2018-2019学年八年级数学第14课三角形中位线的应用例题课件

例1.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E,F分别是AO，AD的中点，若AB=6cm,BC=8cm,则△AEF的周长=______cm.重点中学与你有约解题技巧一读关键词：矩形，中位线，周长二联重要结论：先求出对角线AC，根据中位线定理求EF，进而求周长.重要方法：定理运用三解解：四悟掌握三角形中位线的性质是解决此类问题的关键.∵四边形ABCD为矩形，∴∠ABC=90°，AC=BD,AD=BC，∵AB=6cm,BC=8cm,∴ACABBCcm2210∴△AEF的周长=AE+AF+EF=9cm,故答案为9.∵点E,F分别是AO，AD的中点，∴EF是△AOD的中位线，EFODBDAC.cmAFADBCcm,AEAOAC.cm1112524411114252224举一反三答案：∵矩形ABCD，OA=OB又∵∠AOB=60°∴△AOB是等边三角形．∴OA=AB=6cm，∴OC=OB=6cm，AC=12cm，∴BC==6（cm），∵点E、F分别是BO、BC的中点，∴EF=CO，BE=BO，BF=BC，∴△BEF的周长为△BOC周长的一半为：（6+6+6）=6+3．故答案是：6+3．思路分析:根据矩形的性质，可以得到△AOB是等边三角形，则可以求得OA的长，进而求得AC的长，再利用三角形中位线定理得出△BEF的周长为△BOC周长的一半求出即可．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠AOB=60°,点E、F分别是BO、BC的中点,若AB=6cm,则△BEF的周长为___cm．失误防范三角形中位线的概念：连接三角形两边中点的线段叫作三角形的中位线；三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.例2.如果三角形的两边长分别是方程x2-8x+15=0的两个根，那么连接这个三角形三边的中点，得到的三角形的周长可能是（）A．5.5B．5C．4.5D．4重点中学与你有约解题技巧一读关键词：一元二次方程，中点，周长二联重要结论：三角形的三边关系以及三角形的中位线性质.重要方法：定理运用三解解：四悟理解原来的三角形与中点三角形周长之间的关系是解题的关键.解一元二次方程x2-8x+15=0，得三角形两边分别为3和5.由三角形中位线定理得中点三角形周长m的范围是：5m8,故选A.设三角形第三边长为a,则2a8,三角形的周长l范围是：10l16．举一反三答案：x2﹣9x+20=0，因式分解得，（x﹣4）（x﹣5）=0，所以，x﹣4=0，x﹣5=0，解得x1=4，x2=5，∵5﹣4=1，5+4=9，∴1＜第三边＜9，∴10＜三角形的周长＜18，∴以这个三角形的中点为顶点的三角形的周长的取值范围是：5＜周长＜9，∴以这个三角形的中点为顶点的三角形的周长可能是5.5．故选A．思路分析:本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，因式分解法解一元二次方程，三角形的三边关系，熟记定理以及各性质并求出中点三角形的周长的取值范围是解题的关键．如果三角形的两边分别是方程x2﹣9x+20=0的两个根，那么以这个三角形的中点为顶点的三角形的周长可能是（）A．5.5B．5C．4.5D．4失误防范利用三角形中位线求周长：如果三角形的两边分别是一元二次方程的两个根，那么先解出一元二次方程，求出三角形的两边，再根据三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边求出第三边的取值范围，然后求出原三角形的周长，然后根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得中点三角形的周长等于原三角形的周长的一半求出中点三角形的周长的取值范围，再根据各选项的数据选择即可．例3.如图，△ABC的周长为26，点D,E都在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为P.