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第一章集合与逻辑代数初步§1.1集合与集合思想第一章集合与逻辑代数初步§1.1集合本讲主要介绍有关的概念、结论以及处理集合、子集与划分问题的方法。集合的划分反映了集合与子集之间的关系，这既是一类数学问题，也是数学中的解题策略——分类思想的基础，在近几年来的数学竞赛中经常出现，日益受到重视.集合的概念集合是一个不定义的概念，集合中的元素有三个特征：确定性:设A是一个给定的集合，a是某一具体对象，则a或者是A的元素，或者不是A的元素，两者必居其一，即a∈A与aA仅有一种情况成立。互异性一个给定的集合中的元素是指互不相同的对象,即同一个集合中不应出现同一个元素.无序性集合的表示方法主要有列举法、描述法、区间法、语言叙述法。常用数集如N,Z,Q,R应熟记。要掌握用韦恩图(文氏图)表示集合及其运算和关系的方法.实数的子集与数轴上的点集之间的互相转换，有序实数对的集合与平面上的点集可以互相转换。对于方程、不等式的解集，要注意它们的几何意义。子集、真子集及相等集集合子集的个数:一个n阶集合有2n个不同的子集,其中真子集个数为2n-1,非空真子集个数为2n-2.集合的交、并、补运算集合的运算律:(1)交换律:(2)结合律:ABA∩B集合的划分解题指导一.元素与集合的关系例1:设A={aIa=x2-y2,x,y∈Z},求证:(1)2k-1∈Z;(2)4k-2ZZ(k∈Z)讨论元素与集合的关系,即考虑集合中的元素是否具有集合定义中的性质.解:解：（1）∵k,k-1∈Z,且2k-1＝k2-((k-1)2,故2k-1∈A；（2）假设4k-2∈A(k∈Z)，则存在x,y∈Z，使4k-2＝x2-y2或(x-y)(x＋y)=2(2k-1)(*)由于x-y与x+y具有相同的奇偶性，所以（*）式左边有且仅有两种可能：奇数或4的倍数，另一方面，（*）式右边只能是被4除余2的数，故（*）式不能成立。由此4k-2A，。例2:某公司经营4种针织品,欲将此4种产品承包给3家工厂生产.每家工厂可生产多种产品,则这家公司不同的发包方法为().A34种B43种C47种D74分析:设3家工厂承产的产品的集合分别记为A,B,C,由于每家工厂可生产多种产品,故将AUBUC划分为7个子集:每种针织品有7种不同承包方法,选D集合思想和集合的分划是非常重要的思想方法.D例3:设集合A=(-3,2),已知x,y∈N,xy,x3+19y=y3+19x,判断a=log1/2(x+y)与集合A的关系.分析：解决本题的关键在于由已知条件确定x+y的取值范围，从而利用对数函数的单调性确定a＝log1/2(x+y)的范围。解:由x3+19y=y3+19x,得:x3-y3=+19(x-y),即x2+xy+y2=19.因为x,y∈N,xy,所以3x2x2+xy+y2=19x2+x,由此得:x=3,y=2-3log1/2(x+y)=log1/2(3+2)log1/24-2即a∈A.例4:以某些整数为元素的集合P具有下列性质：①P中的元素有正数，有负数；②P中的元素有奇数,有偶数；③－1P；④若x,y∈P,则x+y∈P.试判断实数0和2与集合P的关系。解：由④若x,y∈P,则x＋y∈P,可知，若x∈P，则kx∈P(k∈N).(1)由①可设x，y∈P，且x＞0，y＜0，则－yx＝|y|x(|y|∈N)故xy,－yx∈P,由④,0＝(－yx)+xy∈P。（2）2P。若2∈P，则P中的负数全为偶数.不然的话，当－（2k+1）∈P（k∈N）时，－1＝（-2k－1）＋2k∈P，与③矛盾。于是，由②知中必有正奇数。设-2m，2n-1∈P(m,n∈N)我们取适当正整数q，使q|-2m|2n-1，则负奇数-2qm+(2n-1)∈P。前后矛盾。二．两个集合之间的关系在两个集合之间的关系中，我们感兴趣的是“子集”、“真子集”、“相等”这三种特殊关系。这些关系是通过元素与集合的关系来揭示的，因而判断两个集合之间的关系通常可从判断元素与这两个集合的关系入手。例5．S1,S2,S3为非空集合，对于1，2，3的任意一个排列I,j,k，若x∈Si，y∈Sj,则x-y∈k,证明：(1)三个集合中至少有两个相等。(2)三个集合中是否可能有两个集合无公共元素？证明(1)若x∈Si,y∈Sj则y-x∈Sk,(y-x)-y=-x∈Si.所以每个集合中均有非负的元素.当三个集合的元素都是零时,结论显然成立.否则,设S1,S2,S3中的最小元素为a,不妨设a∈S1,设b为S2,S3中的最小的非负元素,不妨设b∈S2,则b-a∈S3.若b0,则0≤b-ab,与b的取法矛盾.所以b=0任取x∈S1,因0∈S2,故x-0=x∈S3.所以S1S3,,同理,S3S1.所以S1=S3.三个集合中可能存在两个集合无公共元素.例如S1=S2={奇数},S3={偶数}.则S1.S2与S3都无公共元素.例6．已知集合：A={(x,y)Iax+y=1},B={(x,y)Ix+ay=1}C={(x,y)IX2+y2}问当a取何值时，(AUB)∩C为含有两个元素的集合？当a取何值时，(AUB)∩C为含有三个元素的集合？解:解:=与分别为方程组（Ⅰ）（Ⅱ）的解集。由（Ⅰ）解得（x,y）=（0，1），（，）；由（Ⅱ）解得（x,y）=（1，0），（，）使恰有两个元素的情况只有两种可能：例7:设n∈N且n≥15，A,B都是{1,2，…，n}的真子集，A∩B=Φ，且AUB=={1，2，…，n}。证明：A或者B中必有两个不同数的和为完全平方数。证明：由题设｛１，２．．．，n｝的任何元素心属于且只属于它的真子集Ａ，Ｂ之一．假设结论不真，则存在如题设的{1，2，…，n}的真子集A,B，使得无论是A还是B中的任两个不同的数的和都不是完全平方数。不妨设1∈A，则3A，否则1+3=22，与假设矛盾，所以3∈B。同样6B，所以6∈A，这时10A，即10∈B。因n≥15，而15或者在A中，或者在B中，但当15∈A时，因1∈A，1+15=42，矛盾；当15∈B时，因10∈B，于是有10+15=52，仍然矛盾。因此假设不真。即结论成立。思维训练若集合Ａ１，Ａ２满足Ａ１∪Ａ２＝Ａ，则称（Ａ１，Ａ２）为集合Ａ的一种分拆，并规定：当且仅当Ａ１＝Ａ２时，（Ａ１，Ａ２）与（Ａ２，Ａ１）为集合Ａ的一种分拆，则集合Ａ＝｛１，２，３｝的不同分拆种数为：（）Ａ．２７Ｂ．２６Ｃ．９Ｄ．８Ａ思考：当集合Ａ中的元素分别为２个，４个时，集合Ａ的分拆个数分别为多少个？你能否据此总结出当集合Ａ中的元素为n个时，集合Ａ的分拆个数的一般规律吗？并证明你的结论。高考链接(湖南2007)（B）