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第一讲不等式和绝对值不等式1．1不等式1．1.1不等式的基本性质[学习目标]1.理解实数大小与实数运算性质间的关系．2.理解不等式的性质，能用不等式的性质比较大小和证明简单的不等式(重点、难点)．[知识提炼·梳理]1．实数的运算性质与大小顺序的关系数轴上右边的点表示的数总大于左边的点所表示的数，从实数的减法和在数轴上的表示可知：a＞b⇔a－b＞0；a＝b⇔a－b＝0；a＜b⇔a－b＜0．温馨提示要比较两个实数的大小，只要考查它们的差的符号．2．不等式的基本性质(1)对称性：如果a＞b，那么b＜a；如果b＜a，那么a＞b.(2)传递性：如果a＞b，且b＞c，那么a＞c，即a＞b，b＞c⇒a＞c.(3)加法：如果a＞b，那么a＋c＞b＋c，即a＞b⇒a＋c＞b＋c.①(移项法则)如果a＋b＞c，那么a＞c－b.②(同向可加性)如果a＞b，且c＞d，那么a＋c＞b＋d.(4)乘法：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc；如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc.推论：如果a＞b＞0，c＞d＞0，那么ac＞bd.(5)乘方：如果a＞b＞0，那么an＞bn(n∈N，n≥2)．(6)开方：如果a＞b＞0，那么na＞nb(n∈N，n≥2)．温馨提示要注意不等式的性质是否可逆；要注意不等式成立的条件．[思考尝试·夯基]1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)．(1)若a＞b，则ac＜bc.()(2)若ac2＞bc2，则a＞b.()(3)若a＜b＜0，则a2＞ab＞b2.()(4)若a＞b，1a＞1b，则a＞0，b＜0.()解析：(1)未知c是正数、负数还是零，因而判断ac与bc大小缺乏依据，故该命题是假命题；(2)由ac2＞bc2知c≠0，故c2＞0，所以a＞b，故该命题是真命题；(3)a＜b＜0a＜0⇒a2＞ab，a＜bb＜0⇒ab＞b2，所以a2＞ab＞b2.故该命题为真命题；(4)a＞b⇒a－b＞0，1a＞1b⇒1a－1b＞0⇒b－aab＞0.因为a－b＞0，所以b－a＜0.所以ab＜0.又a＞b，所以a＞0，b＜0.故该命题为真命题．答案：(1)×(2)√(3)√(4)√2．已知a＜0，－1＜b＜0，则有()A．a＞ab＞ab2B．ab2＞ab＞aC．ab＞a＞ab2D．ab＞ab2＞a解析：由－1＜b＜0，可得b＜b2＜1，又a＜0，所以有ab＞ab2＞a.答案：D3．若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有()A.ac＞bdB.ac＜bdC.ad＞bcD.ad＜bc解析：因为c＜d＜0，所以－c＞－d＞0，所以0＜1－c＜1－d，即1－d＞1－c＞0.又因为a＞b＞0，所以a－d＞b－c，所以ad＜bc.答案：D4．设x∈R，则x21＋44与12的大小关系是________．解析：当x＝0时，x21＋x4＝0＜12.当x≠0时，x21＋x4＝11x2＋x2，所以1x2＋x2≥2，所以x21＋x4≤12(当x＝±1时取等号)．综上所述x21＋x4≤12.答案：x21＋x4≤125．比较大小：(x＋5)(x＋7)________(x＋6)2.解析：因为(x＋5)(x＋7)－(x＋6)2＝x2＋12x＋35－x2－12x－36＝－1＜0，所以(x＋5)(x＋7)＜(x＋6)2.答案：＜类型1用比较法比较大小(自主研析)[典例1]已知x＞1，比较x3－1与2x2－2x的大小．解：x3－1－(2x2－2x)＝x3－2x2＋2x－1＝(x3－x2)－(x2－2x＋1)＝x2(x－1)－(x－1)2＝(x－1)(x2－x＋1)＝(x－1)x－122＋34.因为x＞1，所以x－1＞0.又因为x－122＋34＞0，所以(x－1)x－122＋34＞0，所以x3－1＞2x2－2x.归纳升华1．比较大小有两种基本方法：作差法、作商法．其中作差法往往需要比较差与零的大小关系，作商法需判断商与1的大小关系．2．作差比较法的步骤是：(1)作差；(2)变形；(3)定号；(4)下结论．3．用作差法比较两式的大小时，常采用因式分解、配方、通分、分母有理化等技巧，通过彻底的变形，从而判断差式的值的正负，进而判断出两式的大小．[变式训练]比较x2－x与x－2的大小．