人教版八年级数学下册-19.2.1-第2课时-正比例函数的图象与性质

19.2.1正比例函数高安市瑞阳实验学校第2课时正比例函数的图象与性质学习目标1.理解正比例函数的图象的特点，会利用两点法画正比例函数的图象．（重点）2.掌握正比例函数的性质，并能灵活运用解答有关问题．（难点）问题2：描点法画函数图象的三个步骤是_______、_______、_______.温故知新列表描点连线正比例函数的定义：一般地，形如y=kx(k为常数，k≠0)的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数.问题1：下列函数哪些是正比例函数？（1）y=kx；（2）y=x+3；（3）y=x；（4）y=x2.31例1画出下列正比例函数的图象：（1）y=2x，；（2）y=－1.5x，y=－4x.13yxxy100-12-2…………24-2-4解：（1）函数y=2x中自变量x可为任意实数.①列表如下：探究：正比例函数的图象特点y=2x②描点；③连线.同样可以画出函数的图象.13yx13yx观察发现：这两个图象都是经过原点的．而且都经过第象限；一、三直线解：（2）函数y=－1.5x，y=－4x的图象如下：y=－4xy=－1.5x发现：这两个函数图象都是经过原点和第象限的直线.二、四要点归纳y=kx(k是常数，k≠0)的图象是一条___________的直线图象y=kx(k≠0)经过的象限另外：函数y=kx的图象我们也称作直线y=kx12-1-2-1-212xyO12-1-2-1-212xyO第一、三象限第二、四象限k＞0k＜0经过原点练习用你认为最简单的方法画出下列函数的图象：（1）y=－3x；（2）3.2yx怎样画正比例函数的图象最简单？为什么？由于两点确定一条直线，画正比例函数图象时我们只需描点(0，0)和点(1，k)，连线即可.两点作图法Ox01y=-3xxy230-3032y=-3x32yx函数y=－3x，的图象如下：32yx解：列表如下：（1）若函数图象经过第一、三象限，则k的取值范围是________.例2已知正比例函数y=(k+1)x.k＞-1解析：因为函数图象经过第一、三象限，所以k+10，解得k－1.典例精析（2）若函数图象经过点（2，4），则k=_____.解析：将坐标（2，4）代入函数解析式中，得4=(k+1)·2，解得k=1.1问题：在函数y=x,y=3x,y=-x和y=-4x中，随着x的增大，y的值分别如何变化?21分析：对于函数y=x,当x=-1时，y=;当x=1时，y=;当x=2时，y=;不难发现y的值随x的增大而.－112增大探究：正比例函数的性质我们还可以借助函数图象分析此问题.观察图象可以发现：直线y=x,y=3x向右逐渐,即y的值随x的增大而增大;直线y=－x，y=－4x向右逐渐，即y的值随x的增大而增大而减小.21上升下降（1）正比例函数y=x和y=3x中，随着x值的增大y的值都增加了，其中哪一个增加得更快？你能说明其中的道理吗？（2）正比例函数y=-x和y=-4x中，随着x值的增大y的值都减小了，其中哪一个减小得更快？你是如何判断的？|k|越大，直线越陡，直线越靠近y轴.21思考一般地，正比例函数y=kx（k是常数，k≠0）的图象是一条经过原点（0,0）和点（1,k）的直线.当k0时，直线y＝kx经过第三、一象限，从左向右上升，y随x的增大而增大;当k0时，直线y＝kx经过第二、四象限，从左向右下降，y随x的增大而减小.归纳12-1-2-1-212xyO12-1-2-1-212xyO正比例函数的图象和性质正比例函数图象的位置和函数值y的增减性由比例系数k的符号决定.1.已知正比例函数y=2x的图象上有两点（3，y1），（5，y2），则y1y2.分析：因为k0，所以y的值随着x值的增大而减小，又-31，则y1y2.2.已知正比例函数y=kx(k0)的图象上有两点（-3，y1），（1，y2），则y1y2.巩固练习3.例3：已知正比例函数y＝(1－2a)x.(1)若函数的图象经过原点和第一、三象限，试求a的取值范围；(2)若点A(x1，y1)和点B(x2，y2)为函数图象上的两点，且x1x2，y1y2，试求a的取值范围；(3)若函数的图象经过点(－1，2)，①求此函数关系式并作出其图象；②如果x的取值范围是－1x5，求y的取值范围．典例精析(1)由题意知1－2a＞0，所以a＜.(2)由题意知1－2a＜0，所以a＞.(3)①由题意知2＝(1－2a)×(－1)，解得a＝，则此函数关系式为y＝－2x.图象略．②由①得，y＝－2x，当x＝－1时，y＝2，当x＝5时，y＝－10，所以y的取值范围为－10y2.解：123212例4：如图，已知正比例函数y＝kx的图象经过点A，点A在第四象限，过点A作AH⊥x轴，垂足为点H，点A的横坐标为3，且△AOH的面积为3.(1)求正比例函数的解析式．(2)在x轴上是否存在一点P，使△AOP的面积为5？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．典例精析解：(1)因为点A的横坐标为3，且在第四象限，△AOH的面积为3，所以点A的纵坐标为－2.故点A的坐标为(3，－2)．因为正比例函数y＝kx的图象经过点A，所以3k＝－2，解得k＝－.所以正比例函数的解析式是y＝－x.(2)存在．因为点P在x轴上，△AOP的面积为5，点A的坐标为(3，－2)，所以OP＝5.所以点P的坐标为(5，0)或(－5，0)．23231.已知正比例函数y=mx的图象经过点（m，4），且y的值随着x值的增大而减小，求m的值.解：∵正比例函数y=mx的图象经过点（m，4）,∴4=m·m，解得m=±2.又∵y的值随着x值的增大而减小，∴m0，故m=－2巩固练习2．若正比例函数y＝(2m＋1)x2－m2，y随x的增大而增大，求正比例函数的解析式．解：由题意知∴m＝1，∴y＝3x.221,210,mm1.下列图象哪个可能是函数y=－x的图象（）B2.对于正比例函数y=（k-2）x，当x增大时，y随x的增大而增大，则k的取值范围（）A．k＜2B．k≤2C．k＞2D．k≥2C能力提升3.函数y=-7x的图象经过第_________象限，经过点_______与点，y随x的增大而_______.二、四（0，0）（1,-7）减小4.已知正比例函数y=(2m+4)x.（1）当m，函数图象经过第一、三象限；（2）当m，y随x的增大而减小；（3）当m，函数图象经过点（2，10）.＞-2-2=0.55.如图分别是函数y=k1x，y=k2x，y=k3x，y=k4x的图象.（1）k1____k2，k3____k4(填“”或“”或“=”)；（2）用不等号将k1，k2，k3，k4及0依次连接起来．＜解：k1＜k2＜0＜k3＜k442-2-44xyOy=k4x-4-22y=k3xy=k2xy=k1x＜6.7.8.9.若点A（－2，y1），B（3，y2），C（1，y3）都在正比例函数y=－2x的图象上，试比较y1，y2，y3的大小.正比例函数的图象和性质图象：经过原点的直线.当k0时，经过第一、三象限；当k0时，经过第二、四象限.性质：当k0时，y的值随x值的增大而增大；当k0时，y的值随x值的增大而减小.课堂总结从特殊到一般、数形结合、方程思想、待定系数法