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菱形一、选择题(每小题4分,共12分)1.已知菱形的周长为40cm,两条对角线的长度之比为3∶4,那么对角线的长分别为()A.3cm,8cmB.3cm,4cmC.12cm,16cmD.24cm,32cm2.(2012·本溪中考)在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AB=5,AC=6,过点D作AC的平行线交BC的延长线于点E,则△BDE的面积为()A.22B.24C.48D.443.如图,在菱形ABCD中,∠A=110°,E,F分别是边AB和BC的中点,EP⊥CD于点P,则∠FPC=()A.35°B.45°C.50°D.55°二、填空题(每小题4分,共12分)4.(2013·淮安中考)若菱形的两条对角线长分别为2和3,则此菱形的面积是.5.如图,活动衣帽架由三个菱形组成,利用四边形的不稳定性,调整菱形的内角α,使衣帽架拉伸或收缩.当菱形的边长为18cm,α=120°时,A,B两点的距离为cm.6.(2013·黔西南州中考)如图所示,菱形ABCD的边长为4,且AE⊥BC于点E,AF⊥CD于点F,∠B=60°,则菱形的面积为.三、解答题(共26分)7.(8分)(2013·黄冈中考)如图,四边形ABCD是菱形,对角线AC,BD相交于点O,DH⊥AB于H,连接OH,求证:∠DHO=∠DCO.8.(8分)一种千斤顶利用了四边形的不稳定性.如图,其基本形状是一个菱形,中间通过螺杆连接,转动手柄可改变∠ADC的大小(菱形的边长不变),从而改变千斤顶的高度(即A,C之间的距离).若AB=40cm,当∠ADC从60°变为120°时,千斤顶升高了多少?(≈1.414,≈1.732,结果保留整数)【拓展延伸】9.(10分)已知:如图,菱形ABCD中,∠BAD=120°,动点P在直线BC上运动,作∠APM=60°,且直线PM与直线CD相交于点Q,Q点到直线BC的距离为QH.(1)若P在线段BC上运动,求证:CP=DQ.(2)若P在线段BC上运动,探求线段AC,CP,CH的一个数量关系,并证明你的结论.答案解析1.【解析】选C.设两条对角线长分别为3x,4x,则+=102,解得x=4.所以两条对角线长分别为12cm,16cm.2.【解析】选B.∵AD∥BE,AC∥DE,∴四边形ACED是平行四边形,∴AC=DE=6,在Rt△ABO中,BO===4,∴BD=2BO=8.又∵BE=BC+CE=BC+AD=10,∴△BDE是直角三角形,∴△BDE的面积=DE·BD=24.3.【解析】选D.延长PF交AB的延长线于点G.可以证明△BGF≌△CPF,∴F为PG中点.又由题可知,∠BEP=90°,∴EF=PG,∵PF=PG,∴EF=PF,∴∠FEP=∠EPF,∵∠BEP=∠EPC=90°,∴∠BEF=∠FPC,∵四边形ABCD为菱形,∴AB=BC,∵E,F分别为AB,BC的中点,∴BE=BF,∠BEF=∠BFE=(180°-70°)=55°,∴∠FPC=55°.4.【解析】由题意可知:S菱形=×2×3=3.答案:3【归纳整合】菱形的面积公式及拓展(1)菱形的面积=底×高.(2)如果菱形两条对角线的长分别为a和b,那么菱形的面积=ab.(3)如果一个四边形的对角线互相垂直,且两条对角线的长分别为a和b,那么这个四边形的面积=ab.5.【解析】∵α=120°,∴菱形的锐角为60°,∴AB=3×18=54(cm).答案:546.【解析】∵菱形ABCD的边长为4,∴AB=BC=4,∵AE⊥BC于点E,∠B=60°,∴BE=2,由勾股定理得,AE===2.∴菱形的面积=4×2=8.答案:8【归纳整合】含有60°或120°内角的菱形的性质(1)短的对角线与菱形相邻的两边构成的三角形是等边三角形.(2)菱形的两条对角线把菱形分成的四个全等的直角三角形中的较小锐角为30°,可利用这一特殊关系解决问题.(3)如果菱形的边长为a,那么菱形的面积为a2.7.【证明】∵四边形ABCD是菱形,∴OD=OB,∠COD=90°,∵DH⊥AB,∴OH=OB,∴∠OHB=∠OBH,又∵AB∥CD,∴∠OBH=∠ODC,在Rt△COD中,∠ODC+∠DCO=90°,在Rt△DHB中,∠DHO+∠OHB=90°,∴∠DHO=∠DCO.8.【解析】连接AC,与BD相交于点O,∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,∠ADB=∠CDB,AC=2AO.当∠ADC=60°时,△ADC是等边三角形.∴AC=AD=AB=40(cm).当∠ADC=120°时,∠ADO=60°,∠OAD=30°,∴AO===20(cm).∴AC=40(cm).因此升高的高度为40-40=40(-1)≈29(cm).9.【解析】(1)连接AQ,作PE∥CD交AC于E,则△CPE是等边三角形,∠EPQ=∠CQP.又∠APE+∠EPQ=60°,∠CQP+∠CPQ=60°,∴∠APE=∠CPQ,又∵∠AEP=∠QCP=120°,PE=PC,∴△APE≌△QPC,∴AE=QC,AP=PQ,∴△APQ是等边三角形,∴∠2+∠3=60°,∵∠1+∠2=60°,∴∠1=∠3,∴△AQD≌△APC,∴CP=DQ.(2)AC=CP+2CH.证明如下:∵AC=CD,CD=CQ+QD,∴AC=CQ+QD,∵CP=DQ,∴AC=CQ+PC,又∵∠CHQ=90°,∠QCH=60°,∴∠CQH=30°,∴CQ=2CH,∴AC=CP+2CH.