解：(x2－x)－(x－2)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，因为(x－1)2≥0，所以(x－1)2＋1＞0，即(x2－x)－(x－2)＞0.所以x2－x＞x－2.类型2利用不等式的性质判断命题的真假[典例2]下列命题正确的是()①若a＞b，且1a＜1b，则ab＞0；②若a＞b，且ac＜bc，则c＞0；③若a＞b＞0，且ca＜cb，则c＞0；④若a＜b＜0，则ab＜b2.A．①②B．②③C．③④D．①③解析：①中，因为a＞b，所以a－b＞0.又因为1a＜1b，所以1b－1a＝a－bab＞0.所以ab＞0，故①正确．②中，因为ac＜bc，所以c(a－b)＜0.又因为a＞b，所以a－b＞0.所以c＜0，故②不正确．③因为ca＜cb，所以ca－cb＜0，即c（b－a）ab＜0.因为a＞b＞0，所以ab＞0，b－a＜0.所以c＞0.故③正确．④因为a＜b＜0，b＜0，所以ab＞b2，故④不正确．答案：D归纳升华1．在利用不等式的性质判断命题真假时，关键是依据题设条件恰当地选取使用不等式的性质．否定命题的结论，有时往往举反例．但要注意取值一定要遵循两个原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算．2．运用不等式的性质时，一定要注意不等式成立的条件；要弄清每一个性质成立的条件和结论，注意条件放宽或加强后，结论是否发生了变化．[变式训练]判断下列命题的真假．(1)若a＜b＜0，则1a＞1b；(2)若|a|＞b，则a2＞b2；(3)若a＞b＞c，则a|c|＞b|c|.解：(1)因为a＜b＜0，所以ab＞0，所以1ab＞0.所以a·1ab＜b·1ab，所以1b＜1a.所以(1)是真命题．(2)因为|a|＞b，取a＝1，b＝－3，但a2＜b2，所以(2)是假命题．(3)取a＞b＞0，c＝0，有a|c|＝b|c|＝0，所以(3)是假命题．类型3求代数式的取值范围[典例3]已知－π2≤α＜β≤π2，求α＋β2，α－β2的取值范围．解：因为－π2≤α＜β≤π2，所以－π2≤α＜π2，①－π2＜β≤π2，②α＜β.③由①＋②得－π＜α＋β＜π，所以－π2＜ɑ＋β2＜π2.由②得－π2≤－β＜π2，④由①＋④得－π≤α－β＜π.又α＜β，知α－β＜0，所以－π≤α－β＜0，所以－π2≤ɑ－β2＜0.归纳升华1．求含有字母的数(或代数式)的取值范围，要注意题设中的条件，充分利用已知求解，否则易出错．例如，若忽略ɑ＜β，则会导致ɑ－β2的取值范围变大．2．利用不等式的基本性质求解，在变换过程中要注意熟练掌握、准确使用不等式的基本性质．[变式训练]设0＜α＜π2，π2＜β＜π，求2α－β3，sinα＋cosβ的取值范围．解：由0＜α＜π2，得0＜2α＜π，0＜sinα＜1.由π2＜β＜π，得π6＜β3＜π3，－1＜cosβ＜0.所以－π3＜－β3＜－π6，于是得－π3＜2α－β3＜5π6，所以－1＜sinα＋cosβ＜1.类型4证明简单的不等式【典例4】已知a＞b，e＞f，c＞0，求证：f－ac＜e－bc.证明：因为a＞b，c＞0，所以ac＞bc，所以－ac＜－bc，又因为e＞f，所以f－ac＜e－bc.归纳升华1．不等式的基本性质包括“单向性”和“双向性”两个方面．从应用的角度看，单向性主要用于证明不等式，双向性是解不等式的基础，也用于证明不等式．2．在众多的不等式性质中，乘(除)法性质的应用最容易出错，所以在利用不等式的基本性质推证不等式时，要紧扣不等式的基本性质成立的条件，充分利用“单向性”和“双向性”证明．[变式训练]已知c＞a＞b＞0，求证：ac－a＞bc－b.证明：因为a＞b，所以－a＜－b.又c＞a＞b＞0，所以0＜c－a＜c－b.所以1c－a＞1c－b＞0.又因为a＞b＞0，所以ac－a＞bc－b.1．不等关系与不等式．(1)不等关系强调的是关系，而不等式则是表示两者不等关系的式子，可用“a＞b”“a＜b”“a≠b”“a≥b”“a≤b”等式子表示．不等关系可通过不等式来体现，离开不等式，不等关系就无法体现．(2)将不等关系熟练化为不等式是解决不等式应用题的基础，不可忽视．2．不等式的性质．对于不等式的性质，关键是正确理解和运用，要弄清每一个性质成立的条件和结论，注意条件放宽和加强后，结论是否发生了变化；运用不等式的性质时，一定要注意不等式成立的条件，切不可用似乎、很显然的理由代替不等式的性质．特别提醒：在使用不等式的性质时，一定要搞清它们成立的前提条件．3．比较两个实数的大小．要比较两个实数的大小，通常可以归结为判断它们的差的符号(仅判断差的符号，至于确切值是多少无关紧要)．在具体判断两个实数(或代数式)的差的符号的过程中，常会涉及一些具体变形方法，如：因式分解、配方法等．