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4.数学思考第1课时数学思考(1)教学内容教科书P100第1题及“做一做”，完成教科书P103“练习二十二”中第1~4题。教学目标1.用数形结合的方法，在动手操作的过程中寻求“平面点间线段”的规律，掌握正确数线段的方法。2.通过观察、分析、归纳等过程，进一步发展合情推理和解决问题的能力。3.体会数形结合、化归(化繁为简、化难为易)等数学思想,增强探索数学的兴趣。教学重点规律的发现与提炼。教学难点理解化繁为简的数学思想。教学准备课件。教学过程一、出示问题，揭示课题师：请你们在纸上任意点上8个点，并将它们每两点连成一条线，再数一数，看看连成了多少条线段。【学情预设】学生独立尝试连线，数线段，但都表示“太乱了，数不清”。师：同学们，8个点连出来的线段，数量多，很难数清楚。所以，这样的问题，我们不应该直接用数的方法来解决，而是要研究其中的规律，巧妙地解决。今天我们就来学习数学思考的内容。［板书课题：数学思考(1)］【设计意图】直接呈现“8个点可以连多少条线段”的问题，大教学笔记多数学生会遇到数不清、混乱的情况，由此“如何才能解决这个问题”的需求就产生了。二、合作学习，寻求数线段中的规律1.合作探究。师：刚才大家遇到了困难，认为点太多不好处理。大家想过没有，如果不是8个点，你能解决吗？也就是说如果点少一些，能解决吗？请大家以小组为单位，可以画一画，也可以列表，看能否发现其中的规律。学生活动，教师巡视指导并收集信息。【学情预设】学生活动时，可能想不到列表，或列表不完整，教师可以深入到组内适当引导。2.汇报展示。师：哪一组向大家汇报下你们的想法？【学情预设】学生可能出现下面情况。预设1：无过程图，仅留最后连线图，但找到了前2~6个点的规律。前2~6个点连线的线段数分别是：1、3、6、10、15。预设2：有过程，但表格不完整，如下表。预设3：图形与表格比较完整，情况如下。教学笔记【教学提示】此活动教师不必细化引导，仅提示思维方向，以此来隐性告诉学生，化多为少、化繁为简，将数学思想方法渗透其中。师：通过同学们的展示、交流，你有什么发现？【学情预设】引导学生说出：在2个点的基础上，每增加一个点，这个点就可以和前面已有的每个点都连成一条线段，所以前面有几个点，就会增加几条线段。课件演示过程，小结：每次增加的线段条数比点数少1。师：用算式来表达规律，8个点能连几条线段？你有什么发现呢？【学情预设】学生会列出算式：1+2+3+4+5+6+7=28(条)，引导学生总结出：1+2+3+4+5+6+…+(点数-1)=总条数。板书：1+2+3+4+5+6+…+(点数-1)=总条数3.应用规律。师：现在你能用我们发现的规律直接算出12个点、20个点、100个点能连多少条线段吗？学生独立完成后集体交流。【学情预设】预设1：12个点能连成66条线段，算式是1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11=66(条)。预设2：20个点能连成190条线段，算式是1+2+3+4+5+6+7+8+…+19=190(条)。预设3：100个点能连成4950条线段，算式是1+2+3+4+5+6+7+…+98+99=4950(条)。师：刚才我发现有的同学在计算时很快地求出了结果，谁来分享一下？【学情预设】学生会说出：点数×(点数-1)÷2=总条数。师：如果有n个点，每2个点连一条线段，能连多少条线段呢？【学情预设】引导学生说出可以用1+2+3+4+5+6+…+(n-1)=总条数,也有学生说用n×(n-1)÷2来求，教师都要予以肯定。板书：1+2+3+4+5+6+…+(n-1)=总条数4.回顾反思。师：请大家静静地回顾刚才解决问题的过程，你有什么想法？教学笔记【教学提示】交流过程中，注意引导学生抓住两个关键：一是要想到每一个新增的点都要与之前的点相连，从而得到新增的线段数的规律；二是要指导学生从表示线段总数的算式中发现规律，实现归纳。【学情预设】学生可能会说遇到复杂的问题，可以用化繁为简的思想，从简单入手，寻找规律，再运用规律解决问题。根据学生回答板书：化繁为简【设计意图】课堂中给学生回顾与反思的时间，有机会交流在解决问题的过程中的收获，使学生能更深层次理解数学思想在解决问题中的作用。三、及时巩固，深化思想1.完成教科书P100“做一做”。学生独立完成，并在组内交流。【学情预设】学生不难发现棋子排列中的规律，得到每条边上棋子数的平方就是棋子的总数。第n幅图就有n2个棋子。2.完成教科书P103“练习二十二”第1~4题。【学情预设】第1题：引导学生寻找数与项数之间、前后数之间的关系来探索规律。第(1)题的规律是相邻两个数之间的差依次加1，从第一个数开始“+8、+9、+10、+11、+12……”；第(2)题的规律是第1项、第3项、第5项、第7项数连续乘2，第2项、第4项、第6项、第8项数连续加3。第2题：让学生观察序号和形状之间的关系，观察小棒根数与三角形个数之间的关系。从图②开始，平行四边形、梯形依次有规律地出现；小棒的根数，则是每次增加2根。对于第(3)题，不严格要求答案统一，学生可能发现的规律是3+2(n-1)，也可以引导学生统一化简为2n+1。第3题：学生解决这个问题比较轻松，把“1面红旗、2面黄旗、3面绿旗”看成一组，运用有余数的除法，即可推理得出彩旗的颜色。第4题：引导学生回顾多边形内角和的求法，再让学生独立解决问题。这道题不是新问题，根据边数与可划分的三角形个数，可容易地推理得到n边形内角和为(n-2)×180°。教学笔记【设计意图】这些练习需要有序思考，找到规律，然后应用规律进行计算或符号化表达，帮助学生进一步发展观察、枚举、归纳能力，提升推理水平。四、课堂小结师：通过今天的学习，你们有哪些收获呢？板书设计数学思考(1)1+2+3+4+5+6+…+(点数-1)=总条数1+2+3+4+5+6+…+(n-1)=总条数化繁为简教学反思本课教学中先让学生产生认知冲突，从而激发学生寻求解题策略的欲望，继而引导学生“从最简单的情况入手”，边探索边寻求答案，进而帮助学生理解化繁为简的数学思想。在教学活动中还要注意两点：一是教材中的策略是以增加的点为关键，从而引出线段增加的条数，继而找出结果。其实策略是多样的，可以充分利用学生的已有知识内容让学生独立思考，直接找出数的变化规律，即不要过于限制学生的思维。二是在寻找规律时，也不必限制几个点，可以边数线段边找规律，一旦发现规律就可以归纳出一般情况。作业设计见“状元成才路”系列丛书《创优作业100分》或《状元作业本》对应课时作业。教学笔记