高一数学人教A版必修二课件第四章圆与方程412

4．1.2圆的一般方程学案·新知自解1．了解圆的一般方程的特点，熟练掌握圆的两种方程的互化．2．会根据已知条件求圆的一般方程，并能用圆的一般方程解决简单问题．3．初步掌握求动点的轨迹方程的方法．圆的一般方程1．二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，当________________时，该方程叫作圆的一般方程．2．圆的一般方程下的圆心和半径：圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)表示的圆的圆心为____________，半径长为________________.D2＋E2－4F＞0－D2，－E2D2＋E2－4F2求动点的轨迹方程的方法求动点的轨迹方程，就是根据题意建立动点的坐标(x，y)所满足的关系式，并把这个方程化成最简形式，如果题目中没有坐标系，那么就要先建立适当的直角坐标系．求轨迹方程的一般步骤为：[化解疑难]1.求轨迹方程应注意的问题(1)根据题目中的条件的不同，应选择建立适当的直角坐标系，使其有利于解题；(2)因为除个别情况外，化简过程都是同解变形过程，所以证明时步骤可以不写，如果有特殊情况，可适当予以说明．2.轨迹与轨迹方程的区别与联系求动点的轨迹与轨迹方程不是一回事．求动点的轨迹往往是先求出动点的轨迹方程，然后由方程研究轨迹图形；求动点的轨迹方程有时由已知条件先判断出轨迹图形，然后由图形求方程．“轨迹”是图形，要指出形状、位置、大小(范围)等特征；“轨迹方程”是方程(等式)，不仅要给出方程，还要指出变量的取值范围.1．圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是()A．(2,3)B．(－2,3)C．(－2，－3)D．(2，－3)解析：圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标为－－42，－62，即(2，－3)．答案：D2．方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圆的条件是()A.14m1B．m1C．m14D．m14或m1解析：此方程表示圆的条件是D2＋E2－4F0，即(4m)2＋(－2)2－4·5m0，解得m14或m1.答案：D3．圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的一般方程为________．解析：设圆的方程为x2＋(y－b)2＝1.把(1,2)代入得12＋(2－b)2＝1，解得b＝2，所以方程为x2＋(y－2)2＝1，即x2＋y2－4y＋3＝0.答案：x2＋y2－4y＋3＝0教案·课堂探究圆的一般方程的概念辨析自主练透型若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆，求(1)实数m的取值范围；(2)圆心坐标和半径．解析：(1)据题意知D2＋E2－4F＝(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)＞0，即4m2＋4－4m2－20m＞0，解得m＜15，故m的取值范围为－∞，15.(2)将方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0写成标准方程为(x＋m)2＋(y－1)2＝1－5m，故圆心坐标为(－m,1)，半径r＝1－5m.[归纳升华]形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程，判定其是否表示圆时可有如下两种方法：①由圆的一般方程的定义令D2＋E2－4F＞0，成立则表示圆，否则不表示圆；②将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解．应用这两种方法时，要注意所给方程是不是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0这种标准形式，若不是，则要化为这种形式再求解.1．下列方程各表示什么图形？若表示圆，求其圆心和半径．(1)x2＋y2＋x＋1＝0；(2)x2＋y2＋2ax＋a2＝0(a≠0)；(3)2x2＋2y2＋2ax－2ay＝0(a≠0)．解析：(1)∵D＝1，E＝0，F＝1，∴D2＋E2－4F＝1－4＝－3＜0，∴方程(1)不表示任何图形．(2)∵D＝2a，E＝0，F＝a2，∴D2＋E2－4F＝4a2－4a2＝0，∴方程表示点(－a,0)．(3)两边同除以2，得x2＋y2＋ax－ay＝0，D＝a，E＝－a，F＝0，∴D2＋E2－4F＝2a2＞0，∴方程(3)表示圆，它的圆心为－a2，a2，半径r＝12D2＋E2－4F＝22|a|.