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-1-二平行线分线段成比例定理-2-二平行线分线段成比例定理ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航1.掌握平行线分线段成比例定理及其推论.2.能利用平行线分线段成比例定理及推论解决有关问题.-3-二平行线分线段成比例定理ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航121.平行线分线段成比例定理文字语言三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例符号语言a∥b∥c,直线m分别与a,b,c相交于点A,B,C,直线n分别与a,b,c相交于点D,E,F,则ABBC=DEEF图形语言作用证明分别在两条直线上的线段成比例-4-二平行线分线段成比例定理ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航12名师点拨1.定理的条件与平行线等分线段定理的条件相同,它需要a,b,c互相平行,构成一组平行线,m与n可以平行,也可以相交,但它们必须与已知的平行线a,b,c相交,即被平行线a,b,c所截.平行线的条数还可以更多.3.当截得的对应线段成比例,且比值为1时,则截得的线段相等,因此平行线分线段成比例定理是平行线等分线段定理的扩充,而平行线等分线段定理是平行线分线段成比例定理的特例;平行线等分线段定理是证明线段相等的依据,而平行线分线段成比例定理是证明线段成比例的依据.2.定理的结论还有𝐴𝐵𝐴𝐶=𝐷𝐸𝐷𝐹,𝐶𝐵𝐶𝐴=𝐹𝐸𝐹𝐷等.-5-二平行线分线段成比例定理ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航12【做一做1】如图,a∥b∥c,AB=2,BC=3,则𝐴1𝐵1𝐵1𝐶1等于()A.32B.23C.25D.35解析:∵a∥b∥c,∴𝐴1𝐵1𝐵1𝐶1=𝐴𝐵𝐵𝐶=23.答案:B-6-二平行线分线段成比例定理ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航122.推论文字语言平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例符号语言直线DE分别与△ABC的两边AB,AC所在直线交于点D,E,且DE∥BC,则ADDB=AEEC图形语言作用证明三角形中的线段成比例-7-二平行线分线段成比例定理ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航12【做一做2-1】如图,在△ABC中,DE∥BC,若AD=3,BD=1,则𝐴𝐸𝐴𝐶等于()A.1B.3C.43D.34解析:∵DE∥BC,∴𝐴𝐸𝐴𝐶=𝐴𝐷𝐴𝐵=𝐴𝐷𝐴𝐷+𝐵𝐷=33+1=34.答案:D-8-二平行线分线段成比例定理ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航12【做一做2-2】如图,AB∥CD,AC,BD相交于O点,若BO=7,DO=3,AC=25,则AO的长为()A.10B.12.5C.15D.17.5解析:∵AB∥CD,∴𝐴𝑂𝑂𝐶=𝐵𝑂𝑂𝐷=73,∴𝐴𝑂𝐴𝐶=710,∴AO=710𝐴𝐶=710×25=352=17.5.答案:D-9-二平行线分线段成比例定理ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航比例的有关概念及性质剖析:(1)线段的比:用同一个长度单位去量两条线段,所得的长度比叫做这两条线段的比.(2)比例线段:在四条线段中,如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比,那么这四条线段叫做成比例线段,简称比例线段.(3)比例的有关概念:已知四条线段a,b,c,d,如果𝑎𝑏=𝑐𝑑或a∶b=c∶d,那么线段a,d叫做比例外项,线段b,c叫做比例内项,线段d叫做线段a,b,c的第四比例项.若𝑎𝑏=𝑏𝑐或b2=ac,那么线段b叫做线段a,c的比例中项.-10-二平行线分线段成比例定理ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航(4)比例的性质:①基本性质:a∶b=c∶d⇔ad=bc.②合比性质:如果𝑎𝑏=𝑐𝑑,那么𝑎+𝑏𝑏=𝑐+𝑑𝑑.③等比性质:如果𝑎𝑏=𝑐𝑑=⋯=𝑚𝑛(其中b+d+…+n≠0),那么𝑎+𝑐+…+𝑚𝑏+𝑑+…+𝑛=𝑎𝑏.(5)线段的比与比例线段是既有区别又有联系的两个概念.线段的比是对两条线段而言的,而比例线段是对四条线段而言的.线段的比有顺序性,a∶b与b∶a通常是不相等的;比例线段也有顺序性,如线段a,b,c,d成比例与线段a,c,b,d成比例不同.-11-二平行线分线段成比例定理ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四题型一证明线段成比例【例1】如图,AD为△ABC的中线,在AB上取点E,AC上取点F,使AE=AF.