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-1-三相似三角形的判定及性质-2-1.相似三角形的判定-3-1.相似三角形的判定ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航1.了解三角形相似的定义,掌握相似三角形的判定定理以及直角三角形相似的判定方法.2.会证明三角形相似,并能解决有关问题.-4-1.相似三角形的判定ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航1231.相似三角形(1)定义:对应角相等,对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形,相似三角形对应边的比值叫做相似比(或相似系数).(2)记法:两个三角形相似,用符号“∽”表示,例如△ABC与△A'B'C'相似,记作△ABC∽△A'B'C'.归纳总结1.三角形相似与三角形全等不同,全等三角形一定相似,但相似三角形不一定全等.2.相似三角形定义中的“对应边成比例”是三组对应边分别成比例.3.相似三角形对应顶点的字母必须写在相应的位置上,这一点与全等三角形是一致的.例如△ABC和△DEF相似,若点A与点E对应,点B与点F对应,点C与点D对应,则记为△ABC∽△EFD.-5-1.相似三角形的判定ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航123【做一做1】已知△ABC∽△A'B'C',下列选项中的式子,不一定成立的是()A.∠B=∠B'B.∠A=∠C‘解析:很明显选项A,C,D均成立.因为∠A和∠C'不是对应角,所以∠A=∠C'不一定成立.答案:BC.𝐴𝐵𝐴'𝐵'=𝐵𝐶𝐵'𝐶'D.𝐴𝐵𝐴'𝐵'=𝐴𝐶𝐴'𝐶'-6-1.相似三角形的判定ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航1232.相似三角形的判定定理内容简述作用预备定理平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似判定两个三角形相似判定定理1对于任意两个三角形,如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似两角对应相等,两三角形相似-7-1.相似三角形的判定ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航123续表定理内容简述作用判定定理2对于任意两个三角形,如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似判定两个三角形相似引理如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边判定两条直线平行-8-1.相似三角形的判定ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航123续表定理内容简述作用判定定理3对于任意两个三角形,如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似三边对应成比例,两三角形相似判定两个三角形相似-9-1.相似三角形的判定ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航123知识拓展判定三角形相似的三种基本图形(1)平行线型:(2)相交线型:(3)旋转型:-10-1.相似三角形的判定ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航123【做一做2-1】如图,在△ABC中,FD∥GE∥BC,则与△AFD相似的三角形有()A.1个B.2个C.3个D.4个解析:∵FD∥GE∥BC,∴△AFD∽△AGE∽△ABC,故与△AFD相似的三角形有2个.答案:B-11-1.相似三角形的判定ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航123【做一做2-2】如图,DE与BC不平行,当𝐴𝐵𝐴𝐶=_______时,△ABC∽△AED.解析:△ABC与△ADE有一个公共角∠A,当夹∠A的两边对应成比例,即𝐴𝐵𝐴𝐶=𝐴𝐸𝐴𝐷时,这两个三角形相似.答案:𝐴𝐸𝐴𝐷-12-1.相似三角形的判定ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航1233.直角三角形相似的判定定理(1)如果两个直角三角形有一个锐角对应相等,那么它们相似;(2)如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例,那么它们相似.(3)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似.名师点拨直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形分别与原三角形相似.在证明直角三角形相似时,要特别注意利用直角这一条件.-13-1.相似三角形的判定ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航123【做一做3】在△ABC和△A'B'C'中,若∠A=∠A'=90°,𝐴𝐵𝐴'𝐵'=𝐵𝐶𝐵'𝐶',∠B=35°,则∠C'=.