数模论文：最佳阵容

1数学模型论文：最佳阵容问题组员：08数本一班朱春秋（2008031104）杨苗（2008031111）林英勇（2008031119）2最佳阵容问题摘要在当今这个更注重团体比赛的时代，对团队出场阵容的安排是团队获胜的一个非常重要因素。根据参赛项目选拔人数和参赛选手成绩等诸多限制因素建立约束条件；根据题目问题可建立目标函数，在此基础上得到模型。所以从本质上说，最佳阵容问题属于0-1规划问题。最后运用Lingo数学软件对模型求解得到最优结果。问题一：运用Excel软件，处理得出每个队员各单项得分最低情况（表1.1）和期望值情况（表1.3）。在这些情况下，用Lingo数学软件对模型求解，找出相应的最佳阵容，求得每个选手的各单项得分按最悲观估算，最佳出场阵容团队得分为212.3；每个选手的各单项得分按最均值估算，最佳出场阵容团队得分为224.7。问题二：在模型中加入一个变量后，计算结果复杂.根据问题一的结果，知道可以从每个选手各个单项得分最大分值着手，算得该前提下团队总分最大分值为236.5，所以选取236.2、236.3、236.4、236.5四个分值讨论.在模型的基础上加入总分分别等于这四个分值的约束条件，运用Lingo数学软件求出最佳阵容，分析知阵容八（表2.10）的分值最高且得分概率最大并得出了该团队夺冠前景，得分前景等相关问题的解。关键词：最佳阵容、0-1规划、Lingo数学软件、最优解3一问题重述有一场由四个项目（高低杠、平衡木、跳马、自由体操）组成的女子体操团体赛，赛程规定：每个队至多允许10名运动员参赛，每一个项目可以有6名选手参加。每个选手参赛的成绩评分从高到低依次为：10；9.9；9.8；…；0.1；0。每个代表队的总分是参赛选手所得总分之和，总分最多的代表队为优胜者。此外，还规定每个运动员只能参加全能比赛（四项全参加）与单项比赛这两类中的一类，参加单项比赛的每个运动员至多只能参加三项单项。每个队应有4人参加全能比赛，其余运动员参加单项比赛。现某代表队的教练已经对其所带领的10名运动员参加各个项目的成绩进行了大量测试，教练发现每个运动员在每个单项上的成绩稳定在4个得分上（见下表），她们得到这些成绩的相应概率也由统计得出（见表中第二个数据。例如：8.4～0.15表示取得8.4分的概率为0.15）。试解答以下问题（运动员各项目得分及概率分布见附表）：附表（表1）：运动员各项目得分及概率分布表1（高低杠）2（平衡木）3（跳马）4（自由体操）18.40.158.40.109.10.108.70.109.00.508.80.209.30.108.90.209.20.259.00.609.50.609.10.609.40.10100.109.80.209.90.1029.30.108.40.158.40.108.90.109.50.109.00.508.80.209.10.109.60.609.20.259.00.609.30.609.80.209.40.10100.109.60.2038.40.108.10.108.40.159.50.108.80.209.10.509.00.509.70.109.00.609.30.309.20.259.80.60100.109.50.109.40.10100.2048.10.108.70.109.00.108.40.109.10.508.90.209.40.108.80.209.30.309.10.609.50.509.00.609.50.109.90.109.70.30100.1058.40.159.00.108.30.109.40.109.00.509.20.108.70.109.60.109.20.259.40.608.90.609.70.609.40.109.70.209.30.209.90.20469.40.108.70.108.50.108.40.159.60.108.90.208.70.109.00.509.70.609.10.608.90.509.20.259.90.209.90.109.10.309.40.1079.50.108.40.108.30.108.40.109.70.108.80.208.70.108.80.109.80.609.00.608.90.609.20.60100.20100.109.30.209.80.2088.40.108.80.058.70.108.20.108.80.209.20.058.90.209.30.509.00.609.80.509.10.609.50.30100.10100.409.90.109.80.1098.40.158.40.108.40.109.30.109.00.508.80.108.80.209.50.109.20.259.20.609.00.609.70.509.40.109.80.20100.109.90.30109.00.108.10.108.20.109.10.109.20.109.10.509.20.509.30.109.40.609.30.309.40.309.50.609.70.209.50.109.60.109.80.201、每个选手的各单项得分按最悲观估算，在此前提下，请为该队排出一个出场阵容，使该队团体总分尽可能高；每个选手的各单项得分按均值估算，在此前提下，请为该队排出一个出场阵容，使该队团体总分尽可能高。2、若对以往的资料及近期各种信息进行分析得到：本次夺冠的团体总分估计为不少于236.2分，该队为了夺冠应排出怎样的阵容？以该阵容出战，其夺冠前景如何？得分前景（即期望值）又如何？它有90％的把握战胜怎样水平的对手？二、问题分析本论文所讨论的是一个关于最佳阵容的问题。最佳阵容问题是一类带有复杂约束条件的优化与规划类问题。