空间向量与立体几何复习1

空间向量与立体几何(复习一)【学情分析】：学生已经掌握了空间向量的基础知识，并能较好地用它证明立体几何中的平行、垂直问题，计算空间角、空间距离。但运用还不娴熟，计算易错的环节仍然出错。【教学目标】：（1）知识目标：运用空间向量证明立体几何中的平行、垂直问题，及计算空间角的计算。同时也试用传统的方法来解题。（2）过程与方法目标：总结归纳，讲练结合，以练为主。（3）情感与能力目标：通过总结归纳，综合运用，让学生享受成功的喜悦，提高学习数学兴趣，提高计算能力和空间想象能力。【教学重点】：。运用空间向量证明立体几何中的平行、垂直问题。【教学难点】：计算空间角【课前准备】：投影【教学过程设计】：教学环节教学活动设计意图一、复习引入设空间两条直线21,ll的方向向量分别为21,ee，两个平面21,的法向量分别为21,nn，则由如下结论平行垂直1l与2l21//ee21ee1l与111ne11//ne1与221//nn21nn左表给出了用向量研究空间线线、线面、面面位置关系的方法，判断的依据是相关的判定与性质，要理解掌握二、应用实例平行、垂直、角的计算例1．如图，已知矩形ABCD和矩形ADEF交于AD，点M,N分别在对角线BD,AE上，且AEANBDBM31,31.求证：MN//平面CDE证明：ANBAMBMN=DECD3132又CD与DE不共线根据共面向量定理，可知DECDMN,,共面。由于MN不在平面CDE中，所以MN//平面CDE.证法二：思路：在上取一点P，先建立图空间坐标系再用向量解题ECFADBNMFAEDBCNMP使ADPD31再用传统的方法证明平面MNP∥平面CDE即可。例2、棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，在棱DD1上是否存在点P使B1D⊥面PAC？解：以D为原点建立如图所示的坐标系，设存在点P（0，0，z），AP=(-a,0,z)，AC=(-a,a,0)，1DB=(a,a,a)，∵B1D⊥面PAC，∴01APDB，01ACDB∴－a2+az=0新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆∴z=a，即点P与D1重合新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆∴点P与D1重合时，DB1⊥面PAC新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆方法二：引导学生用三垂线定理来解题。例3(2004年湖南高考理科试题)如图，在底面是菱形的四棱锥P—ABCD中,60ABC，,2,aPDPBaACPA点E在PD上,且PE:ED=2:1.(Ⅲ)在棱PC上是否存在一点F,使BF∥平面AEC?证明你的结论.根据题设条件，结合图形容易得到：)3,32,0(,),,0(,)0,2,23(aaEaaDaaB),0,0(,)0,2,23(aPaaC),2,23(aaaCP假设存在点FCPCF),2,23(aaa。aaaCFBCBF,)21(,23ABCDA1B1C1D1PxzyCABDPzyXEF又)3,32,0(aaAE，)0,2,23(aaAC则必存在实数21,使得AEACBF21，把以上向量得坐标形式代入得2321213322)21(2323212211aaaaaaa有AEACBF2321所以，在棱PC存在点F，即PC中点，能够使BF∥平面AEC。本题证明过程中，借助空间坐标系，运用共面向量定理，应用待定系数法，使问题的解决变得更方便，这种方法也更容易被学生掌握。例4、如图，在正三棱柱111ABCABC中，D、E分别是棱BC、1CC的中点，12ABAA。（Ⅰ）证明：1BEAB；（Ⅱ）求二面角1BABD的大小。解：如图建立空间直角坐标系，则（Ⅰ）证明：因为(1,0,0)B，(1,0,1)E，(0,3,0)A，1(1,0,2)B，所以(2,0,1)BE，1(1,3,2)AB，故12(1)0(3)120BEAB，因此，有1BEAB；（Ⅱ）设1(,,)nxyz是平面1ABB的法向量，因为1(1,3,2)AB，1(0,0,2)BB，所以由1111111132020nABnABxyznBBnBBz可取1(3,1,0)n；同理，2(2,0,1)n是平面1ABD的法向量。设二面角1BABD的平面角为，则C'B'ABCA'DEC'B'ABCA'xzyDE121212||1515cos|cos,|arccos55||||nnnnnn。本例中没有现成的三条互相垂直的直线，需动脑筋构造。二面角的大小与其两个面的法向量的夹角相等或互补，要根据实际情况来取舍。（传统解法）作DM⊥AB于M，则DM⊥平面ABB’A’。作MN⊥AB’于N，连DN，则∠MND即是二面角1BABD的平面角。