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小结与复习第四章图形初步认识要点梳理考点讲练课堂小结课后作业要点梳理一、几何图形1.立体图形与平面图形(1)立体图形的各部分不都在同一平面内，如：(2)平面图形的各部分都在同一平面内，如：2.从不同方向看立体图形3.立体图形的展开图正方体圆柱三棱柱圆锥4.点、线、面、体之间的联系(1)体是由面围成，面与面相交成线，线与线相交成点；(2)点动成线、线动成面、面动成体.二、直线、射线、线段1.有关直线的基本事实经过两点有一条直线，并且只有一条直线.2.直线、射线、线段的区别类型线段射线直线端点个数2个不能延伸延伸性能否度量可度量1个向一个方向无限延伸不可度量无端点向两个方向无限延伸不可度量3.基本作图(1)作一线段等于已知线段；(2)利用尺规作图作一条线段等于两条线段的和、差.5.有关线段的基本事实两点之间，线段最短.4.线段的中点应用格式：C是线段AB的中点，AC＝BC＝AB，AB＝2AC＝2BC.12ACB6.连接两点的线段的长度，叫做这两点间的距离.三、角1.角的定义(1)有公共端点的两条射线组成的图形，叫做角；(2)角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形.2.角的度量度、分、秒的互化1°＝60′，1′＝60″3.角的平分线OBAC应用格式：OC是∠AOB的角平分线，∠AOC＝∠BOC＝∠AOB∠AOB＝2∠BOC＝2∠AOC124.余角和补角(1)定义①如果两个角的和等于90°(直角)，就说这两个角互为余角(简称为两个角互余).②如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为补角(简称为两个角互补).(2)性质①同角(等角)的补角相等.②同角(等角)的余角相等.(3)方位角①定义物体运动的方向与正北、正南方向之间的夹角称为方位角，一般以正北、正南为基准，用向东或向西旋转的角度表示方向.②书写通常要先写北或南，再写偏东或偏西考点一从不同方向看立体图形考点讲练例1如右图是由几个小立方体搭成的几何体的从上面看到的平面图，小正方形中的数字表示在该位置小正方体的个数,画出从正面和左面方向看到的平面图形.1122考点讲练1122从正面看从左面看解：解析：根据图中的数字，可知从前面看有3列，从左到右的个数分别是1，2，1；从左面看有2列，个数都是2.1.如图，从正面看A，B，C，D四个立体图形，分别得到a，b，c，d四个平面图形，把上下两行相对应立体图形与平面图形用线连接起来．dcbaABCDabcd针对训练考点二立体图形的展开图例2根据下列多面体的平面展开图，填写多面体的名称(1)_______，(2)_______，(3)________.长方体三棱柱三棱锥(1)(2)(3)2.在下列图形中(每个小四边形皆为相同的正方形)，可以是一个正方体展开图的是()ＡBCDC针对训练考点三线段长度的计算例3如图，已知点C为AB上一点，AC=15cm，CB=AC，D，E分别为AC，AB的中点，求DE的长．53ECADB解：∵AC=15cm，CB=AC，∴CB=×15=9cm，∴AB=15+9=24cm．∵D，E分别为AC，AB的中点，∴AE=AB=12cm，DC=AC=7.5cm，∴DE=AE－AD=12－7.5=4.5(cm)．35351212例4如图，B，C两点把线段AD分成2:5:3三部分，M为AD的中点，MC=6cm，求线段BM和AD的长．DABCM提示：题目中线段间有明显的倍分关系，且和差关系较为复杂，可以尝试列方程解答.由MC+CD=MD得，3x+6=5x.解得x=3.故BM=AM－AB=5x－2x=3x=3×3=9(cm)，AD=10x=10×3=30(cm)．DABCM解：设AB=2xcm，BC=5xcm，CD=3xcm，则AD=AB+BC+CD=10xcm.∵M是AD的中点，12∴AM=MD=AD=5xcm.例5点C在线段AB所在的直线上，点M，N分别是AC，BC的中点.