若BC=10，则PQ的长为（）A．B．C．3D．43252重点中学与你有约解题技巧一读关键词：周长，垂直，中位线二联重要结论：利用等腰三角形的性质确定PQ是△ADE的中位线.重要方法：定理运用三解解：四悟熟练运用中位线定理是解决此类问题的关键.∵BQ平分∠ABC，且BQ⊥AE，∴在△ABQ和△EBQ中，∴△ABQ≌△EBQ，∴AQ=EQ，BA=BE，同理，CD=CA，AP=DP，∵△ABC的周长=AB+BC+CA=AB+10+CA=26∴AB+CA=16，∴BE+CD=16,∴10+DE=16,DE=6在△ADE中，AQ=EQ，AP=DP，∴PQ是△ADE的中位线，∴PQ=DE=3．故选C.ABQEBQBQBQAQBEQB9012举一反三思路分析:根据等腰三角形三线合一的性质可得AE=DE，然后根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，然后判断出△AFE的周长=1/2△ABD的周长．如图，在△ABC中，BC＞AC，点D在BC上，且DC=AC，∠ACB的平分线CE交AD与E，点F是AB的中点．若△ABD的周长是20，则△AFE的周长为（）A．5B．10C．12D．15举一反三答案：∵DC=AC，CE是∠ACB的平分线，∴AE=DE，又∵点F是AB的中点，∴EF是△ABD的中位线，∴EF=BD，∴△AFE的周长=△ABD的周长，∵△ABD的周长是20，∴△AFE的周长=10．故选B．失误防范三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.与中点有关的概念：等腰三角形底边的中线三线合一(底边的中线、顶角的角平分线、底边的高重合)直角三角形斜边的中线等于斜边的一半三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半．经过三角形一边中点且平行于另一边的直线必平分第三边．例4.点O是△ABC所在平面内一动点，连接OB,OC并将AB,OB,OC,AC中点D,E,F,G依次连接起来，设DEFG能构成四边形.（1）如图，当点O在△ABC内时，求证：四边形DEFG是平行四边形；（2）当点O在△ABC外时，（1）的结论是否成立？（画出图形，指出结论，无须说明理由；）（3）若四边形DEFG是菱形，则点O的位置应满足什么条件？试说明理由．重点中学与你有约解题技巧一读关键词：三角形，中点，四边形，判四边形形状.二联重要结论：平行四边形的判定，三角形中位线定理，菱形的判定.重要方法：逻辑推理三解解：（1）证明：∵AB、OB、OC、AC中点分别为D、E、F、G，∴DG、EF分别为△ABC和△OBC的中位线，∴DGBC，EFBC，∴DGEF，∴四边形DEFG是平行四边形；（2）如图所示，成立，理由：∵由（1）知，DGBC，EFBC，∴DGEF，∴四边形DEFG是平行四边形；（3）当点O满足OA=BC，四边形DEFG是菱形．理由：由题意，DG=BC，DE=OA，∵OA=BC,DG=DE,∴四边形DEFG是菱形．四悟熟练掌握特殊四边形的判定及三角形中位线定理是解题的关键．212121212121举一反三已知：如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD的中点，求证：四边形EFGH是菱形．思路分析:由菱形的性质结合三角形中位线定理，可得EF=FG=GH=HG，可证明四边形EFGH是菱形．答案：∵E、F为OA、OB的中点，∴EF为△OAB的中位线，∴EF=0.5AB，同理可得FG=0.5BC，GH=0.5CD，HE=0.5AD，又∵四边形ABCD为菱形，∴AB=BC=CD=DA，∴EF=FG=GH=HE，∴四边形EFGH为菱形．失误防范菱形常用三种判别方法：①定义；②四边相等；③对角线互相垂直平分．例5.如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，且AB=10，BC=15，MN=3，则△ABC的周长等于（）A．38B．39C．40D．41重点中学与你有约解题技巧一读关键词：中点，角平分线，线段长，求周长.二联重要结论：三角形的周长，角的平分线定理，三角形中位线定理.