高一数学人教A版必修二课件第一章空间几何体1章末高效整合

第一章空间几何体知能整合提升1．把握空间几何体的结构特征，明晰多面体与旋转体的区别(1)棱柱棱锥棱台结构特征①有两个面互相平行；②其余各面都是平行四边形；③侧棱互相平行①有一个面是多边形；②其余各面都是有一个公共顶点的三角形①上、下底面互相平行，且是相似图形；②各侧棱延长线交于一点(2)圆柱圆锥圆台球定义以矩形的一边所在直线为轴，其余三边旋转而得以直角三角形的一条直角边所在直线为轴，其余两边旋转而得用一个平行于圆锥底面的平面截圆锥而得以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周而得结构特征①有两个互相平行的面，且这两个面是等圆；②有无数条母线，等长且与轴平行①底面是圆面；②有无数条母线，等长且交于顶点①上、下底面互相平行，且是不相等的圆；②有无数条母线，等长且延长线交于一点①球的表面是旋转而成的曲面；②球即球面及其内部空间(3)多面体是由若干个平面多边形围成的几何体，棱柱、棱锥、棱台都是多面体；旋转体是由一个平面图形绕轴(定直线)旋转所形成的封闭几何体，圆柱、圆锥、圆台、球都是旋转体．(4)简单组合体是由简单几何体(柱体、锥体、台体、球)组合而成，有两种基本形式：一是由简单几何体拼接而成，二是由简单几何体截去或挖去一部分而成．2．体会三视图和直观图应用，掌握各自要点三视图和直观图都是空间几何体的不同表示形式，两者之间可以互相转化．(1)三视图是观察者从三个不同位置观察同一个空间几何体而画出的图形：正视图——几何体前后方向的投影图；侧视图——几何体左右方向的投影图；俯视图——几何体上下方向的投影图．三视图的排列规则是：侧视图在正视图的右边，俯视图在正视图的下边．画三视图的两点注意：一是“长对正、高平齐、宽相等”；二是分界线和可见轮廓线用实线画出，不可见轮廓线用虚线画出．(2)直观图是观察者从一个位置观察得到的图形，画直观图的方法是斜二测画法，可简记为：横不变、纵折半，平移位置不变．(3)三视图与直观图都是在平行投影下得到的，二者的互化是高考的重点，一般由三视图确定几何体的形状和几何度量，然后画出它的直观图．3．牢记表面积、体积公式，体会展开思想(1)多面体的展开图是由多个平面图形组成的，计算其表面积需分别计算各个面的面积，然后相加即可．特别地，直棱柱的侧面展开图是矩形，侧面积为S＝ch(c为底面周长，h为侧棱长)；正棱锥的侧面展开图是几个全等的等腰三角形，侧面积为S＝12ch′(c为底面周长，h′为斜高)；正棱台的侧面展开图是几个全等的等腰梯形，侧面积为S＝12(c＋c′)h′(c，c′分别为上、下底面周长，h′为斜高)．(2)圆柱的侧面展开图是矩形，侧面积为S＝2πrl(r为底面半径，l为母线长)；圆锥的侧面展开图是扇形，侧面积为S＝πrl(r为底面半径，l为母线长)；圆台的侧面展开图是扇环，侧面积为S＝π(r′＋r)l(r′，r分别为上、下底面半径，l为母线长)．(3)柱体、锥体、台体体积公式间的关系如下(柱体、锥体中S为底面面积，h为高，台体中S′，S分别为上、下底面面积，h为高)：(4)若球的半径为R，则表面积为S＝4πR2，体积为V＝43πR3.(5)求解棱锥、棱台的表面积或体积时，注意棱锥中两个直角三角形，棱台中两个直角梯形的应用．热点考点例析空间几何体的结构特征空间几何体的结构特征再解读(1)类比记忆棱柱、棱锥、棱台等多面体的概念、性质．(2)圆柱、圆锥和圆台都是旋转体，其轴截面其实为旋转的平面图形及其关于旋转轴对称的图形的组合，它反映了这三类几何体基本量之间的关系，因此轴截面是解决这三类几何体问题的关键．(3)球是比较特殊的旋转体，球的对称性是解题的突破口．(4)对于简单组合体的性质的研究多采用分割法，将其分解为几个规则的几何体再进行研究．根据下列对几何体结构特征的描述，说出几何体的名称．(1)由六个面围成，其中一个面是正五边形，其余各面是有公共顶点的三角形；(2)一个等腰梯形绕着两底边中点的连线所在的直线旋转180°形成的封闭曲面所围成的图形；(3)一个直角梯形绕较长的底边所在的直线旋转一周形成的曲面所围成的几何体．