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在探索中提炼数学思想----《打电话》教学案例分析《新课标》指出，在进行概念教学时，应当让学生了解概念、结论等产生的背景、应用，理解基本的数学概念、数学结论的本质，体会其中所蕴涵的数学思想和方法，以及它们在后续学习中的作用，通过不同形式的自主学习、探究活动，体验数学发现和创造的历程。因而教师在此过程中，需要向学生提供丰富的、典型的、正确的发现背景材料让学生在老师指导下，对感性材料进行分析、综合、比较、分类、抽象、概括、系统化、具体化，这不仅是对数学思维方法的极好训练，也是对数学抽象与数学模型方法觉悟的极好机会。“打电话中的规律”是课程新出现的内容，蕴涵着深刻的数学思想，是培养和发展学生数学思维能力的有效载体。然而由于此类题目一般都孤立地存在于教材之中，没有形成系列，对每一道题的探索都要另起炉灶，所以，我们不像“双基”教学那样经验丰富。怎样达成《标准》要求的“能从较复杂的数学情境中分解出数学基本模型，并能分析其中的基本元素，体验规律并运用……”的目标呢?笔者结合《打电话》课例作了一些尝试和思考。【教学片段一】探究活动，解决问题（一）设计“打电话”方案师：如果每分钟通知1人，一共要几分钟？对于被埋人来说，早1秒到达，多一分希望。怎样通知最快？请你用画图的方式设计“打电话”的流程图。生：（自主设计方案）（二）展示各种方案1．方案1——逐一通知生1：我是队长逐一通知队员，用了15分钟。（图1）（图1）师：第1分钟谁在打电话？（队长）第2分钟呢？（队长）第3分钟呢？（队长）第15分钟呢？（队长）你发现什么？生1：都是队长在打电话。生2这种打电话的流程图不是最节省时间，每一分钟都是队长在打电话，接到通知的队员也可以通知其他的队员。2．方案2——分组通知生3：我是分组通知的，先是队长通知3个小组长，然后小组长再通知下面的4个小队员。（图2）（图2）234534564567（图3）解读流程图：谁看懂了这个流程图？要几分钟？生：5分钟。生：7分钟。师：依次重新演示流程图。（图3）第1分钟谁在打电话？第2分钟呢？…（在黑板上展示出流程图）师：比较两个流程图：为什么第1个流程图要花15分钟，第2个流程图只要花7分钟，节省的时间在哪里？生1：第一个流程图，只有队长一个人在打电话，第二个流程图有4个人在打电话。生2：不对，不是每一分钟都有4个人在打电话，不同的时间，打电话的人数在变，第一分钟和最后一分钟都只有一个人在打电话。生3：队长只有前3分钟在打电话。师：这种打电话的流程图是不是最节省时间。生：不是，队长和接到通知的队员还可以打电话。师：怎样设计是最节省时间的呢？213211一、经历规律的初始阶段要“充分”以画流程图为思维起点，边画边思考怎样设计才能使所有的队员最快到达。其中就隐含着“翻倍”的规律，要求他们学生通过看图说方法。这一环节看似简单操作，但学生的摆、画、数、看中有思考，是规律悟出的基础。展示不同学生的流程图，在比较、讨论中探索“打电话”的数学原型。故此，我以为不应因满足于得出答案而过早地将具体的规律抽象化，体验不同的方法，呈现不同的思维方式是形成规律不可或缺的元素。继而追问每一分钟都是谁在打电话？节省的时间在哪里？还有更节省时间的方法吗？剖析影响“打电话”最少时间的本质，进而激发学生的求知欲望，把学生导向深入探寻规律的活动中去。【教学片段二】3．方案3——所有人都不空闲生：我设计的是所有的人都不空闲。（图4）122333344444444（1）这个流程图表示什么意思？谁看懂了？需要几分钟？（2）第1分钟谁在打电话？第2分钟呢？第3分钟有几个人在打电话？总共有多少人知道？（3）第4分钟后下面摆几个？为什么？总共有多少人？第5分钟下面要摆几个？为什么？教师结合问题，演示流程图。（不同的时间用不同的演示）（4）第6分钟，第7分钟，都要这样摆下去吗？你有什么发现？（学生分组讨论）（图5）生：我发现下一分钟知道的总人数是上一分钟的2倍。8×2=16生：我发现下一分钟知道的人数和上一分钟人数是一样的。生：知道的人数在翻倍的增长。师：为什么会出现这样的现象呢?我们继续来研究其中的奥妙。