搜索
第三章概率知能整合提升一、随机事件的概率1.有关事件的概念(1)必然事件：我们把在条件S下，一定会发生的事件，叫做相对于条件S的必然事件，简称必然事件.(2)不可能事件：在条件S下，一定不会发生的事件，叫做相对于条件S的不可能事件，简称不可能事件.(3)确定事件：必然事件与不可能事件统称为相对于条件S的确定事件，简称确定事件.(4)随机事件：在条件S下可能发生也可能不发生的事件，叫做相对于条件S的随机事件，简称随机事件.(5)事件的表示方法：确定事件和随机事件一般用大写字母A，B，C，…表示.2.对于概率的定义应注意以下几点(1)求一个事件的概率的基本方法是通过大量的重复试验.(2)只有当频率在某个常数附近摆动时，这个常数才叫做事件A的概率.(3)概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值.(4)概率反映了随机事件发生的可能性的大小.(5)必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，故0≤P(A)≤1.二、互斥事件与对立事件1.互斥事件不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件或称互不相容事件.从集合的角度看，是指这两个事件所含的结果组成的集合不相交，即A∩B＝∅，如右图所示.易知，必然事件与不可能事件是互斥的；任何两个基本事件都是互斥的，如果A1，A2，…，An中的任何两个都是互斥事件，那么我们就说事件A1，A2，…，An彼此互斥.从集合的角度看，n个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合两两相交为空集.2.对立事件不能同时发生且必有一个发生的两个事件叫做互为对立事件.从集合的角度看，由事件B所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集，如图所示.即A∩B＝∅且A∪B＝I.3.互斥事件概率的求法(1)若A1，A2，…，An互斥，则P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An).(2)利用这一公式求概率的步骤是：①要确定这些事件彼此互斥；②这些事件中有一个发生；③先求出这些事件分别发生的概率，再求和.值得注意的是：①、②两点是公式的使用条件，不符合这两点，是不能运用互斥事件的概率加法公式的.4.对立事件概率的求法P(Ω)＝P(A∪A)＝P(A)＋P(A)＝1，由公式可得P(A)＝1－P(A)，这个公式很有用，当直接求某一事件的概率较为复杂时，可先转化为求其对立事件的概率，从而大大地简化求某些事件概率的计算.三、古典概型1.古典概型的概率公式P(A)＝事件A包含的基本事件数试验的基本事件总数2.古典概型的特点：等可能性和有限性.3.从集合角度认识古典概型在一次试验中，等可能出现的n个结果组成一个集合Ω，这n个结果就是集合Ω的n个元素.各基本事件均对应于集合Ω的含有1个元素的子集，包含m个结果的事件A对应于Ω的含有m个元素的子集A.因此从集合角度看，事件A的概率是子集A的元素个数与集合Ω的元素个数的比值，即P(A)＝mn.四、几何概型1.几何概型的计算公式P(A)＝构成事件A的区域长度（面积或体积）试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）2.与面积有关的几何概型(1)确定几何度量；(2)计算试验对应的几何度量u(Ω)和所求事件对应几何度量u(A)；(3)代入公式可求解.3.与体积有关的几何概型，求解的关键有二：一是确定几何度量为体积，二是准确计算几何体的体积.热点考点例析互斥事件与对立事件的概念及应用1.互斥事件与对立事件的联系与区别：不可能同时发生的事件称为互斥事件，对立事件则要同时满足两个条件：一是不可能同时发生，二是必有一个发生，两个事件是对立事件的前提是互斥事件.在一次试验中，两个互斥事件有可能都不发生，也可能只有一个发生，而两个对立事件则必有一个发生且不可能同时发生.2.互斥事件与对立事件的概率计算：(1)若事件A1，A2，…，An彼此互斥，则P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An).