待定系数法求圆的方程多维探究型已知△ABC的三个顶点为A(1,4)，B(－2,3)，C(4，－5)，求△ABC的外接圆方程、外心坐标和外接圆半径．解析：方法一：设△ABC的外接圆方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，∵A，B，C在圆上，∴1＋16＋D＋4E＋F＝0，4＋9－2D＋3E＋F＝0，16＋25＋4D－5E＋F＝0，∴D＝－2，E＝2，F＝－23，∴△ABC的外接圆方程为x2＋y2－2x＋2y－23＝0，即(x－1)2＋(y＋1)2＝25.∴外心坐标为(1，－1)，外接圆半径为5.方法二：∵kAB＝4－31＋2＝13，kAC＝4＋51－4＝－3，∴kAB·kAC＝－1，∴AB⊥AC.∴△ABC是以角A为直角的直角三角形，∴外心是线段BC的中点，坐标为(1，－1)，r＝12|BC|＝5.∴外接圆方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝25.[归纳升华]圆的一般方程和标准方程的选择(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径来列方程的问题，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r.(2)如果已知条件和圆心或半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再利用待定系数法求出常数D，E，F.2．求过三点O(0,0)，M1(1,1)，M2(4,2)的圆的方程，并求这个圆的半径和圆心坐标．解析：设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，∵所求圆过点O(0,0)，M1(1,1)，M2(4,2)，∴F＝0，D＋E＋F＋2＝0，4D＋2E＋F＋20＝0，解得D＝－8，E＝6，F＝0.∴所求圆的方程为x2＋y2－8x＋6y＝0，∴－D2＝4，－E2＝－3，圆心为(4，－3)，半径r＝12D2＋E2－4F＝5.轨迹问题多维探究型等腰三角形的顶点是A(4,2)，底边一个端点是B(3,5)，求另一个端点C的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么．解析：设另一端点C的坐标为(x，y)．依题意，得|AC|＝|AB|.由两点间距离公式，得x－42＋y－22＝4－32＋2－52，整理得(x－4)2＋(y－2)2＝10.这是以点A(4,2)为圆心，以10为半径的圆，又因为A，B，C为三角形的三个顶点，所以A，B，C三点不共线，即点B，C不能重合且B，C不能为圆A的一条直径的两个端点．因为点B，C不能重合，所以点C不能为(3,5)．又因为点B，C不能为一条直径的两个端点，所以x＋32≠4，且y＋52≠2，即点C不能为(5，－1)．故端点C的轨迹方程是(x－4)2＋(y－2)2＝10(除去点(3,5)和(5，－1))，它的轨迹是以点A(4,2)为圆心，10为半径的圆，但除去(3,5)和(5，－1)两点．[归纳升华]1．一般地，求轨迹方程就是求等式，就是找等量关系，把等量关系用数学语言表达出来，再进行变形、化简，就会得到相应的轨迹方程，所以找等量关系是解决问题的关键．2.求曲线的轨迹方程要注意以下三点：(1)根据题目条件，选用适当的求轨迹方程的方法．(2)看准是求轨迹，还是求轨迹方程，轨迹是轨迹方程所表示的曲线(图形)．(3)检查轨迹上是否有应去掉的点或漏掉的点.3．(1)已知一曲线是与两个定点O(0,0)，A(3,0)距离的比为12的点的轨迹，求出曲线的方程．(2)已知点A(－1,1)，B(3,3)是圆C的一条直径的两个端点，又点M在圆C上运动，点N(4，－2)，求线段MN的中点P的轨迹方程．解析：(1)设点M(x，y)是曲线上任意一点，则由题意知|MO||MA|＝12.由两点间的距离公式知，上式用坐标表示为x2＋y2x－32＋y2＝12.两边平方并化简，得曲线方程x2＋y2＋2x－3＝0.将方程配方，得(x＋1)2＋y2＝4.∴所求曲线是圆心为C(－1,0)，半径为2的圆．(2)∵A，B是圆C直径的两个端点，∴圆心C(1,2)，半径r＝3－12＋3－22＝5，∴圆的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝5.设P(x，y)，M(x0，y0)，∵M，N的中点是P，∴x0＝2x－4，y0＝2y＋2，∵M在圆C上，∴(2x－5)2＋(2y)2＝5，即x－522＋y2＝54.故线段MN的中点P的轨迹方程是x－522＋y2＝54.谢谢观看！