[规范解答](1)如图①，因为该几何体的五个面是有公共顶点的三角形，所以是棱锥，又其底面是正五边形，所以是正五棱锥．(2)如图②，等腰梯形两底边中点的连线将梯形平分为两个直角梯形，每个直角梯形旋转180°形成半个圆台，故该几何体为圆台．(3)如图③，过直角梯形ABCD的顶点A作AO⊥CD于点O，将直角梯形分为一个直角三角形AOD和一个矩形AOCB，绕CD旋转一周形成一个组合体，该组合体由一个圆锥和一个圆柱组成．1．以长方体的各顶点为顶点，能构成四棱锥的个数是()A．4B．8C．12D．48解析：设长方体ABCD－A1B1C1D1，若点A为四棱锥的顶点，则底面可以为不过点A的矩形A1B1C1D1，矩形BCC1B1，矩形CDD1C1，矩形BB1D1D，矩形BCD1A1，矩形CDA1B1，共有6个不同的四棱锥，8个顶点可以分别作为四棱锥的顶点，共6×8＝48个不同的四棱锥．答案：D2．下列判断中正确的个数是()①半圆弧以其直径为轴旋转所成的曲面叫球；②空间中到定点的距离等于定长的所有点的集合叫球面；③球面和球是同一个概念；④经过球面上不同的两点只能作一个最大的圆．A．1B．2C．3D．4解析：半圆弧以其直径为轴旋转所成的曲面叫球面，球面围成的几何体叫球，①错误；②正确；球面和球是两个不同的概念，③错误；经过球面上不同的两点只能作一个最大的圆，若两点恰好为最大的圆的直径，则过此两点的大圆有无数个，故④错误．答案：A空间几何体的三视图空间几何体三视图再透析三视图是观察者从三个不同位置观察同一个空间几何体而画出的图形：正视图：物体前后方向投影所得到的投影图，它能反映物体的高度和长度；侧视图：物体左右方向投影所得到的投影图，它能反映物体的高度和宽度；俯视图：物体上下方向投影所得到的投影图，它能反映物体的长度和宽度．注意三种视图的摆放顺序，在三视图中，分界线和可见轮廓线都用实线画出，不可见轮廓线用虚线画出．熟记常见几何体的三视图．画组合体的三视图时可先拆，后画，再检验．(2015·安徽淮南一中月考)如图，某三棱锥的三视图都是直角边为2的等腰直角三角形，则该三棱锥的四个面的面积中最大的是()A.3B．23C．1D．2[规范解答]由三视图可知该几何体是三条棱两两垂直的三棱锥，其最大面为边长为2的正三角形．最大面的面积为34×22＝3.故选A.答案：A3．如图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为12，则该几何体的俯视图可以是()解析：方法一：由题意可知当俯视图是A时，即每个视图都是边长为1的正方形，那么此几何体是正方体，显然体积为1，注意到题目要求体积是12，知其是正方体的一半，可知选C.方法二：当俯视图是A时，该几何体是正方体，体积是1；当俯视图是B时，该几何体是圆柱，底面积S＝π×122＝π4，高为1，则体积是π4；当俯视图是C时，该几何体是直三棱柱，故体积V＝12×1×1×1＝12；当俯视图是D时，该几何体由圆柱切割而成，其体积V＝14π×12×1＝π4.故选C.答案：C斜二测画法及空间几何体的直观图1．斜二测画法的步骤及标准：(1)建坐标系，定水平面；(2)与坐标轴平行的线段保持平行；(3)水平线段等长，竖直线段减半．2．斜二测画法的考查角度：对斜二测画法的考查，一般是通过计算平面图形的面积去考查斜二测画法的规则．[特别提醒]若平面图形的面积为S，则该平面图形的斜二测直观图的面积S′＝24S.如图所示，是一个空间几何体的三视图，试用斜二测画法画出它的直观图(尺寸自定)．[规范解答]由这个空间几何体的三视图可以看出，该几何体是一个六棱台，直观图如图③所示．画法：(1)作出两个同心的六边形，并在一个水平放置的平面内画出它们的直观图；(2)建立z′轴，把里面的六边形向上平移高的大小；(3)连接两六边形相应顶点，并擦去辅助线，遮住线段用虚线表示，即得要画的六棱台．4．已知一个正方形的直观图是一个平行四边形，其中有一边长为4，则此正方形的面积是()A．16B．64C．