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-1-第二讲直线与圆的位置关系-2-一圆周角定理-3-一圆周角定理ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航1.了解圆心角定理,并能应用定理解决问题.2.理解圆周角定理及其两个推论,并能应用定理解决有关问题.-4-一圆周角定理ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航1231.圆周角定理文字语言圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半图形语言符号语言在☉O中,BC所对的圆周角和圆心角分别是∠BAC,∠BOC,则有∠BAC=12∠BOC作用确定圆中两个角的大小关系-5-一圆周角定理ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航123名师点拨定理中的圆心角与圆周角一定是对着同一条弧,它们才有上面定理中所说的数量关系.-6-一圆周角定理ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航123【做一做1】如图,在☉O中,∠BAC=25°,则∠BOC等于()A.25°B.50°C.30°D.12.5°解析:根据圆周角定理,得∠BOC=2∠BAC=50°.答案:B-7-一圆周角定理ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航1232.圆心角定理文字语言圆心角的度数等于它所对弧的度数图形语言符号语言A,B是☉O上两点,则AB的度数等于∠AOB的度数作用确定圆弧或圆心角的度数-8-一圆周角定理ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航123【做一做2】如图,两个同心圆中,𝐶𝑚𝐷的度数是30°,且大圆的半径𝑅=4,小圆的半径𝑟=2,则𝐴𝑛𝐵的度数是________.解析:𝐴𝑛𝐵的度数等于∠AOB,又𝐶𝑚𝐷的度数也等于∠AOB,则𝐴𝑛𝐵的度数是30°.答案:30°-9-一圆周角定理ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航1233.圆周角定理的推论(1)推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧相等.(2)推论2:半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径.-10-一圆周角定理ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航123名师点拨1.圆心角的度数和它所对的弧的度数相等,但并不是“圆心角等于它所对的弧”.2.“相等的圆周角所对的弧也相等”的前提条件是“在同圆或等圆中”.3.由弦相等推出弧相等时,这里的弧要求同圆或等圆中同是优弧或同是劣弧,一般选劣弧.4.在同圆或等圆中,两个圆心角、两条弧、两条弦三组量之间的相等关系简单地说,就是圆心角相等能推出弧相等,进而能推出弦相等.-11-一圆周角定理ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航123【做一做3-1】如图,在☉O中,∠BAC=60°,则∠BDC等于()A.30°B.45°C.60°D.75°解析:∠BDC=∠BAC=60°.答案:C-12-一圆周角定理ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航123【做一做3-2】如图,AB是☉O的直径,C是𝐴𝐵上的一点,且𝐴𝐶=4,𝐵𝐶=3,则☉O的半径r等于()A.52B.5C.10D.不确定解析:∵AB是☉O的直径,∴∠ACB=90°.∴AB=𝐴𝐶2+𝐵𝐶2=42+32=5.∴2r=AB=5.∴r=52.答案:A-13-一圆周角定理ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航圆周角定理的理解剖析:(1)应用圆周角定理时,要注意的问题如下:圆周角定理推论1中,同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧相等.这一定理成立的前提是同圆或等圆,否则不成立.(2)在圆周角定理的证明中,运用了数学中分类讨论和化归的思想以及归纳的证明方法.这个定理是从特殊情况入手研究的,首先研究当角的一边过圆心时,得到圆周角与同弧所对的圆心角的关系,然后研究当角的一边不经过圆心时,圆周角与同弧所对的圆心角之间的关系.当角的一边不经过圆心时,又有两种情况:一是圆心在圆周角内部;二是圆心在圆周角外部.经过这样不同情况的讨论,最后得到:不论角的一边是否经过圆心,都有定理中的结论成立.在几何里,许多定理的证明,都需要像这样分情况进行讨论,后面还会遇到这种分情况证明的定理.