数学选修45人教A版课件第一讲11112基本不等式

第一讲不等式和绝对值不等式1.1不等式1．1.2基本不等式[学习目标]1.理解定理1和定理2(基本不等式)(重点)．2.掌握用基本不等式求一些函数的最值及实际的应用问题(重点、难点)．3.了解两个正数的算术平均数与几何平均数．[知识提炼·梳理]1．定理1如果a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab(当且仅当a＝b时取“＝”)．2．定理2如果a，b是正数，那么a＋b2≥ab(当且仅当a＝b时取“＝”)．温馨提示(1)基本不等式中注意a，b的限制条件；(2)“＝”成立的条件．3．重要结论已知x，y都是正数，则：(1)如果积xy是定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值______；(2)如果和x＋y是定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值______．2p14S2[思考尝试·夯基]1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)．(1)x＋1x的最小值是2.()(2)x2＋2x2＋1的最小值是2.()(3)2－3x－4x的最小值是2.()解析：(1)当x＜0时，x＋1x＜0，故(1)错误；(2)当x＝0时，x2＋2x2＋1的最小值是2，(2)正确；(3)x＝2时，2－3x－4x＝－6，故(3)错误．答案：(1)×(2)√(3)×2．“a＞0且b＞0”是“a＋b2≥ab”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件解析：由基本不等式知，a＞0且b＞0时，可得a＋b2≥ab，但a＋b2≥aba＞0且b＞0，如a＝1，b＝0.所以“a＞0且b＞0”是“a＋b2≥ab”的充分不必要条件．答案：A3．设a，b是不相等的实数，且a＋b＝2，则下列不等式成立的是()A．ab≤1≤a2＋b22B．ab≤a2＋b22C．1＜ab＜a2＋b22D．ab＜1＜a2＋b22解析：根据不等式a2＋b22≥a＋b2≥ab和条件“a，b是不相等的实数”可选D.答案：D4.下列不等式的推导过程正确的是________(填序号)．①若a，b∈R，则ba＋ab≥2ba·ab＝2；②若x＞0，则cosx＋1cosx≥2cosx·1cosx＝2；③若x＜0，则x＋4x≤2x·4x＝4；④若a，b∈R，且ab＜0，则ba＋ab＝－－ba＋－ab≤－2－ba·－ab＝－2.解析：在①②中，不能确定ba，ab，cosx均为正数，故不能使用基本不等式，故①②错误；在③中，x与4x均为负数，不能直接使用基本不等式，故③错误；在④中，将负数ba与ab转化为正数－ba，－ab，然后再利用基本不等式，故④正确．答案：④5．若x，y＞0，且x＋4y＝1，则xy的最大值是_______．解析：因为x，y＞0，2x·4y≤x＋4y＝1，当且仅当x＝4y，即x＝12，y＝18时等号成立．所以4xy≤12，即xy≤116.答案：116类型1利用基本不等式证明不等式(自主研析)[典例1]已知a，b，c是不全相等的正数，求证：a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)＋c(a2＋b2)＞6abc.证明：因为b2＋c2≥2bc，a＞0，所以a(b2＋c2)≥2abc，①同理，b(c2＋a2)≥2abc，②c(a2＋b2)≥2abc.③因为a，b，c不全相等，所以①②③式中至少有一个式子不能取等号．所以a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)＋c(a2＋b2)＞6abc.归纳升华1．证明不等式时，可依据求证式两端的式子结构，合理选择不等式及其变形不等式来证．重要不等式和基本不等式的结构特征是：左右两边的多项式次数相同，一边是和一边是积，字母的位置可以交换．当待证的不等式具备以上条件时才可使用这两类不等式证明．2．重要不等式和基本不等式有着多种变形形式，在证明不等式时有着非常重要的作用．如：若a，b∈R，则ab≤a2＋b22.[变式训练]已知x，y0且x＋y＝1.求证：1＋1x1＋1y≥9.证明：1＋1x1＋1y＝（x＋1）（y＋1）xy＝（2x＋y）（2y＋x）xy＝5xy＋2（x2＋y2）xy＝5＋2（x2＋y2）xy≥5＋2×2xyxy＝9.当且仅当x＝y＝12时取等号．所以1＋1x1＋1y≥9.类型2利用基本不等式求最值(互动探究)[典例2](1)若x＞0，求f(x)＝4x＋16x的最小值是____________；(2)设x＞0，y＞0且2x＋y＝1，则1x＋2y的最小值是____________；(3)设x，y是正实数，且x＋y＝6，则lgx＋lgy的最大值是____________．解析：(1)因为x＞0，所以f(x)＝4x＋16x≥24x·16x＝264＝16.