高一数学人教A版必修二课件第三章直线与方程3章末高效整合

第三章直线与方程知能整合提升1．牢记直线的斜率公式，明晰倾斜角与斜率关系(1)倾斜角的定义直线的倾斜角即x轴正向与直线向上方向之间所成的角．倾斜角的范围为0°≤α＜180°，其中与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0°.(2)斜率公式经过两点A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率kAB＝y2－y1x2－x1.当x1＝x2时，直线的斜率不存在；当y1＝y2时，直线的斜率为0.(3)倾斜角与斜率的关系当直线的倾斜角α不是90°时，直线的斜率k＝tanα.当α＝0°时，k＝0；当α∈(0°，90°)时，k＞0，且k随α的增大而增大；当α∈(90°，180°)时，k＜0，且k随α的增大而增大．2．把握直线的五种方程，辨析适用条件名称方程常数的几何意义适用条件点斜式y－y0＝k(x－x0)(x0，y0)是直线上的一个定点，k是斜率直线不垂直于x轴斜截式y＝kx＋bk是斜率，b是直线在y轴上的截距直线不垂直于x轴两点式y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1(x1，y1)，(x2，y2)是直线上的两个定点直线不垂直于x轴和y轴截距式xa＋yb＝1a，b分别是直线在x轴和y轴上的非零截距直线不垂直于x轴和y轴，且不过原点一般式Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)A，B，C为系数任何情况特殊直线x＝a(y轴：x＝0)垂直于x轴且过点(a,0)斜率不存在y＝b(x轴：y＝0)垂直于y轴且过点(0，b)斜率k＝03.理解直线的平行与垂直，应用斜率关系设方程(1)平行、垂直的等价条件直线方程l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0平行的等价条件l1∥l2⇔k1＝k2，且b1≠b2l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0，且B1C2－B2C1≠0垂直的等价条件l1⊥l2⇔k1k2＝－1l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0(2)依据平行、垂直关系设方程平行于直线Ax＋By＋C＝0的直线方程可设为Ax＋By＋m＝0(m是参数，且m≠C)；垂直于直线Ax＋By＋C＝0的直线方程可设为Bx－Ay＋m＝0(m是参数)．4．解方程组定直线交点，巧解直线过定点问题(1)直线A1x＋B1y＋C1＝0与A2x＋B2y＋C2＝0的交点坐标即为方程组A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0的解．方程组有一组解，则两直线相交；方程组无解，则两直线平行；方程组有无数组解，则两直线重合．(2)过直线A1x＋B1y＋C1＝0与A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线方程可设为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ为参数)．注意此方程中不包括直线A2x＋B2y＋C2＝0，在解题时要验证该直线是否符合题意．(3)直线过定点问题，一般将方程整理为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0的形式，将定点转化为直线A1x＋B1y＋C1＝0与A2x＋B2y＋C2＝0的交点来解决．5．牢记四个重要公式，妙用解析法解题(1)三个距离公式和中点坐标公式类型已知条件公式中点坐标A(x1，y1)，B(x2，y2)x0＝x1＋x22，y0＝y1＋y22两点间的距离A(x1，y1)，B(x2，y2)d＝x2－x12＋y2－y12点到直线的距离P(x0，y0)，l：Ax＋By＋C＝0d＝|Ax0＋By0＋C|A2＋B2两条平行直线间的距离l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0(A，B不同时为0)d＝|C2－C1|A2＋B2(2)解析法思想根据图形特点，建立适当的平面直角坐标系，用坐标表示相关量，利用坐标间的代数计算解决几何问题．