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第3课时数学思考(3)教学内容教科书P101~102第3、4题，完成教科书P104“练习二十二”中第9、10题。教学目标1.初步掌握等量代换、几何证明的基本方法和步骤。2.在解决问题的过程中，经历等量代换和几何证明过程，进一步提升逻辑推理的能力，体会逻辑思维是数学的一种重要思考方式。3.在教学活动中，学会用数学思想方法解决问题，有条理地表达自己思考的过程,培养合作意识。教学重点等量代换、几何证明的基本方法。教学难点用语言、符号或文字描述代换和证明的过程。教学准备课件。教学过程一、谈话导入，揭示课题师：前面我们已经学习了数学思考的第1、2题，感受到数学思想和方法可以帮助我们有条理地思考，简捷地解决问题。今天这节课，我们一起来学习第3、4题，继续享受由数学思考带来的“思维盛宴”。［板书课题：数学思考（3）］二、自主探索，经历演绎推理的过程1.课件出示教科书P101第3题(1)。师：你能解决这个问题吗？请在作业本上试一试。教学笔记学生独立完成后，汇报交流。【学情预设】预设1：用文字描述。因为1个△等于3个□，可以把第一个算式中的△换成3个□。这样，第一个算式就转化成了4个□相加等于24，□就等于6，故△=6×3=18。预设2：根据解方程的经验，用等式表达。把第一个算式中的△换成3个□，得到□+□+□+□=24，□=24÷4=6，△=6×3=18。师：大家听懂这种方法了吗？在解决问题的过程中，最重要的是哪一步？【学情预设】把第一个算式中的△换成3个□。师：这样的方法就叫做等量代换。同桌之间互相说一说。该怎样用数学的方法表示这一过程呢？我们一起来看。(课件出示)2.课件出示教科书P102第3题（2）。师：想一想，你的结论是什么？用什么方法证明你的结论呢？【学情预设】两个等式中都有，只要从160里面把☆分别减去就可以知道○和◎是相等的。师：把☆分别减去的依据是什么？【学情预设】等式的性质：在等式的左右两边同时减去同一个数，等式仍然成立。师：你能直接用数学证明的方法表示吗？学生写证明过程，教师强调每一步都要写清楚依据。教学笔记【教学提示】学生有能力独立解决这一问题，主要是让学生把代换的过程(思路)讲清楚，通过教师的提问理解关键步骤是该环节的教学重点。在解题过程的表述上，充分发挥教师的引领作用，通过多媒体课件逐步呈现过程，使学生体会数学证明的方法，感受数学语言的严谨性。交流汇报，逐步引导得出：师小结：在解决第(1)题的过程中，我们用到了什么数学思想？(板书：等量代换)第(2)题则是根据什么？(板书：等式的性质)将解题过程用这样的形式表示出来，采用的是数学证明的方法。【设计意图】表述的逻辑性和严谨性是该环节的教学重点，在学生已经得出结论的基础上，逐步引导他们用规范的数学语言加以表述，充分体会数学证明的方法和逻辑推理的思想。3.师：什么是平角？平角与直线有什么区别？谁来说一说？【学情预设】预设1：平角是个角，而直线是条线。预设2：平角可度量，1平角=180°；直线不可度量。预设3：平角有一个顶点和两条边，而直线没有。（1）课件出示教科书P102第4题（1）。师：从题中你能得到什么信息？说说你的发现。【学情预设】预设1：每相邻两个角可以组成一个平角，在图中有四组角是相邻的，所以有4个平角。预设2：平角的两边在一条直线上，在同一条直线的两旁可以找到两个以O为顶点的平角。师：那么，我们可以找到几个平角呢？它们分别是由哪两个相邻的角组成的？【学情预设】指导学生说出能找到4个平角，分别是∠1和∠2，∠2和∠3，∠3和∠4，∠4和∠1。教学笔记(2)课件出示教科书P102第4题（2）。学生独立思考，互相交流后汇报思路。【学情预设】预设1：∠1和∠2可以组成平角，∠2和∠3可以组成平角，在两个平角中同时减去∠2，就可以得出∠1=∠3。