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-1-2.相似三角形的性质-2-2.相似三角形的性质ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航1.掌握相似三角形的性质.2.能利用相似三角形的性质解决有关问题.-3-2.相似三角形的性质ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航相似三角形的性质定理(1)相似三角形对应角相等,对应边成比例;(2)相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比;(3)相似三角形周长的比等于相似比;(4)相似三角形面积的比等于相似比的平方;(5)相似三角形外接(内切)圆的直径比、周长比等于相似比,外接(内切)圆的面积比等于相似比的平方.-4-2.相似三角形的性质ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航【做一做1】已知△ABC∽△A'B'C',AB=4,A'B'=3,则BC和B'C'上对应中线的比等于()答案:AA.43B.34C.169D.无法确定解析:相似比为𝐴𝐵𝐴'𝐵'=43,则BC和B'C'上对应中线的比等于相似比43.-5-2.相似三角形的性质ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航【做一做2】已知△ABC∽△A'B'C',且𝑆△𝐴𝐵𝐶𝑆△𝐴'𝐵'𝐶'=14,𝐵𝐶=2,则𝐵′𝐶′等于()A.2B.4C.8D.16解析:∵𝑆△𝐴𝐵𝐶𝑆△𝐴'𝐵'𝐶'=𝐵𝐶𝐵'𝐶'2=14,∴𝐵𝐶𝐵'𝐶'=12.又∵BC=2,∴B'C'=2BC=4.答案:B-6-2.相似三角形的性质ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航【做一做3】已知△ABC∽△A'B'C',𝐴𝐵𝐴'𝐵'=23,△ABC外接圆的直径为4,则△A'B'C'外接圆的直径等于()A.2B.3C.6D.9解析:设△A'B'C'和△ABC外接圆的直径分别是d',d,则𝑑'𝑑=𝐴'𝐵'𝐴𝐵,∴𝑑'4=32,∴𝑑′=6.答案:C-7-2.相似三角形的性质ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航相似三角形性质和全等三角形性质的比较剖析:如下表所示.全等三角形相似三角形对应边相等对应边成比例对应角相等对应角相等对应中线相等对应中线的比等于相似比对应角平分线相等对应角平分线的比等于相似比对应高相等对应高的比等于相似比周长相等周长的比等于相似比面积相等面积的比等于相似比的平方-8-2.相似三角形的性质ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航全等三角形相似三角形外接(内切)圆的直径相等外接(内切)圆的直径比等于相似比外接(内切)圆的周长相等外接(内切)圆的周长比等于相似比外接(内切)圆的面积相等外接(内切)圆的面积比等于相似比的平方-9-2.相似三角形的性质ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型一等相似比问题【例1】已知△ABC∽△A'B'C',△ABC的周长为60cm,△A'B'C'的周长为72cm,AB=15cm,B'C'=24cm,求:(1)BC,A'B';(2)AC,A'C'.分析:先由相似三角形周长的比得到相似比,再利用相似比求解.-10-2.相似三角形的性质ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三解:∵△ABC∽△A'B'C',∴𝐴𝐵𝐴'𝐵'=𝐵𝐶𝐵'𝐶'=𝐴𝐶𝐴'𝐶'=6072=56.(1)∵AB=15cm,∴15𝐴'𝐵'=56,∴𝐴′𝐵′=18cm.∵B'C'=24cm,∴𝐵𝐶24=56,∴BC=20cm.(2)∵AB+BC+AC=60cm,∴AC=60-AB-BC=60-15-20=25(cm).∵𝐴𝐶𝐴'𝐶'=56,∴25𝐴'𝐶'=56,解得A'C'=30cm.-11-2.相似三角形的性质ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三反思利用相似三角形的性质进行有关的计算,往往与相似三角形对应边的比及对应角相等有关.解决此类问题,要善于联想,变换比例式,从而达到求解的目的.-12-2.