高中数学必修4知识点总结

1高中数学必修4444知识点⎧⎪⎨⎪⎩正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角．第一象限角的集合为{}36036090,kkkαα⋅⋅+∈Ζ���第二象限角的集合为{}36090360180,kkkα⋅+⋅+∈Ζ����第三象限角的集合为{}360180360270,kkkαα⋅+⋅+∈Ζ����第四象限角的集合为{}360270360360,kkkαα⋅+⋅+∈Ζ����终边在x轴上的角的集合为{}180,kkαα=⋅∈Ζ�终边在y轴上的角的集合为{}18090,kkαα=⋅+∈Ζ��终边在坐标轴上的角的集合为{}90,kkαα=⋅∈Ζ�3、与角α终边相同的角的集合为{}360,kkββα=⋅+∈Ζ�4、已知α是第几象限角，确定()*nnα∈Ν所在象限的方法：先把各象限均分n等份，再从x轴的正半轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则α原来是第几象限对应的标号即为nα终边所落在的区域．5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度．6、半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，则角α的弧度数的绝对值是lrα=．7、弧度制与角度制的换算公式：2360π=�，1180π=�，180157.3π⎛⎞=≈⎜⎟⎝⎠��．8、若扇形的圆心角为()αα为弧度制，半径为r，弧长为l，周长为C，面积为S，则lrα=，2Crl=+，21122Slrrα==．9、设α是一个任意大小的角，α的终边上任意一点Ρ的坐标是(),xy，它与原点的距离是()220rrxy=+，则sinyrα=，cosxrα=，()tan0yxxα=≠．10、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四2PvxyAOMT象限余弦为正．11、三角函数线：sinα=ΜΡ，cosα=ΟΜ，tanα=ΑΤ．12、同角三角函数的基本关系：()221sincos1αα+=()2222sin1cos,cos1sinαααα=−=−；()sin2tancosααα=sinsintancos,costanαααααα⎛⎞==⎜⎟⎝⎠．13、三角函数的诱导公式：()()1sin2sinkπαα+=，()cos2coskπαα+=，()()tan2tankkπαα+=∈Ζ．()()2sinsinπαα+=−，()coscosπαα+=−，()tantanπαα+=．()()3sinsinαα−=−，()coscosαα−=，()tantanαα−=−．()()4sinsinπαα−=，()coscosπαα−=−，()tantanπαα−=−．口诀：函数名称不变，符号看象限．()5sincos2παα⎛⎞−=⎜⎟⎝⎠，cossin2παα⎛⎞−=⎜⎟⎝⎠．()6sincos2παα⎛⎞+=⎜⎟⎝⎠，cossin2παα⎛⎞+=−⎜⎟⎝⎠．口诀：正弦与余弦互换，符号看象限．14、函数sinyx=的图象上所有点向左（右）平移ϕ个单位长度，得到函数()sinyxϕ=+的图象；再将函数()sinyxϕ=+的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的1ω倍（纵坐标不变），得到函数()sinyxωϕ=+的图象；再将函数()sinyxωϕ=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的Α倍（横坐标不变），得到函数()sinyxωϕ=Α+的图象．函数sinyx=的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的1ω倍（纵坐标不变），得到函数sinyxω=的图象；再将函数sinyxω=的图象上所有点向左（右）平移ϕω个单位长度，得到函数()sinyxωϕ=+的图象；再将函数()sinyxωϕ=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的Α倍（横坐标不变），得到函数()sinyxωϕ=Α+的图象．函数()()sin0,0yxωϕω=Α+Α的性质：3①振幅：Α；②周期：2πωΤ=；③频率：12fωπ==Τ；④相位：xωϕ+；⑤初相：ϕ．函数()sinyxωϕ=Α++Β，当1xx=时，取得最小值为miny；当2xx=时，取得最大值为maxy，则()maxmin12yyΑ=−，()maxmin12yyΒ=+，()21122xxxxΤ=−．15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：sinyx=cosyx=tanyx=图象定义域RR,2xxkkππ⎧⎫≠+∈Ζ⎨⎬⎩⎭值域[]1,1−[]1,1−R最值当22xkππ=+()k∈Ζ时，max1y=；当22xkππ=−()k∈Ζ时，min1y=−．当()2xkkπ=∈Ζ时，max1y=；当2xkππ=+()k∈Ζ时，min1y=−．既无最大值也无最小值周期性2π2ππ奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在2,222kkππππ⎡⎤−+⎢⎥⎣⎦()k∈Ζ上是增函数；在32,222kkππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()k∈Ζ上是减函数．