一般地，建系应利用图形的对称性．热点考点例析倾斜角与斜率直线的倾斜角和斜率是直线方程中最基本的两个概念，它们从“形”与“数”两个方面刻画了直线的倾斜程度．倾斜角α与斜率k的对应关系和单调性是做题的易错点，应引起高度重视．直线l过点A(4,1)，B(3，a2)(a∈R)，求直线l的倾斜角的取值范围．[规范解答]直线l的斜率为k＝a2－13－4＝1－a2≤1，当0≤k≤1时，倾斜角0°≤α≤45°，当k＜0时，倾斜角90°＜α＜180°，综上，直线l的倾斜角的取值范围是[0°，45°]∪(90°，180°)．1．已知A(－3,4)，B(3,2)，P(1,0)，过点P的直线l与线段AB有公共点．(1)求直线l的斜率k的取值范围；(2)求直线l的倾斜角α的取值范围．解析：如图所示，由题意可知kPA＝4－0－3－1＝－1，kPB＝2－03－1＝1.(1)要使直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是{k|k≤－1，或k≥1}．(2)由题意可知，直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间，又PB的倾斜角是45°，PA的倾斜角是135°，所以α的取值范围是[45°，135°]．直线方程及其应用直线方程的几种形式及确定直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式都有各自的限制条件，不能表示所有的直线．直线方程的一般式则可以表示所有直线．在解题的时候，如果没有特别说明，最后的结果都要化成一般式．确定直线的方程有两种方法：(1)待定系数法，在设点的时候，要注意对斜率不存在的直线的讨论；(2)用轨迹的定义，从直线的几何性质出发，建立方程．已知在第一象限的△ABC中，A(1,1)，B(5,1)，∠A＝60°，∠B＝45°，求：(1)AB边的方程；(2)AC和BC所在直线的方程．[规范解答](1)如图所示，AB边的方程为y＝1(1≤x≤5)．(2)由AB∥x轴及△ABC在第一象限可知kAC＝tan60°＝3，kBC＝tan(180°－45°)＝－1.由点斜式可得AC，BC边所在直线的方程分别为y－1＝3(x－1)，y－1＝－(x－5)．即3x－y＋1－3＝0，x＋y－6＝0.2．直线l过点P(－2,2)，且斜率为直线x－3y－6＝0的斜率的一半，求直线l的方程．解析：由x－3y－6＝0得y＝13x－2.故直线x－3y－6＝0的斜率为13，所以直线l的斜率为16，故直线l的方程为y－2＝16(x＋2)．3．求倾斜角为直线y＝－3x＋1的倾斜角的一半，且分别满足下列条件的直线方程．(1)经过点(－4,1)；(2)在y轴上的截距为－10.解析：直线y＝－3x＋1的斜率为－3，可知此直线的倾斜角为120°，由题意知所求直线的倾斜角为60°，所以所求直线的斜率k＝3.(1)因为直线经过点(－4,1)，所以直线的点斜式方程为y－1＝3(x＋4)．(2)因为直线在y轴上的截距为－10，所以直线的斜截式方程为y＝3x－10.平行与垂直的性质及判定两直线平行或垂直的性质及判定利用直线的方程判定两条直线的平行或垂直关系是这部分知识常涉及的题型．求解时，可以利用斜率之间的关系判定；若方程都是一般式，知道平行或垂直关系，求参数的值时也可用如下方法：(直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0)(1)l1∥l2时，可令A1B2－A2B1＝0，解得参数的值后，再代入方程验证，排除重合的情况；(2)l1⊥l2时，可利用A1A2＋B1B2＝0直接求参数的值．[特别提醒]用斜率之间的关系求参数值时，一般要对参数进行讨论．已知两条直线l1：ax－by＋4＝0；l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求分别满足下列条件的a，b的值．(1)直线l1过点(－3，－1)，并且直线l1与直线l2垂直；(2)直线l1与直线l2平行，并且坐标原点到l1，l2的距离相等．[规范解答](1)∵l1⊥l2，∴a(a－1)＋(－b)·1＝0，即a2－a－b＝0.