(1)如图，AC=8cm，CB=6cm，求线段MN的长；AMCNB∴CM＝AC＝4(cm)，CN＝BC＝3(cm)，1212解：∵点M，N分别是AC，BC的中点，∴MN＝CM＋CN＝4＋3＝7(cm).(2)若C为线段AB上任一点，满足AC+CB=acm，其它条件不变，你能猜想MN的长度吗？并说明理由；AMCNB证明：同(1)可得CM＝AC，CN＝BC，∴MN＝CM＋CN＝AC＋BC＝(AC＋BC)＝a(cm).121212121212猜想：MN=acm.12(3)若C在线段AB的延长线上，且满足AC－BC=bcm，M，N分别为AC，BC的中点，你能猜想MN的长度吗？请画出图形，并说明理由.AMBNCMN=MC－NC=AC－BC=(AC－BC)=b(cm)．12121212猜想：MN=bcm.12证明：根据题意画出图形，由图可得针对训练3.如图：线段AB=100cm，点C，D在线段AB上.点M是线段AD的中点，MD=21cm，BC=34cm.则线段MC的长度为__________.BAMCD4.如图：AB=120cm，点C，D在线段AB上，BD=3BC，点D是线段AC的中点.则线段BD的长度为______.BACD45cm72cm5.已知：点A，B，C在一直线上，AB=12cm，BC=4cm.点M，N分别是线段AB，BC的中点.求线段MN的长度.AMCNB图①∴BM=AB=×12=6(cm)，BN=BC=×4=2(cm)，12121212解：如图①，当C在AB间时，∵M，N分别是AB，BC的中点，∴MN=BM－BN=6－2=4(cm).方法总结：无图条件下，注意多解情况要分类讨论，培养分类意识.CAMNB图②∴BM=AB=×12=6(cm)，BN=BC=×4=2(cm)12121212如图②，当C在线段AB外时，∵M，N分别是AB，BC的中点，∴MN=BM+BN=6+2=8(cm).考点四关于线段的基本事实例6如图，是一个三级台阶，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物.若这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，你能画出蚂蚁爬行的最短路线吗？AB解：如图，将台阶面展开成平面图形.连接AB两点，因为两点之间线段最短，所以线段AB为蚂蚁爬行的最短路线.ABBB6.如图，在A点有一只壁虎，要沿着圆柱体的表面爬到B点去吃蚊子.请画出壁虎在圆柱体表面爬行的最短路线.A针对训练考点五角的度量及角度的计算例7如图，BD平分∠ABC，BE把∠ABC分成2︰5两部分，∠DBE=21°，求∠ABC的度数.EBACD∴∠ABD=∠ABC=3.5x°.12解：设∠ABE=2x°，则∠CBE=5x°,∠ABC=∠ABE+∠CBE=7x°.∵BD平分∠ABC，∵∠ABE+∠DBE=∠ABD，即2x+21=3.5x.解得x=14.∴∠ABC=7x°=7×14°=98°.例8如图，∠AOB是直角，ON是∠AOC的平分线，OM是∠BOC的平分线.(1)当∠AOC=50°时，求∠MON的大小；OBMANC提示：先求出∠BOC的度数，再根据角平分线的定义求出∠COM，∠CON，然后根据∠MON=∠COM－∠CON代入数据进行计算即可得解.∴∠MON=∠COM－∠CON=70°－25°=45°.OBMANC解：∵∠AOB是直角，∠AOC=50°，∴∠BOC=∠AOB+∠AOC=90°+50°=140°，∵ON是∠AOC的平分线，OM是∠BOC的平分线，1212∴∠COM=∠BOC=×140°=70°，1212∠CON=∠AOC=×50°=25°，(2)当∠AOC＝α时，∠MON等于多少度？OBMANC∴∠MON=∠COM－∠CON=(90°+α)－α=45°.12解：∠BOC=∠AOB+∠AOC=90°+α，∵ON是∠AOC的平分线，OM是∠BOC的平分线，1212∠CON=∠AOC=α，1212∴∠COM=∠BOC=(90°+α)，(3)当锐角∠AOC的大小发生改变时，∠MON的大小也会发生改变吗？