在[]()2,2kkkπππ−∈Ζ上是增函数；在[]2,2kkπππ+()k∈Ζ上是减函数．在,22kkππππ⎛⎞−+⎜⎟⎝⎠()k∈Ζ上是增函数．对称性对称中心()(),0kkπ∈Ζ对称轴()2xkkππ=+∈Ζ对称中心(),02kkππ⎛⎞+∈Ζ⎜⎟⎝⎠对称轴()xkkπ=∈Ζ对称中心(),02kkπ⎛⎞∈Ζ⎜⎟⎝⎠无对称轴16、向量：既有大小，又有方向的量．数量：只有大小，没有方向的量．函数性质4有向线段的三要素：起点、方向、长度．零向量：长度为0的向量．单位向量：长度等于1个单位的向量．平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行．相等向量：长度相等且方向相同的向量．17、向量加法运算：⑴三角形法则的特点：首尾相连．⑵平行四边形法则的特点：共起点．⑶三角形不等式：ababab−≤+≤+������．⑷运算性质：①交换律：abba+=+����；②结合律：()()abcabc++=++������；③00aaa+=+=�����．⑸坐标运算：设()11,axy=�，()22,bxy=�，则()1212,abxxyy+=++��．18、向量减法运算：⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量．⑵坐标运算：设()11,axy=�，()22,bxy=�，则()1212,abxxyy−=−−��．设Α、Β两点的坐标分别为()11,xy，()22,xy，则()1212,xxyyΑΒ=−−����．19、向量数乘运算：⑴实数λ与向量a�的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作aλ�．①aaλλ=��；②当0λ时，aλ�的方向与a�的方向相同；当0λ时，aλ�的方向与a�的方向相反；当0λ=时，0aλ=��．⑵运算律：①()()aaλµλµ=��；②()aaaλµλµ+=+���；③()ababλλλ+=+����．⑶坐标运算：设(),axy=�，则()(),,axyxyλλλλ==�．20、向量共线定理：向量()0aa≠���与b�共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使baλ=��．设()11,axy=�，()22,bxy=�，其中0b≠��，则当且仅当12210xyxy−=时，向量a�、()0bb≠���共线．21、平面向量基本定理：如果1e��、2e���是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a�，有且只有一对实数1λ、2λ，使1122aeeλλ=+������．（不共线的向量1e��、2e���作为这一平面内所有向量的一组基底）22、分点坐标公式：设点Ρ是线段12ΡΡ上的一点，1Ρ、2Ρ的坐标分别是()11,xy，()22,xy，当12λΡΡ=ΡΡ��������时，b�a�CΒΑabCC−=Α−ΑΒ=Β��������������5点Ρ的坐标是1212,11xxyyλλλλ++⎛⎞⎜⎟++⎝⎠．23、平面向量的数量积：⑴()cos0,0,0180abababθθ⋅=≠≠≤≤����������．零向量与任一向量的数量积为0．⑵性质：设a�和b�都是非零向量，则①0abab⊥⇔⋅=����．②当a�与b�同向时，abab⋅=����；当a�与b�反向时，abab⋅=−����；22aaaa⋅==����或aaa=⋅���．③abab⋅≤����．⑶运算律：①abba⋅=⋅����；②()()()abababλλλ⋅=⋅=⋅������；③()abcacbc+⋅=⋅+⋅�������．⑷坐标运算：设两个非零向量()11,axy=�，()22,bxy=�，则1212abxxyy⋅=+��．若(),axy=�，则222axy=+�，或22axy=+�．设()11,axy=�，()22,bxy=�，则12120abxxyy⊥⇔+=��．设a�、b�都是非零向量，()11,axy=�，()22,bxy=�，θ是a�与b�的夹角，则121222221122cosxxyyababxyxyθ+⋅==++����．24、两角和与差的正弦、余弦和正切公式：⑴()coscoscossinsinαβαβαβ−=+；⑵()coscoscossinsinαβαβαβ+=−；⑶()sinsincoscossinαβαβαβ−=−；⑷()sinsincoscossinαβαβαβ+=+；⑸()tantantan1tantanαβαβαβ−−=+（()()tantantan1tantanαβαβαβ−=−+）；⑹()tantantan1tantanαβαβαβ++=−（()()tantantan1tantanαβαβαβ+=+−）．25、二倍角的正弦、余弦和正切公式：⑴sin22sincosααα=．⑵2222cos2cossin2cos112sinααααα=−=−=−（2cos21cos2αα+=，21cos2sin2αα−=）．⑶22tantan21tanααα=−．26、()22sincossinαααϕΑ+Β=Α+Β+，其中tanϕΒ=Α．