解析:∵∠A=∠A'=90°,∴△ABC和△A'B'C'均是直角三角形.又∵𝐴𝐵𝐴'𝐵'=𝐵𝐶𝐵'𝐶',∴△ABC∽△A'B'C'.∴∠C'=∠C.又∵∠B=35°,∴∠C=90°-∠B=90°-35°=55°,∴∠C'=55°.答案:55°-14-1.相似三角形的判定ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航同一法证明几何问题剖析:当直接证明一个几何问题比较困难时,往往采用间接证明的方法.“同一法”就是一种间接证明的方法.应用同一法证明问题时,往往首先作出一个满足命题结论的图形,然后证明图形符合命题的已知条件,确定所作图形与题设条件所指的图形相同,从而证明命题成立.例如,如图,已知PQ,TR为☉O的切线,P,R为切点,PQ∥RT,证明PR为☉O的直径.-15-1.相似三角形的判定ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航证明:如图,延长PO交RT于点R',∵PO⊥PQ,∴PR'⊥PQ.∵PQ∥RT,∴PR'⊥RT,即OR'⊥RT.又∵TR为☉O的切线,R为切点,∴OR⊥RT,∴点R'与点R重合,∴PR为☉O的直径.由上例可以看出,同一法证明几何问题的步骤如下:(1)首先作出一个符合结论的图形,然后推证出所作的图形符合已知条件;(2)根据唯一性,证明所作出的图形与已知的图形是全等的或重合的;(3)说明已知图形符合结论.-16-1.相似三角形的判定ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四题型一判定三角形相似【例1】如图,已知𝐴𝐵𝐴𝐷=𝐵𝐶𝐷𝐸=𝐴𝐶𝐴𝐸.求证:△ABD∽△ACE.分析:由已知𝐴𝐵𝐴𝐷=𝐴𝐶𝐴𝐸,得𝐴𝐵𝐴𝐶=𝐴𝐷𝐴𝐸,则要证明△ABD∽△ACE,只需证明∠DAB=∠EAC即可.-17-1.相似三角形的判定ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四证明:因为𝐴𝐵𝐴𝐷=𝐵𝐶𝐷𝐸=𝐴𝐶𝐴𝐸,所以△ABC∽△ADE.所以∠BAC=∠EAD,∠BAC-∠DAC=∠EAD-∠DAC,即∠DAB=∠EAC.又𝐴𝐵𝐴𝐷=𝐴𝐶𝐴𝐸,即𝐴𝐵𝐴𝐶=𝐴𝐷𝐴𝐸,所以△ABD∽△ACE.反思1.本题中,∠DAB与∠EAC的相等关系不易直接找到,这里用∠BAC=∠EAD,在∠BAC和∠EAD中分别减去同一个角∠DAC,间接证明∠DAB=∠EAC.2.判定两个三角形相似时,关键是分析已知哪些边对应成比例,哪些角对应相等,根据三角形相似的判定定理,找到符合定理的条件就能推导出结论.-18-1.相似三角形的判定ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四【变式训练1】如图,∠1=∠2,∠3=∠4.求证:△ABD∽△ACE.证明:∵∠1=∠2,∴∠BAC=∠DAE.又∵∠3=∠4,∴△ABC∽△ADE.又∵∠1=∠2,∴△ABD∽△ACE.∴𝐴𝐵𝐴𝐷=𝐴𝐶𝐴𝐸.∴𝐴𝐵𝐴𝐶=𝐴𝐷𝐴𝐸.-19-1.相似三角形的判定ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四题型二判定直角三角形相似【例2】如图,已知在正方形ABCD中,P是BC上的点,且BP=3PC,Q是CD的中点.求证:△ADQ∽△QCP.分析:由于这两个三角形都是直角三角形,且已知条件是线段间的关系,故考虑证明对应边成比例,即只需证明𝐴𝐷𝑄𝐶=𝐷𝑄𝐶𝑃即可.-20-1.相似三角形的判定ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四反思直角三角形相似的判定方法很多,既可根据一般三角形相似的判定方法判定,又有其特有的判定方法.在求证、识别的过程中,可由已知条件结合图形特征确定合适的方法.证明:在正方形ABCD中,∵Q是CD的中点,∴𝐴𝐷𝑄𝐶=2.∵𝐵𝑃𝑃𝐶=3,∴𝐵𝐶𝑃𝐶=4.又BC=2DQ,∴𝐷𝑄𝐶𝑃=2.在△ADQ和△QCP中,𝐴𝐷𝑄𝐶=𝐷𝑄𝐶𝑃=2,∠C=∠D=90°,∴△ADQ∽△QCP.-21-1.相似三角形的判定ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四【变式训练2】如图,∠ACB=∠ADC=90°,AC=6,𝐴𝐷=2.当𝐴𝐵的长为多少时,这两个直角三角形相似?-22-1.相似三角形的判定ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四解:∵在Rt△ACD中,AC=6,𝐴𝐷=2,∴CD=𝐴𝐶2-𝐴𝐷2=6-22=2.要使这两个直角三角形相似,有两种情况:①当Rt△ABC∽Rt△ACD时,有𝐴𝐶𝐴𝐷=𝐴𝐵𝐴𝐶,故AB=𝐴𝐶2𝐴𝐷=62=3.②当Rt△ACB∽Rt△CDA时,有𝐴𝐶𝐶𝐷=𝐴𝐵𝐴𝐶,故AB=𝐴𝐶2𝐶𝐷=62=32.综上,当AB的长为3或32时,这两个直角三角形相似.-23-1.相似三角形的判定ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四题型三证明线段成比例【例3】如图,在△ABC中,∠ABC=2∠C,BD平分∠ABC.求证:𝐴𝐵𝐴𝐶=𝐶𝐷𝐵𝐶.分析:所要证明的等式中的四条线段AB,AC,CD,BC分别在△ABC和△BCD中,但这两个三角形不相似,由题意可得BD=CD,这样AB,