本案例的主要矛盾是队员已有成绩的限制和参赛时的要求与获得团队参赛最高分的矛盾。对本案例处理的难点是参赛时的要求，参赛队员的4个成绩稳定值与相应概率的限制等诸多因素，针对各目标问题分别建立模型。按照上述思路提出目标函数，要建立各个约束条件，要找到众多变量之间的5数量关系。因而，对约束条件和问题做出分析都是解决问题的关键。由于队员的安排不可能为小数，所以最佳阵容问题属于整数规划中的0-1规划问题。首先对问题所给条件进行分析。此比赛共有4个项目，每个参赛队至多有10名运动员参赛，也就是说参赛人数10N，同时每个项目可以有6名选手参加，由于每个代表队的总分是参赛选手所得总分之和，总分最多的代表队为优胜者，所以每个队的教练在每个项目中都会派出6名运动员参赛。此外，还规定每个运动员只能参加全能比赛与单项比赛这两类中的一类；每个队应有4人参加全能比赛，也就是说每个队有且仅有4人参加全能比赛，其余运动员参加单项比赛。由题中还可知道每项各选手的评分精确到小数点后一位。再对问题进行分析。第一问（1）每个选手的各单项得分按最悲观估算，这个最悲观就是在每个参赛选手各单项最差的成绩下进行计算.第一问（2）每个选手的各单项得分按均值估算即按每个参赛选手各单项得分的期望值作为所要求的数据进行计算。第二问（1）本次夺冠的团体总分估计不少于236.2分，为了夺冠应为该队排出怎样的阵容，这里我们可理解为在该队团体总分不少于236.2的情况下，为该队排出一个阵容，使该队的夺冠概率最大。第二问（2）中的夺冠前景即指夺冠的概率。第二问（3）得分前景即该阵容各选手得分的期望值的总分。第二问（3）就是在求该阵容有90%的把握战胜多少总分数的对手。三、模型基本假设1.假设每位参赛选手在比赛时技能水平发挥正常，不会出现感冒，胃病，比赛中途扭伤，怯场，临时退出等现象；2.假设运动员在比赛中能正常发挥水平，不受天气、时间等因素影响；3.假设每个项目有6名选手参加，有4名选手参加全能比赛；4.项目分为全能比赛（四项全参加）和单项比赛（至多只能参加三项单项）两类且每个运动员只能参加其中一类；6四、符号说明符号说明i选手号（i=1、2、3、4、5、6、7、8、9、10）j项目名（j=1，2，3，4；分别记为高低杠，平衡木，跳马，自由体操）ijai选手是否参加j项比赛Q团体总分ijbi选手参加j项比赛所获得的分数五、模型的建立和求解5.1问题一的模型建立和求解给出了不同的得分计算标准要我们求出团体总分最高时的阵容，因此我们给出了一个0—1阵容模型A如下：A=1112131421222324101102103104aaaaaaaa...........................aaaa其中1......0......ijijaij号参加了项目号没有参加项目由模型假设3、4可以给出阵容矩阵A要满足的两个约束条件：1)对于行：由假设可知，A必须存在这样的4行，在这4行中的ija都为1，而除这4行外的其余6行中每行都至少存在一个ija为0；2)对于列：由假设可知每一列必须存在6个ija为1。7因为团体总分是参与了的队员各项得分的总和，因此我们给出了得分矩阵B如下：B=1112131421222324101102103104bbbbbbbb...........................bbbb其中ijb表示i号队员参加j项目所得的分。因为参加全能比赛的选手占用了名额，因此我们还要建立一个参加全能的选手矩阵C：C=12345678910cccccccccc其中1......0......iici号参加了全能比赛号没有参加全能比赛，且C的约束条件为：101iic=4因此团体总分Q就是参加全能比赛的选手的得分和参加单项比赛选手的得分，即1041041111(1)ijiijiijijijQbcbca，（前一项求和是参加全能比赛选手的得分，后一项求和是参加单项选手的得分）5.1.1问题一(1)的模型建立和求解对问题一（1）要求每个队员的各单项得分按最悲观估算的前提下，根据前面的分析我们将最悲观理解为参赛选手在各单项得分最差的情况。首先把表1经Excel软件处理得出每个队员各单项得分最低情况下的表1.1。8最悲观估算（得分最低的情况下）数据表(表1.1)项目队员1（高低杠）2（平衡木）3（跳马）4（自由体操）18.48.49.18.729.38.48.48.938.48.18.49.548.18.79.08.458.49.08.39.469.48.78.58.479.58.48.38.488.48.88.78.298.48.48.49.3109.08.18.29.1则可得得分矩阵B：B=8.48.49.18.79.38.48.48.98.48.18.49.58.18.79.08.48.49.08.39.49.48.78.58.49.58.48.38.48.48.88.78.28.48.48.49.39.08.18.29.1综上，这个问题的目标为可以写作：Max1041041111(1)ijiijiijijijQbcbca约束条件：101ijia=6，ic=41ijja，101iic=4，941(1)iijjca3，0ija或1（j=1,2,3,4;i=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10）将此模型输入LINGO编程（程序见附表程序1）得出在每个选手的各单项得分最悲观情况下的团体总分Q最高为212.3分，此时的最佳阵容A为A=0010111100010100111111111000010011111001即表示队员2，5，6，9参加全能比赛，此外还有队员1参加了项目3（跳马）的比赛，队员3参加了项目4（自由体操）的比赛，队员4参加了项目2（平衡木）和项目3（跳马）的比赛，队员7参加了项目1（高低杠）的比赛，队