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第四讲数学归纳法证明不等式4．2用数学归纳法证明不等式[学习目标]1.掌握用数学归纳法证明不等式的常用方法与技巧(重点)．2.理解贝努利不等式．3.能综合运用数学归纳法与数列、三角函数等知识进行不等式的证明(难点)．[知识提炼·梳理]1．贝努利不等式(1)定义：如果x是实数，且x＞－1，x≠0，n为大于1的自然数，那么有(1＋x)n＞1＋nx．(2)作用：在数学研究中经常用贝努利不等式把二项式的乘方(1＋x)n缩小为简单的1＋nx的形式，这在数值估计和放缩法证明不等式中有重要应用．2．数学归纳法证明不等式(1)用数学归纳法证明一个与正整数有关的不等式的步骤．①证明：当n取第一个值n0时结论成立；②假设当n＝k(k∈N＋，且k≥n0)时结论成立，证明当n＝k＋1时结论也成立．由①②可知命题对从n0开始的所有正整数n都成立．(2)用数学归纳法证明不等式的重点．用数学归纳法证明不等式的重点在第二步(同时也是难点所在)，即假设f(k)＞g(k)成立，证明f(k＋1)＞g(k＋1)成立．[思考尝试·夯基]1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)．对于不等式n2＋n＜n＋1(n∈N＋)，某同学应用数学归纳法证明的过程如下：①当n＝1时，12＋1＜1＋1，不等式成立．②假设当n＝k(k∈N＋，且k≥1)时，不等式成立，即k2＋k＜k＋1，则当n＝k＋1时，（k＋1）2＋（k＋1）＝k2＋3k＋2＜（k2＋3k＋2）＋（k＋2）＝（k＋2）2＝(k＋1)＋1，所以当n＝k＋1时，不等式成立．根据(1)和(2)可知对任何n∈N＋，n2＋n＜n＋1都成立．则对上述证法的说法中：(1)过程全部正确．()(2)n＝1验证不正确．()(3)归纳假设不正确．()(4)从n＝k到n＝k＋1的推理不正确．()解析：在证明n＝k＋1时没有用到归纳假设故(4)正确，(1)、(2)、(3)不正确．答案：(1)×(2)×(3)×(4)√2．用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n－1＜n(n∈N＋，n＞1)时，第一步应验证不等式()A．1＋12＜2B．1＋12＋13＜2C．1＋12＋13＜3D．1＋12＋13＋14＜3解析：因为n∈N＋，n＞1，所以n取的第一个自然数为2，左端分母最大的项为122－1＝13，故选B.答案：B3．关于正整数n的不等式2n＞n2成立的条件是()A．n∈N＋B．n≥4C．n＞4D．n＝1或n＞4解析：验证可知D成立．答案：D4．用数学归纳法证明122＋132＋…＋1（n＋1）2＞12－1n＋2，假设n＝k时，不等式成立之后，证明n＝k＋1时，应推证的目标不等式是____________________________．解析：把n＝k时的不等式中的k换成k＋1即可．答案：122＋132＋…＋1（k＋1）2＋1（k＋2）2＞12－1k＋35．观察下式：1＝12，2＋3＋4＝32，3＋4＋5＋6＋7＝52，4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72，…，则得出结论：_____.答案：n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2类型1用数学归纳法证明不等式(自主研析)[典例1]设n＞1(n∈N＋)，求证1n＋1n＋1＋1n＋2＋…＋1n2＞1.证明：(1)当n＝2时，左边＝12＋13＋14＝1312＞1，所以当n＝2时，不等式成立．(2)假设当n＝k(k＞1，k∈N＋)时，不等式成立，即1k＋1k＋1＋1k＋2＋…＋1k2＞1.当n＝k＋1时，1k＋1＋1（k＋1）＋1＋…＋1（k＋1）2－1＋1（k＋1）2＝1k＋1＋1k＋2＋…＋1k2＋＋1（k＋1）2＝1k＋1k＋1＋1k＋2＋…＋1k2＋1k2＋1＋…＋＋1（k＋1）2－1k＞1＋2k＋1（k＋1）2－1k＝1＋k2－k－1k（k＋1）2.因为k≥2，所以k－122≥94.所以k2－k－1＝k－122－54≥94－54＝1.所以1k＋1＋1（k＋1）＋1＋…＋1（k＋1）2＞1.所以当n＝k＋1时，不等式也成立．由(1)(2)可知，对一切的n≥2，n∈N＋，此不等式都成立．