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-1-四直角三角形的射影定理-2-四直角三角形的射影定理ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航1.掌握正射影即射影的概念,能画出点和线段的射影.2.理解并掌握射影定理,并能解决有关问题.-3-四直角三角形的射影定理ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航121.射影从一点向一条直线所引垂线的垂足,叫做这个点在这条直线上的正射影.一条线段的两个端点在一条直线上的正射影之间的线段,叫做这条线段在这条直线上的正射影.点和线段的正射影简称为射影.【做一做1】线段MN在直线l上的射影不可能是()A.点B.线段C.与MN等长的线段D.直线解析:当MN⊥l时,射影是一个点;当MN与l不垂直时,射影是一条线段;特别地,当MN∥l或MN在l上时,射影与MN等长,线段MN的射影不可能是直线.答案:D-4-四直角三角形的射影定理ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航122.射影定理文字语言直角三角形斜边上的高是两条直角边在斜边上射影的比例中项;两条直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项符号语言在Rt△ABC中,AC⊥CB,CD⊥AB于点D,则CD2=BD·AD;AC2=AD·AB;BC2=BD·BA图形语言作用确定成比例的线段-5-四直角三角形的射影定理ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航12名师点拨1.勾股定理:AC2+BC2=AB2,AD2+CD2=AC2,BD2+CD2=BC2.2.面积关系:AC·BC=AB·CD=2S△ABC,𝑆△𝐴𝐶𝐷𝑆△𝐶𝐵𝐷=𝐴𝐷𝐵𝐷=𝐴𝐶2𝐵𝐶2.-6-四直角三角形的射影定理ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航12【做一做2-1】如图,在Rt△ABC中,AC⊥CB,CD⊥AB于点D,且CD=4,则AD·DB等于()A.16B.4C.2D.不确定解析:∵AC⊥CB,CD⊥AB,∴AD·DB=CD2.又∵CD=4,∴AD·DB=42=16.答案:A-7-四直角三角形的射影定理ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航12【做一做2-2】如图,在Rt△ABC中,AC⊥BC,点C在AB上的正射影为点D,且AC=3,AD=2,则AB=.解析:∵AC⊥CB,又∵点D是点C在AB上的正射影,∴CD⊥AB,∴AC2=AD·AB.又∵AC=3,AD=2,∴AB=𝐴𝐶2𝐴𝐷=92.答案:92-8-四直角三角形的射影定理ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航用射影定理证明勾股定理剖析:如图,在Rt△ABC中,AC⊥CB,CD⊥AB于点D,则由射影定理可得AC2=AD·AB,BC2=BD·BA,则AC2+BC2=AD·AB+BD·BA=(AD+BD)·AB=AB2,即AC2+BC2=AB2.由此可见,利用射影定理可以证明勾股定理.过去我们是用面积割补的方法证明勾股定理的,现在我们又用射影定理证明了勾股定理,而且这种方法简洁明快,比用面积割补的方法要方便得多.-9-四直角三角形的射影定理ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型一与射影定理有关的计算问题【例1】若CD是Rt△ACB斜边AB上的高,AB=25,AC=20,试确定DB和CD的长.分析:先用射影定理求出AD,从而求出DB,再用射影定理求出CD.解:∵AC⊥CB,CD⊥AB,∴AC2=AD·AB,CD2=AD·DB.∴AD=𝐴𝐶2𝐴𝐵=20225=16.∴DB=AB-AD=25-16=9.∴CD=𝐴𝐷·𝐷𝐵=16×9=12.-10-四直角三角形的射影定理ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三反思1.