分析:这道题目要证的比例中的线段都没有直接的联系,可以考虑把比例转移,过点C作CM∥EF,交AB于点M,交AD于点N,且BC的中点为D,可以考虑补出一个平行四边形来证明.求证:𝐸𝑃𝐹𝑃=𝐴𝐶𝐴𝐵.-12-二平行线分线段成比例定理ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四证明:如图,过点C作CM∥EF,交AB于点M,交AD于点N.∵AE=AF,∴AM=AC.∵AD为△ABC的中线,∴BD=CD.延长AD到点G,使得DG=AD,连接BG,CG,则四边形ABGC为平行四边形.∴AB=GC.又∵AB∥GC,AM=AC,GC=AB,∵CM∥EF,∴𝐸𝑃𝑀𝑁=𝐹𝑃𝐶𝑁=𝐴𝑃𝐴𝑁.∴𝐸𝑃𝐹𝑃=𝑀𝑁𝐶𝑁.∴𝑀𝑁𝐶𝑁=𝐴𝑀𝐺𝐶=𝐴𝐶𝐴𝐵.∴𝐸𝑃𝐹𝑃=𝐴𝐶𝐴𝐵.-13-二平行线分线段成比例定理ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四反思1.比例线段常由平行线产生,因而研究比例线段问题应注意平行线的应用,在没有平行线时,可以添加平行线来促成比例线段的产生.2.利用平行线产生比例或转移比例是常用的证题技巧,当题中没有平行线而有必要转移比例时,也常添加辅助平行线,从而达到转移比例的目的.-14-二平行线分线段成比例定理ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四【变式训练1】如图,在△ABC(ABAC)的边AB上取一点D,在边AC上取一点E,使AD=AE,直线DE和BC的延长线交于点P.求证:BP∶CP=BD∶CE.证明:如图,过点C作CF∥BA交DP于点F.∵CF∥BD,∴𝐵𝑃𝐶𝑃=𝐵𝐷𝐶𝐹.又∵CF∥BA,∴𝐶𝐸𝐴𝐸=𝐶𝐹𝐴𝐷.又AD=AE,∴CE=CF.∴𝐵𝑃𝐶𝑃=𝐵𝐷𝐶𝐸,即BP∶CP=BD∶CE.-15-二平行线分线段成比例定理ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四题型二证明线段相等【例2】如图,在△ABC中,E为中线AD上的一点,𝐷𝐸𝐴𝐸=12,连接𝐵𝐸并延长,交𝐴𝐶于点𝐹.求证:AF=CF.分析:关键是条件𝐷𝐸𝐴𝐸=12的应用,通过作平行线,证明𝑥𝐴𝐹=𝑥𝐹𝐶,其中x是某条线段.-16-二平行线分线段成比例定理ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四证明:过点D作DH∥AC,交BF于点H,如图.∵D是BC的中点,∴𝐷𝐻𝐶𝐹=𝐵𝐷𝐵𝐶=12.∵𝐷𝐸𝐴𝐸=12,∴𝐷𝐸𝐴𝐸=𝐷𝐻𝐶𝐹.又∵DH∥AF,∴𝐷𝐻𝐴𝐹=𝐷𝐸𝐴𝐸=12.∴𝐷𝐻𝐴𝐹=𝐷𝐻𝐶𝐹,∴𝐴𝐹=𝐶𝐹.反思在利用平行线证明或计算时,常常根据已知条件将复杂的图形进行分解,从中找出基本图形,“借图解题”.-17-二平行线分线段成比例定理ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四【变式训练2】如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,F为对角线AC上一点,FE∥BC交AB于点E,DF的延长线交BC于点H,DE的延长线交CB的延长线于点G.求证:BC=GH.证明:∵FE∥BC,∴𝐸𝐹𝐵𝐶=𝐴𝐸𝐴𝐵,𝐸𝐹𝐺𝐻=𝐷𝐹𝐷𝐻.∵AD∥EF∥BH,∴𝐴𝐸𝐴𝐵=𝐷𝐹𝐷𝐻.∴𝐸𝐹𝐵𝐶=𝐸𝐹𝐺𝐻.∴𝐵𝐶=𝐺𝐻.-18-二平行线分线段成比例定理ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四题型三证明线段倒数和的等式【例3】如图,AB⊥BD于点B,CD⊥BD于点D,连接AD,BC交于点E,EF⊥BD于点F.求证:1𝐴𝐵+1𝐶𝐷=1𝐸𝐹.分析:转化为证明𝐸𝐹𝐴𝐵+𝐸𝐹𝐶𝐷=1.由于AB∥EF∥CD,因此将𝐸𝐹𝐴𝐵与𝐸𝐹𝐶𝐷化归为同一直线BD上的线段比就可得证.-19-二平行线分线段成比例定理ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四证明:∵AB⊥BD,CD⊥BD,EF⊥BD,∴AB∥EF∥CD.∴𝐸𝐹𝐴𝐵=𝐷𝐹𝐵𝐷,𝐸𝐹𝐶𝐷=𝐵𝐹𝐵𝐷.∴𝐸𝐹𝐴𝐵+𝐸𝐹𝐶𝐷=𝐷𝐹𝐵𝐷+𝐵𝐹𝐵𝐷=𝐷𝐹+𝐵𝐹𝐵𝐷=𝐵𝐷𝐵𝐷=1.∴1𝐴𝐵+1𝐶𝐷=1𝐸𝐹.反思证明有关线段倒数和的等式时,常用的方法是首先将其变形为线段比的和为定值的形式,然后化归为同一直线上的线段比.-20-二平行线分线段成比例定理ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四【变式训练3】如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,EF经过梯形对角线的交点O,且EF∥AD.(1)求证:OE=OF;(2)求证:1𝐴𝐷+1𝐵𝐶=1𝑂𝐸.-21-二平行线分线段成比例定理ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四证明:(1)∵EF∥AD,AD∥BC,∴EF∥AD∥BC.∵EF∥BC,∴𝑂𝐸𝐵𝐶=𝐴𝐸𝐴𝐵,𝑂𝐹𝐵𝐶=𝐷𝐹𝐷𝐶.∵EF∥AD∥BC,∴𝐴𝐸𝐴𝐵=𝐷𝐹𝐷𝐶.∴𝑂𝐸𝐵𝐶=𝑂𝐹𝐵𝐶,∴𝑂𝐸=𝑂𝐹.(2)∵OE∥