为什么？解：不会发生变化.由(2)可知∠MON的大小与∠AOC无关，总是等于∠AOB的一半.OBMANC针对训练7.若∠A=20°18′，∠B=20°15′30″，∠C=20.25°，则()A.∠A＞∠B＞∠CB.∠B＞∠A＞∠CC.∠A＞∠C＞∠BD.∠C＞∠A＞∠BA8.19点整时，时钟上时针与分钟之间的夹角是()A.210°B.30°C.150°D.60°C9已知一条射线OA，若从点O再引两条射线OB和OC，使∠AOB=50°，∠BOC=10°，求∠AOC的度数．解：有两种情况：如图①所示：∠AOC=∠AOB+∠BOC=50°+10°=60°；OACB图①如图②所示：∠AOC=∠AOB－∠BOC=50°－10°=40°.综上所述，∠AOC的度数为60°或40°．OACB图②考点六余角和补角例9已知∠α和∠β互为补角，并且∠β的一半比∠α小30º，求∠α，∠β．解：设∠α＝xº，则∠β＝180º－xº．根据题意∠β＝2(∠α－30º)，得180－x＝2(x－30)，解得x＝80．所以，∠α＝80º，∠β＝100º．提示：此题和差倍分关系较复杂，可列方程解答.例10如图，直线AB，CD相交于点O，OF平分∠AOE，∠FOD=90°．(1)写出图中所有与∠AOD互补的角；解：∵直线AB，CD相交于点O，∴∠AOC和∠BOD与∠AOD互补，∵OF平分∠AOE，∴∠AOF=∠EOF，∵∠FOD=90°，∴∠COF=180°－∠FOD=90°.又∵∠AOC=∠COF－∠AOF=90°－∠EOF，∠DOE=∠FOD－∠EOF=90°－∠EOF，∴∠AOC=∠DOE.∴与∠AOD互补的角有∠AOC，∠BOD，∠DOE.OACBDEF(2)若∠AOE=120°，求∠BOD的度数．OACBDEF∴∠AOF=∠AOE=×120°=60°.1212解：∵OF平分∠AOE，由(1)知，∠COF=90°，∴∠AOC=∠COF－∠AOF=90°－60°=30°.由(1)知，∠AOC和∠BOD与∠AOD互补，∴∠BOD=∠AOC=30°(同角的补角相等).例9已知∠AOB=90°，∠COD=90°，画出示意图并探究∠AOC与∠BOD的关系．解：如图①，∵∠AOB=90°，∠COD=90°，∴∠AOC=90°－∠BOC，∠BOD=90°－∠BOC，∴∠AOC=∠BOD；如图②，∠AOC=90°+∠BOC，∠BOD=90°－∠BOC，∴∠AOC+∠BOD=180°；DOACB图①DOACB图②如图③，∵∠AOB=90°,∠COD=90°，∴∠AOC=90°+∠BOC，∠BOD=90°+∠BOC，∴∠AOC=∠BOD；如图④，∠AOC+∠BOD=360°－90°×2=180°，∴∠AOC+∠BOD=180°．综上所述，∠AOC=∠BOD或∠AOC+∠BOD=180°．OACBD图③OACBD图④10.如图，直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC．(1)若∠EOC=70°，求∠BOD的度数；OACBDE∴∠AOC=∠EOC=×70°=35°.1212针对训练解：∵直线AB，CD相交于点O，∴∠AOC=∠BOD=180°－∠AOD.∵OA平分∠EOC，∴∠BOD=∠AOC=35°.(2)若∠EOC:∠EOD=2:3，求∠BOD的度数．解：设∠EOC=2x°∠EOD=3x°，由∠EOC+∠EOD=180°得2x+3x=180°，解得x=36°.∴∠EOC=2x°=72°，∴∠AOC=∠EOC=×72°=36°，∠BOD=∠AOC=36°．OACBDE121211.一只蚂蚁从O点出发，沿东北方向爬行2.5cm，碰到障碍物B后，折向北偏西60°方向爬行3cm到C点.(1)画出蚂蚁的爬行路线；(2)求出∠OBC的度数.北OB2.5cmC3cm60°45°解：(1)如图所示；(2)∠OBC=75°.几何图形立体图形平面图形展开或从不同方向看面动成体平面图形直线、射线、线段角表示方法线段长短的比较与计算两个基本事实中点表示方法角的度量、比较与计算余角和补角角平分线概念、性质课堂