归纳升华用数学归纳法证明不等式：第一步中，确定n0的值，弄清n＝n0时不等式一侧对应的是哪几项，第二步，即已知f(k)＞g(k)，求证f(k＋1)＞g(k＋1)，这一步证明必须用到f(k)＞g(k)这一假设，证明时要根据欲证明的n＝k＋1时对应的结论，有目的地进行放缩分析．此步证明过程中常用的方法有：比较法、综合法、分析法、放缩法等．[变式训练]用数学归纳法证明：1＋n2≤1＋12＋13＋…＋12n(n∈N＋)．证明：(1)当n＝1时，左边＝1＋12，右边＝1＋12，32≤32，所以不等式成立．(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时不等式成立，即1＋k2≤1＋12＋13＋…＋12k成立，则当n＝k＋1时，1＋12＋13＋…＋12k＋12k＋1＋…＋12k＋1≥1＋k2＋12k＋1＋…＋12k＋2k＞1＋k2＋＋…＋12k＋2k＝1＋k2＋2k·12k＋1＝1＋k＋12.即n＝k＋1时，不等式成立．由(1)(2)可知对所有n∈N＋不等式都成立．类型2用数学归纳法证明数列不等式[典例2]已知数列{an}和{bn}，其中an＝1＋3＋5＋…＋(2n＋1)，bn＝1＋2＋…＋2n－1(n∈N＋)，当n∈N＋时，试比较an与bn的大小，并证明你的结论．解：由已知得an＝1＋（2n＋1）2·(n＋1)＝(n＋1)2，bn＝2n－12－1＝2n－1.当n＝1时，a1＝4，b1＝1，则a1＞b1，当n＝2时，a2＝9，b2＝3，则a2＞b2，当n＝3时，a3＝16，b3＝7，则a3＞b3，当n＝4时，a4＝25，b4＝15，则a4＞b4，当n＝5时，a5＝36，b5＝31，则a5＞b5，当n＝6时，a6＝49，b6＝63，则a6＜b6，当n＝7时，a7＝64，b7＝127，则a7＜b7，…由此得到，当n∈N＋，n≤5时，an＞bn.猜想：当n∈N＋，n≥6时，an＜bn.前一结论上面已用穷举法证明，后一猜想用数学归纳法证明如下：①当n＝6时，上面已证a6＜b6，②假设当n＝k(k∈N＋，k≥6)时，上述结论成立，即当k≥6时，(k＋1)2＜2k－1.当n＝k＋1时，要证ak＋1＜bk＋1，即证(k＋2)2＜2k＋1－1，只需证(k＋2)2＜2·2k－1，根据归纳假设，2·2k－1＞2[(k＋1)2＋1]－1，所以只需证(k＋2)2＜2(k＋1)2＋1，即k2＋4k＋4＜2k2＋4k＋3，即k2＞1.因为k≥6，所以此式显然成立．即当n＝k＋1时命题成立．由(1)(2)可知，对任何n∈N*命题都成立．归纳升华用数学归纳法证明数列不等式，这虽然是一个行之有效的基本证题方法，但运用这种方法证明数列不等式时，易在推证k到(k＋1)的过程中，断了思路，这时应分析清楚不等式两端(一般是左端)项数的变化，也就是要认清不等式的结构特征，一定要用上归纳假设，然后利用放缩法、分析法等证出当n＝k＋1时的结论．注意中间的证明过程必须有，不能省略也不能含糊不清，这一步是数学归纳法的精华所在．[变式训练]数列{an}中，a1＝1，an＋1＝1＋nan，求证：当n≥2时，n＜an＜n＋1.证明：(1)当n＝2时，a2＝1＋1＝2，且2＜2＜2＋1，不等式成立．(2)假设当n＝k(k≥2)时，有k＜ak＜k＋1，则n＝k＋1时，ak＋1＝1＋kak＜1＋kk＝k＋1＜k＋1＋1.(分析法证明)要证1＋kak＞k＋1，只需证ak＜kk＋1－1，即ak＜k＋1＋1(由假设可知成立)，所以k＋1＜ak＋1＜k＋1＋1.由(1)(2)知，当n≥2时，n＜an＜n＋1成立．1．用数学归纳法证明含正整数n的不等式时(其中n取无限多个值)，解决问题的前提条件是进行合理的试验和归纳，提出合理的猜想，从而达到解决问题的目的．2．前面已学过证明不等式的一系列方法，如比较法、综合法、分析法、放缩法、反证法等，而本节增加了数学归纳法证明不等式，且主要解决的是无限的问题，因而难度更大一些．但仔细研究，数学归纳法关键是由n＝k到n＝k＋1的过渡，也是学好用数学归纳法证不等式的重中之重的问题．(1)用数学归纳法证明的关键是“变项”，即在假设的基础上通过放缩、比较、分析、综合等证明不等式的方法，得出要证明的目标不等式，因此以上几种方法均要灵活地运用．有个别较复杂的问题，第二个步骤再利用数学归纳法．(2)利用数学归纳法证明不等式问题时，有时要假设当n≤k时成立，再证当n＝k＋1时成立，实质上，这就是第二数学归纳法．