-14-一圆周角定理ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航(3)通过圆周角定理的分析、证明,我们可以看到,在几何里讨论问题时,常常从特殊情况入手,因为在特殊情况下问题往往容易解决.如图,中间一种情况为圆周角的一边经过圆心,此时∠AOB=2∠C很容易证明,特殊情况下的问题解决之后,再想办法把一般情况下的问题转化为特殊情况下的问题,如图中的左图和右图的情况,通过辅助线,把它们变成中间图中的两个角的和或差,这样利用特殊情况下的结论,便可使一般情况下的结论得证.-15-一圆周角定理ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型一求线段的长【例1】如图,△ABC的三个顶点都在☉O上,∠BAC的平分线与BC边和☉O分别交于点D,E.(1)指出图中相似的三角形,并说明理由;(2)若EC=4,DE=2,求AD的长.分析:(1)本题证明两个三角形相似,要用三角形相似的判定定理,而其中角的条件由同弧所对的圆周角相等得出;(2)要求线段长度,先由三角形相似得线段成比例,再求其长度.-16-一圆周角定理ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三解:(1)∵AE平分∠BAC,∴∠BAD=∠EAC.又∵∠B=∠E,∴△ABD∽△AEC.∵∠B=∠E,∠BAE=∠BCE,∴△ABD∽△CED,△AEC∽△CED.(2)∵△CED∽△AEC,∴CE2=ED·AE,∴16=2AE,∴AE=8.∴AD=AE-DE=6.反思求圆中线段长时,常先利用圆周角定理及其推论得到相似三角形,从而得到成比例线段,再列方程求得线段长.∴𝐶𝐸𝐴𝐸=𝐸𝐷𝐸𝐶.-17-一圆周角定理ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三【变式训练1】如图,已知△ABC内接于☉O,𝐴𝐵=𝐴𝐶,点𝐷是𝐵𝐶上任意一点,𝐴𝐷与𝐵𝐶交于点𝐸,𝐴𝐷=6cm,𝐵𝐷=5cm,𝐶𝐷=3cm,求𝐷𝐸的长.解:∵𝐴𝐵=𝐴𝐶,∴∠ADB=∠CDE.又∵𝐵𝐷=𝐵𝐷,∴∠BAD=∠ECD,∴△ABD∽△CED,∴𝐴𝐷𝐶𝐷=𝐵𝐷𝐸𝐷,即63=5𝐸𝐷,∴ED=2.5(cm).-18-一圆周角定理ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航证明:∵BC是☉O的直径,∴∠BAC为直角.又∵AD⊥BC,∴Rt△BDA∽Rt△BAC.∴∠BAD=∠ACB.∴∠BAD=∠FBA.∴△ABE为等腰三角形.∴AE=BE.题型一题型二题型三题型二证明线段相等【例2】如图,BC为圆O的直径,AD⊥BC,𝐴𝐹=𝐴𝐵,𝐵𝐹和𝐴𝐷相交于𝐸.求证:𝐴𝐸=𝐵𝐸.∵𝐴𝐵=𝐴𝐹,∴∠FBA=∠ACB,-19-一圆周角定理ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三反思1.有关圆的题目中,圆周角与它所对的弧经常相互转化,即欲证明圆周角相等,可转化为证明它们所对的弧相等;要证明线段相等也可以转化为证明它们所对的弧相等,这是证明圆中线段相等的常见策略.2.若已知条件中出现直径,则常用到“直径所对的圆周角为直角”这一性质解决问题.-20-一圆周角定理ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三【变式训练2】如图,△ABC内接于☉O,D,E在BC边上,且BD=CE,∠1=∠2.求证:AB=AC.-21-一圆周角定理ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三证明:如图,延长AD,AE分别交☉O于点F,G,连接BF,CG.∵∠1=∠2,∴𝐵𝐹=𝐶𝐺,∴BF=CG,𝐵𝐺=𝐶𝐹,∴∠FBD=∠GCE.又∵BD=CE,∴△BFD≌△CGE,∴∠F=∠G,∴𝐴𝐵=𝐴𝐶,∴AB=AC.-22-一圆周角定理ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型三易错辨析易错点:误认为同弦或等弦所对圆周角相等而致错【例3】如图,若∠BAD=75°,则∠BCD=.错解:∵∠BAD和∠BCD所对的弦都是BD,∴∠BAD=∠BCD.∴∠BCD=75°.错因分析:错解中,没有注意到圆周角∠BAD和∠BCD所对的弧不相等,导致得到错误的结论∠BAD=∠BCD.-23-一圆周角定理ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三正解:∠BAD是𝐵𝐶𝐷所对的圆周角,∠BCD是𝐵𝐴𝐷所对的圆周角,则𝐵𝐶𝐷所对的圆心角为2×75°=150°.又∵𝐵𝐶𝐷和𝐵𝐴𝐷所对圆心角的和是周角360°,∴𝐵𝐴𝐷所对圆心角是360°-150°=210°,∴𝐵𝐴𝐷所对圆周角∠BCD=12×210°=105°.答案:105°反思同弦或等弦所对的圆周角不一定相等.当弦是直径时,同弦或等弦所对的圆周角相等,都等于90°;当弦不是直径时,该弦将圆周分成两条弧:优弧和劣弧,若圆周角的顶点同在优弧上或同在劣弧上,同弦或等弦所对的圆周角相等;若一个圆周角的顶点在优弧上,另一个圆周角的顶点在劣弧上,则同弦或等弦所对的圆周角不相等,它们互补(如本题).