预设2：还可以这样想，∠1和∠4可以组成平角，∠3和∠4可以组成平角，在两个平角中同时减去∠4，可以得出∠1=∠3。师：这两种方法中都用到了同时减去同一个角，依据是什么？(学生回答：等式的性质)你能用数学证明的方法表示这个过程吗？学生练习，教师巡回指导。展示作业，逐步归纳得出：师：你能用同样的方法推出∠2=∠4吗？学生练习，反馈讲评，得出：【设计意图】题目中平角的概念和平角与直线的区别这两个问题是新知的生长点，教师在实际教学中应使学生理解到位。第(1)题既可以由题意“每相邻两个角可以组成一个平角”出发，也可以从平角的特征考虑加以解决。第(2)题的解决根据第(1)题的结论，同时第3题中的第(2)题为本题的推理提供了知识基础，这个教学环节以学生自主探索为主，引导学生充分经历并理解推理的过程。三、综合练习，提高能力1.完成教科书P104“练习二十二”第9题。教学笔记师：引导学生关注算式的特点，教给学生运用等式的性质处理算式的办法。【学情预设】第(1)题的方法特别多，比较简单的方法是采用等式的性质，将三个等式的两边分别相加，求出○+□+△=100，然后依次求出结果。也有的学生用初中的解题思路，如代入消元、加减消元等方法，如果出现要引导学生清晰表达思路。第(2)题要先根据上面两个等式求出○和□，然后代入第三个等式求值。2.完成教科书P104“练习二十二”第10题。让学生独立完成，并全班汇报展示。【学情预设】学生会直接说出∠3和∠4拼成的角是平角，所以∠3+∠4=180°。三角形内角和是180°，所以∠1+∠2+∠3=180°，那么∠1+∠2=180°-∠3。因为∠4=180°-∠3，所以∠1+∠2=∠4。【设计意图】针对性的练习设计，强化了等量代换、等式的性质、数学证明的方法和几何证明等知识，在解决问题的过程中使学生直观感受数学推理的应用价值。教学笔记四、课堂小结师：通过本节课的学习，你们有哪些收获呢？课后了解教科书P104“你知道吗？”。板书设计数学思考(3)等量代换等式的性质教学反思“数学思考”是总复习单元中的另类，它不仅是对以往所学知识的整理和复习，还在原有基础上有所提升与拓展。本节课的教学内容较为抽象难懂，所以在教学时要留给学生动手操作、合作学习的机会，使学生亲身体验探究等量代换的数学方法。可以完全放手先让学生独立完成，再用汇报展示的形式去提升。作业设计教学笔记【教学提示】处理此题时，不必把结论“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和”看得太重，目标应放在“感悟角的位置”上，可呈现不同的外角让学生加深理解此结论，但不提倡死记这个结论。见“状元成才路”系列丛书《状元作业本》对应课时作业P62第2~5题。2.如图所示，∠1=∠2，请问:∠3和∠4相等吗？为什么？3.图中，∠1、∠3和∠5分别是三角形的三个内角。能推出∠2=∠3+∠5，∠4=∠1+∠5，∠6=∠1+∠3吗？4.两个直角三角形ABC和ADE组成下图。∠1=∠2吗？为什么？5.△、、○各代表一个数。（1）已知△+○=12，△-○=6，=△+△+○×4，求△、、○的值。（2）已知△+-○=30，=△+△+△，△=○+6，求△、、○的值。参考答案2.相等。因为∠1+∠3=90°,∠2+∠4=90°,所以∠1+∠3=∠2+∠4。又因为∠1=∠2，所以∠3=∠4。3.因为∠1+∠2=180°，∠1+∠3+∠5=180°，所以∠2=180°-∠1，∠3+∠5=180°-∠1，那么∠2=∠3+∠5。同理，∠4=∠1+∠5，∠6=∠1+∠3。4.∠1=∠2。因为∠1=90°-∠3，∠2=90°-∠3，所以∠1=∠2。5.（1）△=（12+6）÷2=9○=12-9=3□=9+9+3×4=30（2）已知△+-○=30，=△+△+△，可得△+△+△+△-○=30，即4×△-○=30。又已知△=○+6，可得4×（○+6）-○=30，○=2。所以△=2+6=8，=8+8+8=24。教学笔记