设事件A的对立事件是A，则P(A)＝1－P(A)，(2)应用互斥事件的概率加法公式解题时，一定要注意首先确定各个事件是否彼此互斥，然后求出各事件分别发生的概率，再求和.对于较复杂事件的概率，可以转化为求其对立事件的概率.求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的和；二是先求其对立事件的概率，然后再应用公式P(A)＝1－P(A)求解.有3个两两互斥的事件A，B，C，已知事件A∪B∪C是必然条件，事件A的概率是事件B的概率的2倍，事件C的概率比事件B的概率大0.2.求事件A，B，C的概率.解析：设P(B)＝x，则P(A)＝2P(B)＝2x，P(C)＝P(B)＋0.2＝x＋0.2.故1＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝2x＋x＋(x＋0.2)＝4x＋0.2，所以x＝0.2，即P(A)＝0.4，P(B)＝0.2，P(C)＝0.4.1.(1)如果事件A，B互斥，那么()A.A＋B是必然事件B.A＋B是必然事件C.A与B一定不互斥D.A与B一定互斥(2)在3路、6路公共汽车的一个停靠站(假定这个车站只能停靠一辆公共汽车)，有一位乘客需在5分钟之内乘上公共汽车赶到厂里，他可乘3路或6路.已知3路车、6路车在5分钟之内到此车站的概率分别为0.20和0.60，则该乘客在5分钟内能乘上所需车的概率为()A.0.20B.0.60C.0.80D.0.12解析：(1)如图所示，用集合的观点发现A∪B不一定为全集，故选项A错误.同理可以检验出选项B正确，选项C，D错误.(2)因为车站只停靠一辆公共汽车，所以3路车停靠与6路车停靠为互斥事件，由互斥事件加法公式有0.20＋0.60＝0.80.答案：(1)B(2)C古典概型古典概型综述：(1)古典概型的基本特征：①有限性；②等可能性.(2)古典概型的计算公式：P(A)＝mn，其中n为试验的基本事件总数，m为事件A包含的基本事件数.(3)古典概型问题的解题方法：①采取适当的方法，按照一定的顺序，把试验的所有结果一一列举出来，正确理解基本事件与事件A的关系.②应用公式P(A)＝mn计算概率.③若所求概率的事件比较复杂，可把它分解成若干个互斥的事件，利用互斥事件的概率加法公式求解；或利用求其对立事件，利用对立事件的概率求解.从装有编号分别为a，b的2个黄球和编号分别为c，d的2个红球的袋中无放回地摸球，每次任摸一球，求：(1)第1次摸到黄球的概率；(2)第2次摸到黄球的概率.解析：从2个袋每次任摸一球，有如下基本事件(a，c)，(a，d)，(b，c)，(b，d)，(c，a)，(c，b)，(d，a)，(d，b).(1)第1次摸到黄球的基本事件有(a，c)，(a，d)，(b，c)，(b，d)，P(A)＝48＝12.(2)第2次摸到黄球的基本事件为(c，a)，(c，b)，(d，a)，(d，b)，P(B)＝48＝12.2.一个盒子里装有完全相同的10个小球，分别标上1，2，3，…，10这10个数字，现随机地取两个小球.(1)不放回地取出小球，求两个小球上的数字为相邻整数的概率；(2)有放回地取出小球，求两个小球上的数字为相邻整数的概率.解析：随机取出两个小球，记事件A为“两个小球上的数字为相邻整数”，可能结果为(1，2)，(2，1)，(2，3)，(3，2)，(3，4)，(4，3)，…，(9，10)，(10，9)，共18种.(1)如果小球是不放回地取出，按取出顺序记录结果(x，y)，则x有10种可能，y有9种可能，共有10×9＝90种可能结果，因此P(A)＝1890＝15.(2)如果小球是有放回地取出，按取出顺序记录结果(x，y)，则x有10种可能，y有10种可能，共有10×10＝100种可能结果，因此P(A)＝18100＝950.几何概型几何概型综述：(1)几何概型的基本特征：①基本事件的无限性；②每个事件发生的等可能性.(2)几何概型的计算公式：P(A)＝构成事件A的区域长度（面积或体积）试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）.(3)几何概型问题的解题方法：解几何概型问题时，常常需要寻找不等关系.要找不等关系，先找等量关系，再借助图形分析寻找不等关系，然后利用公式计算.