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2．1.2空间中直线与直线之间的位置关系学案·新知自解1．了解空间中两条直线的三种位置关系．理解两异面直线的定义，会用平面衬托来画异面直线．2．理解平行公理(公理4)和等角定理．3．会用异面直线所成的角的定义找出或作出异面直线所成的角，会在直角三角形中求简单异面直线所成的角．空间两直线的位置关系2．异面直线(1)定义：把不同在______平面内的两条直线叫作异面直线．(2)画法：(通常用平面衬托)任一平行公理与等角定理1．平行公理(公理4)与等角定理(1)平行公理①文字表述：平行于同一条直线的两条直线_______．这一性质叫作空间____________．②符号表述：a∥bb∥c⇒_______.(2)等角定理空间中如果两个角的两边分别对应______，那么这两个角______或______．平行平行公理a∥c平行相等互补2．异面直线所成的角θ(1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，我们把a′与b′所成的______(或______)叫作异面直线a与b所成的角(或夹角)．(2)范围：____________.(3)当θ＝______时，a与b互相垂直，记作______.锐角直角0°α≤90°90°a⊥b[化解疑难]求异面直线所成的角需注意的问题(1)a与b所成角的大小与点O无关，为了简便，点O常取在两条异面直线中的一条上，例如取在直线b上，然后过点O作直线a′∥a，a′与b所成的角即为异面直线a与b所成的角.(2)将两条异面直线所成的角转化为平面上的相交直线的夹角，实现了空间问题向平面问题的转化．(3)两条直线垂直，既包括相交垂直，也包括异面垂直.1．一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是()A．平行或异面B．相交或异面C．异面D．相交解析：假设a与b是异面直线，而c∥a，则c显然与b不平行(否则c∥b，则有a∥b，矛盾)．因此c与b可能相交或异面．答案：B2．l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列说法正确的是()A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面解析：对于A，空间中直线的垂直有异面垂直和相交垂直两种，当l1，l2，l3共面时，结论成立；当l1，l2，l3不共面时，l1与l3不一定平行，故不正确．对于B，两条平行直线中的一条垂直于第三条直线，则另一条也垂直于第三条直线，故正确．对于C，互相平行的三条直线不一定共面，如三棱柱的三条侧棱，故不正确．对于D，共点的三条直线不一定共面，如三棱锥的三条侧棱，故不正确．答案：B3．正方体ABCD－A1B1C1D1中，与对角线AC1异面的棱有________条．解析：与AC1异面的棱有A1B1，A1D1，BB1，DD1，CD，BC.共6条．答案：6教案·课堂探究空间位置关系的判断自主练透型(2015·德阳市中江县龙台中学高二(上)期中)如图，点P、Q、R、S分别在正方体的四条棱上，并且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的一个图是()解析：A中的PQ与RS是两条平行且相等的线段；B中的PQ与RS是两条平行且相等的线段；D中，由于PR平行且等于12SQ，故四边形SRPQ为梯形，故PQ与RS是两条相交直线，它们和棱交于同一个点；C中的PQ与RS是两条既不平行，又不相交的直线，故选C.答案：C[归纳升华]判定两直线异面的常用方法1．定义法：由定义判断两直线不可能在同一平面内；2．排除法(反证法)：排除两直线共面(平行或相交)的情况．1．(2015·蚌埠市五河高中高二(上)期中)若两条直线和一个平面相交成等角，则这两条直线的位置关系是()A．平行B．异面C．相交D．平行、异面或相交解析：两直线可能相交、平行，也可能异面，故选D.答案：D公理4及等角定理的应用多维探究型在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P、Q、M、N分别为AD、AB、C1D1、B1C1的中点，求证：A1P∥CN，A1Q∥CM，且∠PA1Q＝∠MCN.证明：取A1B1的中点K，连接BK、KM.易知四边形MKBC为平行四边形．所以CM∥BK.又因为A1K∥BQ且A1K＝BQ，所以四边形A1KBQ为平行四边形，所以A1Q∥BK，由公理4有A1Q∥CM，同理可证A1P∥CN，由于∠PA1Q与∠MCN对应边分别平行，且方向相反，所以∠PA1Q＝∠MCN.[归纳升华]证明两直线平行的常用方法：(1)利用平面几何的结论，如平行四边形的对边，三角形的中位线与底边；(2)定义法：即证明两条直线在同一个平面内且两直线没有公共点；(3)利用公理4：找到一条直线，使所证的直线都与这条直线平行.2．如图所示，空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．求证：四边形EFGH是平行四边形．证明：因为EH是△ABD的中位线，所以EH綊12BD.同理FG綊12BD，所以EH綊FG，所以四边形EFGH为平行四边形．求异面直线所成的角多维探究型(2015·大同一中高二(上)月考)如图，在三棱锥A－BCD中，O，E分别是BD，BC的中点，AO⊥OC，CA＝CB＝CD＝BD＝2，AB＝AD＝2，求异面直线AB与CD所成角的余弦值．解析：取AC的中点M，连接OM，ME，OE，由E为BC的中点知ME∥AB，OE∥DC，所以直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角．在△OME中，EM＝12AB＝22，OE＝12DC＝1，因为OM是Rt△AOC斜边AC上的中线，所以OM＝12AC＝1，取EM的中点H，连OH，则OH⊥EM，在Rt△OEH中，所以cos∠OEM＝EHOE＝12×221＝24.[归纳升华]求异面直线所成角的一般步骤：(1)找(或作出)异面直线所成的角——用平移法，若题设中有中点，常考虑中位线．(2)求——转化为求一个三角形的内角，通过解三角形，求出所找的角．(3)结论——设(2)所求角大小为θ.若0°＜θ≤90°，则θ即为所求；若90°＜θ＜180°，则180°－θ即为所求.3．(2015·杭州市重点中学高二联考)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F、G、H分别为AA1、AB、BB1、B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于________．解析：取A1B1中点M连接MG，MH，则MG∥EF，MG与GH所成的角等于EF与GH所成的角．容易知道△MGH为正三角形，∠MGH＝60°，所以EF与GH所成的角等于60°.答案：60°谢谢观看！