当且仅当4x＝16x，即x＝2时，“＝”成立．所以f(x)的最小值是16.(2)1x＋2y＝1x＋2y·1＝1x＋2y(2x＋y)＝4＋4xy＋yx≥4＋24xy·yx＝8，当且仅当4xy＝yx时，等号成立．又因为2x＋y＝1，所以x＝14，y＝12，所以当x＝14，y＝12时，1x＋2y取最小值8.(3)因为x＞0，y＞0，所以x＋y2≥xy，所以xy≤x＋y22.lgx＋lgy＝lgxy≤lgx＋y22＝lg622＝2lg3，当且仅当x＝y时，等号成立．又x＋y＝6，所以x＝3，y＝3.所以当x＝3，y＝3时，lgx＋lgy取最大值2lg3.答案：(1)16(2)8(3)2lg3[迁移探究](变换条件，改变问法)(1)若x＜0，求f(x)＝4x＋16x的最大值是________．(2)已知lgx＋lgy＝2，则1x＋1y的最小值为________．解析：(1)因为x＜0，所以－x＞0，f(x)＝4x＋16x＝－－4x＋16－x≤－2（－4x）·16－x＝－2×64＝－16.当且仅当－4x＝16－x，即x＝－2时，“＝”成立．所以f(x)的最大值为－16.(2)因为lgx＋lgy＝2，所以lg(xy)＝2，所以xy＝102.所以1x＋1y＝x＋yxy≥2xyxy＝2100100＝15，当且仅当x＝y＝10时，等号成立．答案：(1)－16(2)15归纳升华1．使用基本不等式求最值，必须同时满足三个条件：各项均为正数，其和或积为定值，等号必须成立，即“一正、二定、三相等”．在具体问题中，“定值”条件决定着基本不等式应用的可行性，决定着成败．2．对于类似题型：已知a，b，c，d，x，y大于0，若求ax＋by＝1，cx＋dy的最小值，可以采用“乘常数，凑倒数”的变形技巧，然后利用均值不等式求其最值．类型3利用不等式解应用题(规范解答)[典例3](本小题满分10分)要制作一个容积为4m3，高为1m的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，求该容器的最低总造价．审题指导：设容器底面的长和宽分别为x，y，造价为W，建立函数关系式．然后利用基本不等式求出最值即可．[规范解答]设容器底面的长为x，宽为y，总造价为W，(1分)依题意知xy＝4，即y＝4x.(3分)所以总造价W＝20xy＋2(x＋y)·1×10＝80＋80x＋20x＝20x＋4x＋80，x∈(0，＋∞)．失分警示：若漏掉此定义域则扣1分.所以W＝20x＋4x＋80≥20×2x·4x＋80＝160，(8分)当且仅当x＝4x，即x＝2时，“＝”成立．(9分)所以最低总造价是160元．(10分)归纳升华应用不等式解决问题时，关键是如何把等量关系、不等量关系转化为不等式的问题来解决，要审清题意，尤其是带有说明的地方，再列出不等式或函数式，最后利用不等式的知识求解．同时要注意未知数的取值范围，如：时间应为正数，人或某些物品数应是正整数等，以免得出与实际不符的结论．[类题尝试]某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为x，y(单位：m)的矩形，上部是等腰直角三角形，要求框架围成的总面积为8m2，则x，y分别为多少可使用料最省(2取1.4)?解：由题意得xy＋1222x2＝8，所以y＝8－x24x＝8x－x4(0＜x＜42)．于是框架用料长度为：l＝2x＋2y＋2×22x＝32＋2x＋16x≥216×32＋2＝46＋42.当32＋2x＝16x，即x＝432＋2＝8－42时，等号成立，此时x≈2.4，y＝22≈2.8.故当x为2.4m，y为2.8m时，用料最省．1．在公式a2＋b2≥2ab及a＋b2≥ab的应用中，应注意三点：(1)a2＋b2≥2ab和a＋b2≥ab成立的条件是不同的，前者只要求a，b都是实数，而后者要求a，b都为正数．(2)这两个公式都是带有等号的不等式，因此，对定理“当a，b∈R时，a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时等号成立”的含义要搞清楚．它的含义是：①当a＝b时，a2＋b2＝2ab；②当a2＋b2＝2ab时，a＝b；③当a≠b时，a2＋b2＞2ab；④当a2＋b2＞2ab时，a≠b.(3)对基本不等式：a，b为正数，则a＋b2≥ab，当且仅当a＝b时等号成立，作类似理解．2．利用基本不等式求最值必须满足条件：①函数中的相关项必须都是正数；②变形后各项的和或积有一个必须是常数；③当且仅当各项相等时，“＝”号才能取到．以上条件可简化为“一正、二定、三相等”．求函数最值时，常将不满足上述条件的函数式进行“拆”、“配”等变形，使其满足条件，进而求出最值．有些题目，尽管形式上是x＋px型的式子，即两数之积为常数，但由于定义域的限制，不能使等号成立，如y＝x＋1x(x≥5)的最小值，尽管x＋1x≥2，当x＝1x时，但x＝1时取“＝”号，而x＝1不在其定义域[5，＋∞)内，因此不能使用基本不等式．3．连续使用基本不等式，要注意保证取等号条件的一致性．