相似三角形的性质ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三【变式训练1】如果两个相似三角形对应边上的中线之比为3∶4,周长之和是35,那么这两个三角形的周长分别是()A.13和22B.14和21C.15和20D.16和19解析:由相似三角形的周长之比、对应中线之比均等于相似比,可得两个相似三角形的周长之比又∵C1+C2=35,∴C1=15,C2=20,即两个三角形的周长分别为15,20.答案:C𝐶1𝐶2=34.-13-2.相似三角形的性质ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型二面积比问题【例2】如图,D,E分别是AC,AB上的点,𝐴𝐸𝐴𝐶=𝐴𝐷𝐴𝐵=35,△ABC的面积为100cm2.求四边形BCDE的面积.分析:由于四边形BCDE是不规则四边形,直接求其面积有困难,因此可转化为求△ABC与△ADE的面积的差.-14-2.相似三角形的性质ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三解:∵𝐴𝐸𝐴𝐶=𝐴𝐷𝐴𝐵=35,∠A=∠A,∴△ADE∽△ABC,∴𝑆△𝐴𝐷𝐸𝑆△𝐴𝐵𝐶=𝐴𝐸𝐴𝐶2=925.又∵S△ABC=100cm2,∴𝑆△𝐴𝐷𝐸100=925,∴S△ADE=36cm2.∴S四边形BCDE=S△ABC-S△ADE=100-36=64(cm2).反思有关三角形的面积之比问题,除考虑三角形的相似比外,还要注意它们是否等高或等底,若是,则可转化为面积之比等于底边比或相应高之比.-15-2.相似三角形的性质ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三【变式训练2】如图,在△ABC中,DE∥BC,S△ADE∶S△ABC=4∶9.求:(1)𝐴𝐸𝐸𝐶;(2)𝑆△𝐴𝐷𝐸𝑆△𝐶𝐷𝐸.-16-2.相似三角形的性质ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三解:(1)∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC.∴𝑆△𝐴𝐷𝐸𝑆△𝐴𝐵𝐶=𝐴𝐸𝐴𝐶2=49.∴𝐴𝐸𝐴𝐶=23,𝐴𝐸𝐸𝐶=21=2.(2)如图,过点D作DF⊥AC,垂足为F,则S△ADE=12𝐷𝐹·AE,S△CDE=12𝐷𝐹·EC,故𝑆△𝐴𝐷𝐸𝑆△𝐶𝐷𝐸=12𝐷𝐹·𝐴𝐸12𝐷𝐹·𝐸𝐶=𝐴𝐸𝐸𝐶=21=2.-17-2.相似三角形的性质ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型三实际应用问题【例3】如图,一天早上,小张正向着教学楼AB走去,教学楼后面有一水塔DC,可过了一会抬头一看:“怎么看不到水塔了?”小张心里很是纳闷.经过了解,教学楼、水塔的高分别是20m和30m,它们之间的距离为30m,小张身高为1.6m.小张要想看到水塔,他与教学楼之间的距离至少应有多少米?分析:此题的解法很多,其关键是添加适当的辅助线,构造相似三角形,利用相似三角形的知识解题.-18-2.相似三角形的性质ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三解:如图,设小张在点F与教学楼的距离为xm时,正好看到水塔.连接FD,由题意知,点A在FD上,过F作FG⊥CD于G,交AB于H,则四边形FEBH、四边形BCGH都是矩形.∵AB∥CD,∴△AFH∽△DFG.∴AH∶DG=FH∶FG,即(20-1.6)∶(30-1.6)=x∶(x+30),解得x=55.2.经检验x=55.2是所列方程的根.故小张与教学楼的距离至少应有55.2m,才能看到水塔.反思此类问题是利用数学模型解决实际问题,关键在于认真分析题意转化成数学问题,构造相似三角形求解.-19-2.相似三角形的性质ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三【变式训练3】为了测量学校操场上旗杆的高度,小明请同学帮忙,测得同一时刻自己的影长和旗杆的影长分别为0.5m和3m,示意图如图.如果小明身高为1.5m,那么旗杆的高度为m.-20-2.相似三角形的性质ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三解析:根据题意,可得ED=0.5m,DB=3m,CD=1.5m.根据光线平行的知识可知CE∥AD,故∠E=∠ADB.∵AB⊥EB,CD⊥EB,∴∠CDE=∠ABD=90°.∴△ABD∽△CDE.∴旗杆的高度为9m.答案:9∴𝐴𝐵𝐶𝐷=𝐵𝐷𝐷𝐸,即𝐴𝐵1.5=30.5,解得AB=9.