二、经历规律的生成阶段要“丰满”展示规律的过程，为什么要乘2，所以在学生得出规律之前，我就是让学生充分感受其规律，通过图示，而展示图示的过程，也是初步形成的过程，比如让学生说“谁看懂这个图示法”，然后教师根据图示法摆出该打电话的网络图，在演示的过程中，教师不停的问，为什么要摆4个，为什么要摆8个，下面要摆几个？引发学生思考，体验翻一翻从而获得规律。在学生的思维被激活时，我当即组织学生分组讨论，放手让他们从不同角度探索不同的规律，要求把发现的规律不仅用算式具体地体现出来，而且结合图形对这些算式(规律)做出正确合理的解释。正因为如此，规律在学生自主探索中呼之欲出了，且思维清晰而有条理，学生的回答将课堂引向了精彩，将全体学生的思考由感性引向了深刻、理性。但这时的规律还是表象的，不是那么抽象，所以我又安排了表格，通过表格，最终获得理性的数学思考。【教学片段三】探索规律，应用规律1.填写表格师：你能不能将图中的信息填入表格呢？（数形结合）第几分钟12345678n通知的人1248163264128知道的总人数248163264128256知道的队员人数13771531631272552.这个方案中蕴藏着怎样的规律呢？2=2×1；4=2×2；8=2×2×2；16=2×2×2×2；32=2×2×2×2；32=2×2×2×2×2；64=2×2×2×2×2×2，你有什么发现？第7分钟呢？第8次知道的总人数是多少？20分钟后呢？生：20个2相乘。师：100分钟呢？生：100个2相乘。第N分钟呢？要通知50人，要几分分钟？（学生探索方案中有效的规律）3.对比这两种流程图？为什么一种要7分钟，一种只要4分钟，节省的时间在哪里？生：这是因为每一分钟知道的人都在打电话，没有人空闲。师：这种方案是不是最节省时间的？为什么？你认为队长会采用哪种打电话的流程图？为什么？三、经历规律的创新阶段要“深刻”本课教学中，我没有满足于使用教材，而是将课本中发现的规律演绎成一种数学方法和代数思想。提出20分钟有几个人？100分钟有几个人？最后延伸到第N分钟有多少人?再次发挥整理数据具体的特点，协助学生发现“打电话”的规律，并用代数的思想表示出“打电话”的规律。最终把表象的图像规律推向理性的代数式。这样，学生就经历了具体电话情境、表象的电话流程图、抽象的规律、概括代数式的创新阶段，思维经历一波高于一波，最终达到了顶峰。【教学片段四】师：自然界中植物的生长是千变万化的，可就有这么一棵奇妙的树：1.出示：有一棵奇妙的树，原来只有1个树枝，第一年长出1个树枝，第二年每个树枝分别长出1个新枝，第三年每个树枝又都分别长出1个新枝，照这样计算，第五年这棵树一共有几个树枝？（学生独立完成，并进行反馈）（学生独立完成，并进行反馈）师：其实这样的规律在我们日常的生活中也有，如：2.出示：阿米巴原虫（一种寄生虫）是用简单分裂的方式繁殖的，每分裂一次要用3分钟。请问一个阿米巴原虫18分钟后变成了几个阿米巴原虫？四、课堂小结，感受规律1.这节课你有什么收获？2．机动：出示：温家宝总理的图片，收到的人也转发给下一个人，不重复，发一个短信要30秒，4分钟后最多有多少人得到这个短信？15分钟后有多少人？107374182314亿人口要几分钟？四、运用规律的发散阶段要“辩证”不停的变式，找出本质的规律。第一个练习是巩固规律而做作准备，第二个练习的目的是让学生思考：为什么不是18个2相乘，而是6个2相乘，从而使学生明白18分钟不是18次而是6次，那为什么5年就是5次呢？因为1年一次。还有就是加1和减1的问题，也是在这两道题目中完成的。最后一个练习，主要是学生体验“打电话”这类题目几次后能产生一个巨大的数，也是体验这种题目最神奇的地方，我很喜欢这种题目，“30个2相乘有多大，你能估一估吗？”如果14亿需要几分钟？又一次有体验翻倍的神奇魅力。回顾整节课，我只有点拨引导的几句话，其余全都让学生自己在“做数学”。小学生由于受到年龄特征和认识水平的制约，他们总是以特定的方式在探究数学世界，寻找数学的本源，所以我认为对他们而言，“做”数学远比“听”数学有效得多，而只有给学生提供足够的活动时机，学生才会去奇思妙想，才会去联想翩翩，也才会有精彩的生成和创造。我还以为在让学生思维走向深入的同时，给教师的思维也提出了挑战。教师要善于把学生外在的“做”引向内在的“做”，适时把外在活动获取的直接经验，通过一定的方式内化为抽象的符号，数学思想方法是一项系统工程，受诸多因素的影响和制约。只有把握这些因素的特点，才能充分发挥它的整体功能。