本题可先用勾股定理求出BC,再用射影定理求出BD,最后用勾股定理求出CD;此外还有其他方法.2.运用射影定理进行直角三角形中的相关计算,有时需要与直角三角形的其他性质相结合来解.如本题中,直角三角形中的六条线段AC,BC,CD,AD,DB,AB,若已知其中任意两条线段的长,就可以计算出其余线段的长.-11-四直角三角形的射影定理ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三【变式训练1】如图,在Rt△ABC中,CD为斜边AB上的高.若AD=2cm,DB=6cm,求CD,AC,BC的长.解:∵AC⊥CB,CD⊥AB,∴CD2=AD·DB=2×6=12,∴CD=12=23(cm).∵AC2=AD·AB=2×(2+6)=16,∴AC=16=4(cm).∵BC2=BD·AB=6×(2+6)=48,∴BC=48=43(cm).故CD,AC,BC的长分别为23cm,4cm,43cm.-12-四直角三角形的射影定理ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型二与射影定理有关的证明问题【例2】如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于点D,BE平分∠ABC交AC于点E,EF⊥BC于点F.求证:EF∶DF=BC∶AC.分析:先由射影定理得AC2=CD·BC,即𝐴𝐶𝐶𝐷=𝐵𝐶𝐴𝐶.又由EF∥AD,得𝐴𝐸𝐷𝐹=𝐴𝐶𝐷𝐶,通过中间变量即可得证.-13-四直角三角形的射影定理ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三证明:∵∠BAC=90°,AD⊥BC,由射影定理,知AC2=CD·BC,即𝐴𝐶𝐶𝐷=𝐵𝐶𝐴𝐶.∵BE平分∠ABC,EA⊥AB,EF⊥BC,∴AE=EF.∵EF⊥BC,AD⊥BC,∴EF∥AD.∴𝐴𝐸𝐷𝐹=𝐴𝐶𝐷𝐶,∴𝐸𝐹𝐷𝐹=𝐴𝐶𝐷𝐶.∴𝐸𝐹𝐷𝐹=𝐵𝐶𝐴𝐶,即EF∶DF=BC∶AC.反思利用射影定理证明比例式成立的证明问题在本部分中比较常见,在解题过程中,应弄清射影定理中成比例的线段,再结合比例的基本性质加以灵活运用.-14-四直角三角形的射影定理ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三【变式训练2】如图,已知∠BAC=90°,AD⊥BC,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为D,E,F.求证:𝐴𝐵3𝐴𝐶3=𝐵𝐸𝐶𝐹.-15-四直角三角形的射影定理ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三证明:由射影定理,得BD2=BE·AB,即BE=𝐵𝐷2𝐴𝐵.①同理得CD2=CF·AC,即CF=𝐶𝐷2𝐴𝐶.②故𝐵𝐸𝐶𝐹=𝐵𝐷2𝐴𝐵·𝐴𝐶𝐶𝐷2=𝐵𝐷𝐶𝐷2·𝐴𝐶𝐴𝐵.③由射影定理,得AB2=BC·BD,即BD=𝐴𝐵2𝐵𝐶.同理得AC2=CD·BC,即CD=𝐴𝐶2𝐵𝐶.故𝐵𝐷𝐶𝐷=𝐴𝐵2𝐴𝐶2.④将④代入③,得𝐵𝐸𝐶𝐹=𝐴𝐵3𝐴𝐶3.-16-四直角三角形的射影定理ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型三易错辨析易错点:射影定理记忆不牢而致错【例3】在Rt△ACB中,∠C=90°,CD⊥AB于D,若BD∶AD=1∶9,则tan∠BCD=.错解:在Rt△ACB中,设BD=x,则AD=9x,又∵CD2=AD·AB,错因分析:本题的错因是没有准确地记住射影定理中的三组公式,误认为CD2=AD·AB致误.∴CD2=9x·(x+9x),∴CD=310𝑥.在Rt△CDB中,tan∠BCD=𝐵𝐷𝐶𝐷=𝑥310𝑥=1030.-17-四直角三角形的射影定理ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三正解:在Rt△ACB中,CD⊥AB,由射影定理得CD2=AD·BD.又BD∶AD=1∶9,令BD=x,则AD=9x(x0).∴CD2=9x2.∴CD=3x.在Rt△CDB中,tan∠BCD=𝐵𝐷𝐶𝐷=𝑥3𝑥=13.答案:13