重要方法：转化思想三解解：延长BN交AC于点D，∵AN平分∠BAD，∴∠BAN=∠DAN，又AN⊥BD于点N，∴∠ANB=∠AND=90°，∴∠ABD=∠ADB,∴AD=AB=10，∴BN=ND，又∵BM=NC，∴CD=2MN=2×3=6，∴AC=AD+CD=10+6=16，∴△ABC的周长为：AB+AC+BC=10+16+15=41．故选D．四悟涉及到三角形中位线定理，正确作出辅助线是解题的关键．5.如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，且AB=10，BC=15，MN=3，则△ABC的周长等于（）A．38B．39C．40D．41举一反三如图，D是△ABC的BC边的中点，AE平分∠BAC，AE⊥CE于点E，且AB=10，AC=16，则DE的长度为．思路分析:延长AB，CE交于点F，通过ASA证明△EAF≌△EAC，根据全等三角形的性质得到AF=AC=16，EF=EC，进一步得到BF=6，再根据三角形中位线定理即可求解．．答案：延长AB，CE交于点F．∵AE平分∠BAC，AE⊥CE，∴∠EAF=∠EAC，∠AEF=∠AEC，又∵AE=AE,∴△EAF≌△EAC（ASA），∴AF=AC=16，EF=EC，∴BF=6，又∵D是BC中点，∴BD=CD，∴DE是△BCF的中位线，∴DE=0.5BF=3．故答案为：3．失误防范三角形中位线的性质：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半.例6.如图，在△ABC中，∠B=2∠C，AD⊥BC于D，M为BC的中点，AB=10cm，则MD的长为cm.重点中学与你有约解题技巧一读关键词：中点、垂直，角的关系，线段长，求线段长.二联重要结论：直角三角形的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，三角形中位线定理.重要方法：数学结合思想三解解：如图，取AB中点N，连接DN，MN．∵AD⊥BD，N为AB中点，AB=10，∴DN=0.5AB=BN=5．∴∠NDB=∠B．又∵M,N分别是BC，AB的中点．∴MN∥AC，∴∠NMD=∠C．又∵∠B=2∠C，∴∠NDB=2∠NMD．又∵∠NDB=∠NMD+∠DNM．∴∠NMD=∠DNM．∴DM=DN=5．故DM的长为5．四悟涉及到中点、中线、垂直的题目，正确作出辅助线是解题的关键．6.如图，在△ABC中，∠B=2∠C，AD⊥BC于D，M为BC的中点，AB=10cm，则MD的长为cm.举一反三如图，在△ABC中，AB=12，AC=18，AD是∠BAC的平分线，过点B作AD的垂线，交AD于D，M是BC的中点，求MD的长．思路分析:延长BD交AC于点N，易证△ADN≌△ADB，则AN=AB，DN=BD，则DM是△BCN的中位线，根据三角形的中位线定理即可求解．答案：延长BD交AC于点N．∵在△ADN和△ADB中，∠NAD=∠BAD,AD=AD,∠ADN=∠ADB,∴△ADN≌△ADB，∴AN=AB=12，ND=ND，∴CN=AC﹣AN=18﹣12=6，∵ND=BD，CM=BM，∴DM=0.5CN=0.5×6=3．失误防范与中点有关的辅助线：秘籍一：倍长中线解读：凡是出现中线或类似中线的线段，都可以考虑倍长中线，倍长中线的目的可以旋转等长度的线段，从而达到将条件进行转化的目的。失误防范秘籍二：构造中位线解读：凡是出现中点，或多个中点，都可以考虑取另一边中点，或延长三角形一边，从而达到构造三角形中位线的目的.失误防范秘籍三：构造三线合一解读：只要出现等腰三角形，或共顶点等线段，就需要考虑构造三线合一，从而找到突破口其他位置的也要能看出失误防范秘籍四：构造斜边中线解读：只要出现直角三角形，或直角，则考虑连接斜边中线段，第一可以出现三条等线段，第二可以出现两个等腰三角形，从而转化线段关系其他位置的也要能看出例7.如图，以△ABC的边AB,AC边为斜边向形外作Rt△ABD和Rt△ACE,且使∠ABD=∠ACE,M是BC的中点，求证：DM=ME.重点中学与你有约解题技巧一读关键词：中点，角的关系，直角三角形，求证线段相等.二联重要