①又点(－3，－1)在l1上，∴－3a＋b＋4＝0.②由①②解得a＝2，b＝2.(2)∵l1∥l2且l2的斜率为1－a，∴l1的斜率也存在，ab＝1－a，即b＝a1－a.故l1和l2的方程可分别表示为l1：(a－1)x＋y＋4a－1a＝0，l2：(a－1)x＋y＋a1－a＝0.∵原点到l1与l2的距离相等，∴4a－1a＝a1－a，∴a＝2或a＝23.因此a＝2，b＝－2或a＝23，b＝2.4．已知直线l1：x＋my＋6＝0，l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，求m的值，使得：(1)l1与l2相交；(2)l1⊥l2；(3)l1∥l2.解析：(1)当m＝3时，l1与l2重合；当m＝－1时，l1∥l2；∴当m≠－1且m≠3时，l1与l2相交．(2)∵l1⊥l2，∴1×(m－2)＋m×3＝0，解得m＝12.(3)∵l1∥l2，∴1m－2＝m3≠62m，∴m＝－1.距离问题解读距离问题距离问题包含两点间的距离、点到直线的距离、两平行直线间的距离，牢记各类距离的公式并能直接应用．解决距离问题时，往往将代数运算与几何图形的直观分析相结合．这类问题是高考考查的热点，在高考中常以选择题、填空题出现，主要考查距离公式以及思维能力．[特别提醒]应用距离公式时，应注意距离公式的适用条件，如两条平行直线间的距离公式应用时应将两条直线方程的x，y的系数化成对应相同．已知正方形中心为点M(－1,0)，一条边所在的直线方程是x＋3y－5＝0，求其他三边所在直线的方程．[规范解答]正方形中心到直线x＋3y－5＝0的距离d＝|－1×1＋3×0－5|12＋32＝610.设与直线x＋3y－5＝0平行的直线方程为x＋3y＋C1＝0，由正方形的性质可得|－1＋C1|12＋32＝610，解得C1＝－5(舍)或C1＝7.所以与直线x＋3y－5＝0相对的边所在的直线方程为x＋3y＋7＝0.设与直线x＋3y－5＝0垂直的边所在的直线方程为3x－y＋C2＝0，由题意|－1×3－0×1＋C2|32＋12＝610.解得C2＝9或C2＝－3.所以另两边所在直线的方程为3x－y＋9＝0和3x－y－3＝0.5．求过直线4x－2y－1＝0与直线x－2y＋5＝0的交点，且与P1(0，4)，P2(2,0)两点距离相等的直线的方程．解析：方法一：由4x－2y－1＝0，x－2y＋5＝0，解得两直线交点为P2，72.设所求直线为l：y－72＝k(x－2)，即2kx－2y－4k＋7＝0.因为P1，P2到l的距离相等，所以|－2×4－4k＋7|2k2＋－22＝|2k×2－4k＋7|2k2＋－22，解得k＝32或k＝－2.故所求直线方程为3x－2y＋1＝0或4x＋2y－15＝0.方法二：由平面几何知识知所求直线过P1P2的中点或与P1P2平行．设所求直线为l：(4x－2y－1)＋λ(x－2y＋5)＝0，即(4＋λ)x－2(1＋λ)y＋(5λ－1)＝0.(1)当l过P1P2的中点时，因为P1P2的中点为(1,2)，所以(4×1－2×2－1)＋λ(1－2×2＋5)＝0，解得λ＝12，于是有3x－2y＋1＝0.(2)当l∥P1P2时，因为k＝kP1P2＝0－42－0＝－2，所以－4＋λ－21＋λ＝－2，解得λ＝－85，于是有4x＋2y－15＝0.综上可知，所求直线l的方程为3x－2y＋1＝0或4x＋2y－15＝0.一、选择题1．若直线过点(1,2)，(4,2＋3)，则此直线的倾斜角是()A．30°B．45°C．60°D．90°解析：过点(1,2)，(4,2＋3)的直线的斜率k＝2＋3－24－1＝33，由k＝tanα得，直线的倾斜角α＝30°.答案：A2．直线l过点P(－1,2)，且倾斜角为45°，则直线l的方程为()A．x－y＋1＝0B．x－y－1＝0C．x－y－3＝0D．x－y＋3＝0解析：直线l的斜率为k＝tan45°＝1，则由直线的点斜式方程得直线l的方程为y－2＝1×[x－(－1)]，化为一般式方程为x－y＋3＝0.答案：D3．已知直线l1：x＋y＋1＝0，l2：x＋y－1＝0，则l1，l2之间的距离为()A．1B.2C.3D．2解析：l1与l2之间的距离d＝|C1－C2|A2＋B2＝|1－－1|2＝2，故选B.答案：B4．若A(－4,2)，B(6，－4)，C(12,6)，D(2,12)，则下面四