数学选修45人教A版课件第一讲11113三个正数的算术几何平均不等式

第一讲不等式和绝对值不等式1.1不等式1．1.3三个正数的算术—几何平均不等式[学习目标]1.会用三项的平均值不等式证明一些简单问题(难点)．2.能够利用三项的平均值不等式求一些特定函数的最值，从而学会解决简单的应用问题(重点)．[知识提炼·梳理]1．三个正数的算术—几何平均不等式(1)如果a1，a2，a3∈R＋，则a1＋a2＋a33叫做这3个正数的算术平均数，3a1a2a3叫做这三个正数的几何平均数．(2)定理3：三个正数基本不等式：a1＋a2＋a33≥3a1a2a3.当且仅当a1＝a2＝a3时，等号成立．语言表述：三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．2．n个正数的算术—几何平均不等式(1)如果a1，a2，…，an∈R＋，n＞1且n∈N*，则a1＋a2＋…＋ann叫做这n个正数的算术平均数，na1a2…an叫做这n个正数的几何平均数．(2)基本不等式：a1＋a2＋…＋ann≥na1a2…an(n∈N*，ai∈R＋，1≤i≤n)．当且仅当a1＝a2＝…＝an时等号成立．语言表述：n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．温馨提示两个定理的使用前提都是“正数”．[思考尝试·夯基]1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)．(1)如果a，b，c∈R，那么a＋b＋c3≥3abc.()(2)如果a，b，c∈R＋，那么a＋b＋c3≥3abc，当且仅当a＝b或b＝c时，等号成立．()(3)如果a，b，c∈R＋，那么abc≤a＋b＋c33，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．()(4)如果a1，a2，a3，…，an都是实数．那么a1＋a2＋…＋an≥n·na1a2…an.()解析：(1)根据定理3，只有在a，b，c都是正数才成立．其他情况不一定成立，如a＝1，b＝－1，c＝－3，a＋b＋c3＝－1，3abc＝33，故(1)不正确．(2)由定理3，知等号成立的条件是a＝b＝c.故(2)不正确．(3)由定理3知(3)正确．(4)必须a1，a2，…，an都是正数，命题才成立．答案：(1)×(2)×(3)√(4)×2．函数y＝x2(1－5x)0≤x≤15的最大值是()A．4B.215C.4675D.52解析：由0≤x≤15得1－5x≥0，y＝x2(1－5x)＝52·x·x·25－2x≤52x＋x＋25－2x33＝4675，即可得出C正确．答案：C3．若x＞0，则4x＋9x2的最小值是()A．9B．3336C．13D．不存在解析：因为x＞0，所以4x＋9x2＝2x＋2x＋9x2≥3336，当且仅当2x＝9x2，即x＝3362时，等号成立．答案：B4.若已知a1＝3，a2＝9，a3＝27，则a1＋a2＋a33＝________，3a1a2a3＝________．解析：a1＋a2＋a33＝3＋9＋273＝13,3a1·a2·a3＝33×9×27＝9.答案：139＞5．若x＞0，则x3＋x3＋x3＋27x3______4.解析：因为x＞0，所以x3＋x3＋x3＋27x3≥44x3·x3·x3·27x3＝4.答案：≥类型1利用定理3求函数的最值(自主研析)[典例1]已知x∈R＋，求函数y＝x(1－x2)的最大值．解：因为y＝x(1－x2)，所以y2＝x2(1－x2)2＝12×2x2(1－x2)(1－x2)≤122x2＋1－x2＋1－x233＝427.当且仅当2x2＝1－x2，即x＝33时等号成立．所以y≤239，所以ymax＝239.归纳升华1．利用三个正数的算术—几何平均不等式常处理下面两个类型的最值：(1)求函数y＝ax2＋bx的最小值，其中ax2＞0，bx＞0.