据，两者缺一不可。（2）第一步要证明，n=k+1时也要证明，且过程中一定要用到假设。阅读课本：P93倒数第5行至P94例1上方。培养学生的归纳能力培养阅读习惯五、应用例1用数学归纳法证明2)12(531nn板书解答过程，注意解题规范，严防出现“依次类推”式的不完全归纳法；强调n=k成立必须应用在证明n=k+1成立的过程中，不可应用等差数列求和公式证明n=k+1成立。证明：（1）当n=1时，左式=1，右式=12，等式成立。（2）假设当n=k时，等式成立即2)12(531kk成立则当n=k+1时221)(k)12(]1)1(2[)]12(531[kkkk左式所以当n=k+1时等式也成立综合（1）（2）知，等式对于任意n∈N*都成立。演示此求证式的含义保证学生及时地在充分理解的基础上掌握数学归纳法的解题方法及步骤六、练习巩固P95.练习1.实物投影学生解答过程，及时点评。（学生板演练习）通过讲评可以及时发现学生解题中存在的问题，予以更正。七、知识小结适用：与正整数有关的命题重点：两个步骤、一个结论；注意：递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉通过小结总结所学，突出重点，强调难点十、课后作业1.P96习题2.3A组1（2）2.P96习题2.3B组1通过作业反馈，了解对所学知识掌握的效果，以利课后解决学生尚有疑难的地方十一、设计反思本节课让学生对数学归纳法的原理及证题步骤有一个初步的认识，所选例题及练习均是较基础和简单的。在教学过程中要强调：用数学归纳法证明命题时，难在第二步。即在假设n=k命题成立时，推出n=k+1时命题也成立。要顺利地完成这一步，主要依赖于观察、归纳、恒等变形等方面的能力。在推导证明中必须运用到“归纳假设”，否则不是数学归纳法。【练习与测试】：1．在用数学归纳法证明多边形内角和定理时，第一步应验证（）A.n=1时成立B.n=2时成立C.n=3时成立D.n=4时成立答案：C解：由于多边形最少是三角形，故选C。2.某个与正整数n有关的命题，如果当*()nkkN时该命题成立，则一定可推得当n=k+1时该命题也成立。现已知n=5时，该命题不成立，那么应有（）A.当n=4时，该命题成立B.当n=6时，该命题成立C.当n=4时，该命题不成立D.当n=6时，该命题不成立答案：C解：n=6时命题成立与否不能确定，排除B、D；假设n=4时，该命题成立，由已知得n=5时该命题成立，与已知条件矛盾，故选C。3．用数学归纳法证明：22111(1)1nnaaaaaa，在验证n=1时，左端计算所得的项为_______________________________。答案：1+a+a2解：由题意可知等式左端共有n+2项，∴当n=1时，左端有3项为1+a+a2。4.数列{an}中，已知nnnaaaa1,211（n=1,2,……），计算432,,aaa，猜想na的表达式并用数学归纳法证明。解：7252152,5232132,32432aaa猜想：122nan证明：（1）当n=1时，,21221a猜想式成立（2）假设当n=k时猜想成立，即122kak，那么当n=k+1时，根据已知kkkaaa11及假设122kak，所以1)1(22122122112211kkkkaaakkk即当n=k+1时猜想也成立。由（1）（2）可以断定，等式对一切n∈N*都成立5．用数学归纳法证明：n边形的内角和为(2)180n证明：（1）当n=3时，三角形内角和为180，满足(32)180。（2）假设当n=k时，命题成立，即k边形的内角和为(2)180k则当n=k+1时，相当于多出了一个三角形，内角增加了180，所以k+1边形的内角和为180]2)1[(180180)2(kk即当n=k+1时，命题成立。综合（1）（2），命题对于任意Nnn,3成立。6.若n为正整数，求证：n3+5n能被整除。证明：（1）当n=1时，命题显然成立；（2）假设当n=k时，命题成立，则k3+5k能被6整除则当n=k+1时，（k+1）3+5(k+1)=k3+3k2+3k+1+5k+5=(k3+5k)+3k(k+1)+6由假设知k3+5k能被6整除，而k(k+1)是2的倍数，即3k(k+1)为6的倍数，第三项6也能被6整除，因此，(k3+5k)+3k(k+1)+6能被6整除。综合(1)(2)知，原命题成立。