[特别提醒]求解几何概型问题，要特别注意基本事件的形成过程，要准确判断所求的概率是哪个量(长度、面积、体积或角度)的比值.正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，在正方体内随机取一点M.(1)求点M落在三棱锥B1－A1BC1内的概率；(2)求使四棱锥M－ABCD的体积小于16a3的概率.解析：(1)棱长为a的正方体的体积V＝a3.由正方体的性质可知VB1－A1BC1＝16a3.∴点M落在三棱锥B1－A1BC1内的概率为P＝VB1－A1BC1V＝16.(2)设点M到平面ABCD的距离为h，由题意，得13a2h16a3，∴ha2.∴使四棱锥M－ABCD的体积小于16a3的概率为12.3.欧阳修《卖油翁》中写到：(翁)乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿.可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止.若铜钱是直径为1.5cm的圆，中间有边长为0.5cm的正方形孔，若你随机向铜钱上滴一滴油，则油(油滴的大小忽略不计)正好落入孔中的概率为()A.49πB.94πC.4π9D.9π4解析：由题意所求的概率为P＝0.5×0.5π×1.522＝49π.答案：A1.把黑、红、白3张纸牌分给甲、乙、丙三人，则事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是()A.对立事件B.互斥但不对立事件C.不可能事件D.必然事件解析：根据题意，把黑、红、白3张纸牌分给甲、乙、丙三人，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”不会同时发生，故两者是互斥事件，但除了“甲分得红牌”与“乙分得红牌”之外，还有“丙分得红牌”，故两者不是对立事件，所以事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是互斥但不对立事件.答案：B2.如图，在一个不规则多边形内随机撒入200粒麦粒(麦粒落到任何位置可能性相等)，恰有40粒落入半径为1的圆内，则该多边形的面积约为()A.4πB.5πC.6πD.7π解析：P＝π·12S＝40200，∴S＝5π.答案：B3.在区间[－3，3]上任取一个实数，所得实数是不等式x2＋x－2≤0的解的概率为()A.16B.13C.12D.23解析：由x2＋x－2≤0，得－2≤x≤1，所求概率为1－（－2）3－（－3）＝12.答案：C4.在正方体ABCD－A1B1C1D1中随机取点，则点落在四棱锥O－ABCD内(O为正方体的对角线的交点)的概率是()A.13B.16C.12D.14解析：设正方体的体积为V，则四棱锥O－ABCD的体积为V6，所求概率为V6V＝16.答案：B5.给出以下四个说法：①将一枚硬币抛掷两次，设事件A：“两次都出现正面”，事件B：“两次都出现反面”，则事件A与B是对立事件；②在命题①中，事件A与B是互斥事件；③在10件产品中有3件是次品，从中任取3件.事件A：“所取3件中最多有2件是次品”，事件B：“所取3件中至少有2件是次品”，则事件A与B是互斥事件；④两个事件对立必然互斥，反之不成立.则正确说法的序号为.解析：①③不正确，②④正确.答案：②④6.点A为周长等于3的圆周上的一个定点.若在该圆周上随机取一点B，则劣弧AB︵的长度小于1的概率为.解析：设事件M为“劣弧AB︵的长度小于1”，则满足事件M的点B在定点A的两侧与定点A构成的弧长小于1的弧上，由几何概型的概率公式得：P(M)＝23.答案：237.已知集合A＝{－9，－7，－5，－3，－1，0，2，4，6，8}，在平面直角坐标系中，点(x，y)的坐标x∈A，y∈A，且x≠y，计算：(1)点(x，y)不在x轴上的概率；(2)点(x，y)正好在第二象限的概率.解析：点(x，y)中，x∈A，y∈A，且x≠y，基本事件有：(－9，－7)，(－9，－5)，(－9，－3)，(－9，－1)，(－9，0)，(－9，2)，(－9，4)，(－9，6)，(－9，8)，(－7，－9)，(－7，－5)，(－7，－3)，(－7，－1)，(－7，0)，(－7，2)，(－7，4)，(－7，6)，(－7，8