三、堂上练习已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形，且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=60º（1）证明CC1⊥BD（2）当1CDCC的值为多少时，能使A1C⊥平面C1BD？并证明分析：取1,,CDCBCC为运算的基向量，则BDCDCB。注意向量间的方向对夹角的影响略证（2）设1(0)CDCC，菱形边长为a，则1CDCC221111232()()0ACCDCDCBCCCDCCa，解得1当1时，11()()0ACBDCDCBCCCDCB四、小结学生归纳，教师适当的补充、概括。练习与测试：（基础题）1．下列各组向量中不平行的是（）A．)4,4,2(),2,2,1(baB．)0,0,3(),0,0,1(dcB'C'CABA'DMNDBAD1CC1B1A1C．)0,0,0(),0,3,2(feD．)40,24,16(),5,3,2(hg答：D。2．若A)1,2,1(，B)3,2,4(，C)4,1,6(，则△ABC的形状是（）A．不等边锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等边三角形答：A。3．已知正方体1111ABCDABCD的棱长是1，则直线1DA与AC间的距离为。答：33。提示：11(0,0,0),(1,1,0),(0,1,0),(0,0,1),(1,1,0),(0,1,1)ACDAACDA设1(,,),,,0,0,MNxyzMNACMNDAxyyzyt令则(,,)MNttt，而另可设(,,0),(0,,),(,,)MmmNabMNmamb1,(0,2,),21,3mtamtNtttttbt，1111113(,,),3339993MNMN4．已知四棱锥PABCD的底面为直角梯形，//ABDC，PADAB,90底面ABCD，且12PAADDC，1AB，M是PB的中点。（Ⅰ）证明：面PAD面PCD；（Ⅱ）求AC与PB所成的角；证明：以A为坐标原点AD长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为1(0,0,0),(0,2,0),(1,1,0),(1,0,0),(0,0,1),(0,1,)2ABCDPM.（Ⅰ）证明：因.,0),0,1,0(),1,0,0(DCAPDCAPDCAP所以故由题设知ADDC，且AP与AD是平面PAD内的两条相交直线，由此得DC面PAD.又DC在面PCD上，故面PAD⊥面PCD.（Ⅱ）解：因),1,2,0(),0,1,1(PBAC.510||||,cos,2,5||,2||PBACPBACPBACPBACPBAC所以故（中等题）5．如图，在四棱锥VABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形,平面VAD底面ABCD．（Ⅰ）证明：AB平面VAD；（Ⅱ）求面VAD与面DB所成的二面角的大小．证明：以D为坐标原点，建立如图所示的坐标图系.（Ⅰ）证明：不防设作(1,0,0)A，则(1,1,0)B，)23,0,21(V，)23,0,21(),0,1,0(VAAB由,0VAAB得ABVA，又ABAD，因而AB与平面VAD内两条相交直线VA，AD都垂直.∴AB平面VAD.（Ⅱ）解：设E为DV中点，则)43,0,41(E，).23,0,21(),43,1,43(),43,0,43(DVEBEA由.,,0DVEADVEBDVEB又得因此，AEB是所求二面角的平面角，,721||||),cos(EBEAEBEAEBEA解得所求二面角的大小为.721arccos6．如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA底面ABCD，3AB，1BC，2PA，E为PD的中点.（Ⅰ）求直线AC与PB所成角的余弦值；（Ⅱ）在侧面PAB内找一点N，使NE面PAC，并求出点N到AB和AP的距离.解：（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系，则,,,,,ABCDPE的坐标为(0,0,0)A、(3,0,0)B、(3,1,0)C、(0,1,0)D、(0,0,2)P、1(0,,1)2E，从而).2,0,3(),0,1,3(PBAC设PBAC与的夹角为，则DCBAV,1473723||||cosPBACPBAC∴AC与PB所成角的余弦值为1473.（Ⅱ）由于N点在侧面PAB内，故可设N点坐标为(,0,)xz，则)1,21,(zxNE，由NE面PAC可得，.0213,01.0)0,1,3()1,21,(,0)2,0,0()1,21,(.0,0xzzxzxACNEAPNE化简得即∴163zx即N点的坐标为)1,0,63(，从而N点到AB和AP的距离分别为31,6.