16或64D．都不对解析：当S′＝2×4×sin45°＝42时，∵S′＝24S，∴42＝24S，解得S＝16.当S′＝8×4×sin45°＝162时，∵S′＝24S，∴162＝24S，解得S＝64.答案：C空间几何体的计算问题空间几何体体积与表面积的计算方法(1)等积变换法：三棱锥也称为四面体，它的每一个面都可作底面来处理，恰当地进行换底等积变换便于问题的求解．(2)割补法：像求平面图形的面积一样，割补法是求几何体的体积的一个重要方法，“割”就是将几何体分割成几个熟悉的柱、锥、台体或它们的组合体；“补”就是通过补形，使它转化为熟悉的几何体．总之，割补法的核心思想是将不熟悉的几何体转化为熟悉的几何体来解决．(3)展开法：把简单几何体沿一条侧棱或母线展开成平面图形，这样便把空间问题转化为平面问题，可以有效地解决简单空间几何体的表面积问题或侧面上(球除外)两点间的距离问题．(4)构造法：对于某些几何体性质的探究较困难时，我们可以将它放置在我们熟悉的几何体中，如正方体等这些对称性比较好的几何体，以此来研究所求几何体的性质．(2015·合肥市168中高二(上)期中)正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为6，底面边长为4，则该球的表面积为()A.443πB.4849πC.814πD．16π[规范解答]如图，正四棱锥P－ABCD中，PE为四棱锥的高，根据球的相关知识可知，四棱锥的外接球的球心O必在正四棱锥的高线PE所在的直线上，因为底面边长为4，所以AE＝22，设球半径为R，在Rt△AEO中，AE2＋OE2＝AO2，即(22)2＋(6－R)2＝R2，解得R＝113，则S＝4πR2＝4π1132＝4849π，故选B.答案：B5．正四棱锥S－ABCD的底面边长和各侧棱长都为2，点S，A，B，C，D都在同一个球面上，则该球的体积为________．解析：如图所示，正四棱锥外接球球心应在体高SO上，设球心为O1，连接OB，O1B，设外接球半径为R，由O1S＝O1B＝R，SO＝1，OB＝1，OO1＝1－R.在Rt△OO1B中，(1－R)2＋12＝R2，解得R＝1，即外接球球心应为底面ABCD的中心O，所以V球＝4π3.答案：4π3一、选择题1．下列命题正确的个数为()①圆柱的轴是过圆柱上、下底面圆的圆心的直线；②圆柱的母线是连圆柱上底面上一点和下底面上一点的直线；③矩形的任意一条边所在的直线都可以作为轴，其他边绕其旋转围成圆柱；④矩形绕任意一条直线旋转，都可以围成圆柱．A．1B．2C．3D．4解析：序号正误理由①√圆柱的轴是旋转轴，过上、下底面圆的圆心②×母线是与轴平行的线段③√绕矩形的任意一条边所在直线旋转，都可得到圆柱④×应是绕矩形的任意一条边所在直线旋转，否则不一定围成圆柱，如绕矩形的对角线所在直线旋转，围成的几何体就不是圆柱答案：B2．已知正△ABC的边长为a，那么正△ABC的直观图△A′B′C′的面积是()A.34a2B.38a2C.68a2D.616a2解析：如图(1)为实际图形，建立如图所示的平面直角坐标系xOy.如图(2)，建立坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°，由直观图画法知：A′B′＝AB＝a，O′C′＝12OC＝34a.过C′作C′D′⊥O′x′于D′，则C′D′＝22O′C′＝68a.所以△A′B′C′的面积是S＝12·A′B′·C′D′＝12·a·68a＝616a2.答案：D3.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是()解析：先观察俯视图，再结合主视图和侧视图还原为空间几何体．由俯视图是圆环可排除A，B，C，进一步将已知三视图还原为几何体，可得选项D.答案：D4．如图所示，O是正方体ABCD－A1B1C1D1对角线A1C与AC1的交点，E为棱BB1的中点，则空间四边形OEC1D1在正方体各面上的正投影不可能是()解析：空间四边形OEC1D1在面ABB1A1和面CDD1C1上的正投