则y＝ax2＋bx＝ax2＋b2x＋b2x≥33ax2·b2x·b2x＝3232ab2.当且仅当ax2＝b2x，即x＝3b2a时，等号成立．(2)求函数y＝ax＋cbx2的最小值，其中ax＞0，cbx2＞0.则y＝ax＋cbx2＝ax2＋ax2＋cbx2≥33ax2·ax2·cbx2＝3232a2cb.当且仅当ax2＝cbx2，即x＝32cab时，等号成立．2．拼凑数学结构，以便能利用基本不等式求最值，是必须掌握的一种方法，但要注意拼凑的合理性．在三个正数的算术—几何平均不等式中，也要满足“一正、二定、三相等”的条件，缺一不可．[变式训练]求函数y＝316x2＋3x(x＞0)的最小值．解：因为x＞0，所以y＝316x2＋3x＝316x2＋32x＋32x≥33316x2·32x·32x＝94.当且仅当316x2＝32x，即x＝2时，等号成立．所以y＝316x2＋3x(x＞0)的最小值是94.类型2利用定理3证明不等式[典例2]设a，b，c为正实数，求证：1a3＋1b3＋1c3＋abc≥23.解：因为a，b，c为正实数，由三个正数的算术—几何平均不等式可得：1a3＋1b3＋1c3≥331a3·1b3·1c3，即1a3＋1b3＋1c3≥3abc，所以1a3＋1b3＋1c3＋abc≥3abc＋abc.又因为3abc＋abc≥23abc·abc＝23，所以1a3＋1b3＋1c3＋abc≥23，当且仅当a＝b＝c＝63时，等号成立．归纳升华利用定理3证明不等式时，应从式子的结构入手进行分析，通过变形转化为三个正数的算术平均或几何平均不等式，进而达到证明不等式．[变式训练]已知a，b，c∈R＋，a＋b＋c＝1，求证：1a＋1b＋1c≥9.证明：因为a，b，c∈R＋，a＋b＋c≥33abc.又a＋b＋c＝1，所以3abc≤13，所以13abc≥3，所以1a＋1b＋1c≥331abc≥9.故原不等式成立．当且仅当a＝b＝c＝13时，“＝”成立．类型3利用定理3解应用题[典例3]如图所示，把一块边长为a的正方形铁皮的各角切去大小相同的小正方形，再把它沿着虚线折起做成一个无盖的铁盒，问切去的正方形边长是多少时，盒子的体积最大？解：设切去的正方形的边长为x，无盖盒子的容积为V，则V＝(a－2x)2x＝14(a－2x)(a－2x)·4x≤14（a－2x）＋（a－2x）＋4x33＝2a327，当且仅当a－2x＝4x，即x＝a6时，等号成立．因此V取最大值2a327，故当切去的小正方形边长是原来的正方形的边长的16时，盒子的容积最大．归纳升华通过阅读应用题，弄清楚实际问题，确定求什么量的最值，建立函数关系式，最后利用基本不等式解决应用题中的最值问题．[变式训练]已知圆柱的轴截面周长为6，体积为V，则下列不等式总成立的是()A．V≥πB．V≤πC．V≥18πD．V≤18π解析：如图，设圆柱半径为R，高为h，则4R＋2h＝6，即2R＋h＝3.V＝S·h＝πR2·h＝π·R·R·h≤πR＋R＋h33＝π，当且仅当R＝R＝h＝1时取等号．答案：B1．三个正数或三个以上正数的不等式的应用条件．(1)“一正”．不论是三个数的或者n个数的算术—几何平均不等式，都要求是正数，否则不等式是不成立的，如a＋b＋c≥33abc，取a＝b＝－2，c＝2时a＋b＋c＝－2，而33abc＝6，显然－2≥6不成立．(2)“二定”．包含两类求最值问题：一是已知n个正数的和为定值(即a1＋a2＋…＋an为定值)，求其积a1·a2·…·an的最大值；二是已知积a1·a2·…·an为定值，求其和a1＋a2＋…＋an的最小值．(3)“三相等”．取“＝”的条件是a1＝a2＝…＝an，不能只是一部分相等．2．重要不等式a2＋b2≥2ab与a3＋b3＋c3≥3abc的运用条件不一样，前者a，b∈R，后者a，b，c∈R＋，要注意区别．3．注意算术—几何平均不等式中的变形与拼凑方法．