高一数学人教A版必修二课件第四章圆与方程421

4．2直线、圆的位置关系4．2.1直线与圆的位置关系学案·新知自解1．理解直线与圆的三种位置关系．2．会用圆心到直线的距离来判断直线与圆的位置关系．3．掌握求圆的切线的方法并能解决与弦长有关的问题．直线Ax＋By＋C＝0A2＋B2≠0与圆x－a2＋y－b2＝r2r＞0的位置关系及判断位置关系相交相切相离公共点个数___个___个___个判定方法几何法：设圆心到直线的距离d＝|Aa＋Bb＋C|A2＋B2d___rd___rd___r＜＝＞210代数法：由Ax＋By＋C＝0，x－a2＋y－b2＝r2消元得到一元二次方程，判别式为ΔΔ___0Δ___0Δ___0图形＞＝＜[化解疑难]1．“代数法”与“几何法”判断直线与圆的位置关系，是从不同的方面和不同的思路来判断的，“代数法”侧重于“数”，更多倾向于“坐标”与“方程”；而“几何法”则侧重于“形”，结合了图形的几何性质．2．对于具体用哪种方法判断直线与圆的位置关系，应由条件而定，代数法是从方程角度考虑，但较繁琐；几何法是从几何角度考虑，方法简单，是判断直线与圆位置关系的常用方法.1．直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1的位置关系是()A．相切B．相交但直线不过圆心C．直线过圆心D．相离解析：方法一：由y＝x＋1，x2＋y2＝1消去y整理，得x2＋x＝0，因为Δ＝12－4×1×0＝1＞0，所以直线与圆相交．又圆x2＋y2＝1的圆心坐标为(0,0)，且0≠0＋1，所以直线不过圆心．方法二：圆x2＋y2＝1的圆心坐标为(0,0)，半径长为1，则圆心到直线y＝x＋1，即直线x－y＋1＝0的距离d＝12＝22，因为0＜22＜1，所以直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1相交但直线不过圆心．答案：B2．圆x2＋y2－4x＝0在点P(1，3)处的切线方程为()A．x＋3y－2＝0B．x＋3y－4＝0C．x－3y＋4＝0D．x－3y＋2＝0解析：圆x2＋y2－4x＝0的圆心为C(2,0)，半径r＝2，设切线斜率为k，∵k·kPC＝－1，∴k·3－01－2＝－1，∴k＝33，∴切线方程为y－3＝33(x－1)，即x－3y＋2＝0.答案：D3．已知直线x－y＋2＝0与圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0相交于点A，B，则弦AB长为________．解析：联立方程组x－y＋2＝0，x2＋y2＋2x－4y＋1＝0，消去y，得关于x的方程2x2＋2x－3＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－1，x1x2＝－32，则|AB|＝x1－x22＋y1－y22＝1＋k2×x1＋x22－4x1x2＝1＋12×7＝14.答案：14教案·课堂探究直线与圆的位置关系的判断多维探究型已知直线方程mx－y－m－1＝0，圆的方程x2＋y2－4x－2y＋1＝0.当m为何值时，圆与直线：(1)有两个公共点；(2)只有一个公共点；(3)没有公共点．解析：方法一：将直线mx－y－m－1＝0代入圆的方程化简整理，得(1＋m2)x2－2(m2＋2m＋2)x＋m2＋4m＋4＝0.Δ＝4m(3m＋4)，(1)当Δ＞0时，即m＞0或m＜－43时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；(2)当Δ＝0时，即m＝0或m＝－43时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；(3)当Δ＜0时，即－43＜m＜0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点．方法二：已知圆的方程可化为：(x－2)2＋(y－1)2＝4，即圆心为C(2,1)，半径r＝2.圆心C(2,1)到直线mx－y－m－1＝0的距离d＝|2m－1－m－1|1＋m2＝|m－2|1＋m2.(1)当d＜2时，即m＞0或m＜－43时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；(2)当d＝2时，即m＝0或m＝－43时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；(3)当d＞2时，即－43＜m＜0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点．[归纳升华]解决此类问题的关键是搞清直线与圆的位置和直线与圆的公共点的个数间的等价关系．在处理直线与圆的位置关系时，常用几何法，即比较圆心到直线的距离和半径的大小，而不用联立方程.1．已知圆C的方程是(x－1)2＋(y－1)2＝4，直线l的方程为y＝x＋m，求：当m为何值时(1)直线平分圆；(2)直线与圆相切；(3)直线与圆有两个公共点．解析：(1)因为直线平分圆，所以圆心在直线上，即有m＝0.(2)因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径所以d＝|1－1＋m|12＋12＝|m|2＝2，m＝±22，即m＝±22时，直线l与圆相切．(3)直线与圆有两公共点，d＜r，即|m|2＜2，所以－22＜m＜22时有两个公共点．直线与圆相切问题多维探究型(2015·濮阳综合高中月考)已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋1＝0，O为坐标原点，动点P在圆外，过点P作圆C的切线，设切点为M.(1)若点P运动到(1,3)处，求此时切线l的方程；(2)求满足|PM|＝|PO|的点P的轨迹方程．解析：(1)把圆C的方程化为标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝4，所以圆心为(－1,2)，半径为2.①当l的斜率不存在时，l的方程为x＝1满足条件．②当l的斜率存在时，设斜率为k，则l：y－3＝k(x－1)，即kx－y＋3－k＝0.由题意，得|－k－2＋3－k|1＋k2＝2，得k＝－34.所以l的方程为3x＋4y－15＝0.综上得，满足条件的切线l的方程为x＝1，或3x＋4y－15＝0.(2)设P(x，y)，因为|PM|＝|PO|，所以(x＋1)2＋(y－2)2－4＝x2＋y2.整理得2x－4y＋1＝0.即点P的轨迹方程为2x－4y＋1＝0.[归纳升华]1．用点斜式求直线方程时要首先验证斜率不存在的情形．2．直线与圆相切用几何法列式计算比较简单不用代数法(判别式法)．3．求动点P的轨迹方程要用坐标变量表示P点，即P(x，y)，然后利用条件列出(x，y)满足的方程化简则得解.2．(2015·吉林汪清县六中期末)求经过A(0，－1)和直线x＋y＝1相切，且圆心在直线y＝－2x上的圆的方程．解析：因为圆心在直线y＝－2x上，设圆心坐标为(a，－2a)，设圆的方程为(x－a)2＋(y＋2a)2＝r2，圆经过点A(0，－1)和直线x＋y＝1相切，所以有a2＋2a－12＝r2，|a－2a－1|2＝r，解得a＝1，r＝2或a＝19，r＝529，所以圆的方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝2或x－192＋y＋292＝5081.直线被圆截得的弦长问题分层深化型已知圆的方程为x2＋y2＝8，圆内有一点P(－1,2)，AB为过点P且倾斜角为α的弦．(1)当α＝135°时，求AB的长；(2)当弦AB被点P平分时，写出直线AB的方程．解析：(1)法一：(几何法)如图所示，过点O作OC⊥AB.由已知条件得直线AB的斜率为k＝tan135°＝－1，所以直线AB的方程为y－2＝－(x＋1)，即x＋y－1＝0.因为圆心为(0,0)，所以|OC|＝|－1|2＝22.因为r＝22，所以|BC|＝8－222＝302，所以|AB|＝2|BC|＝30.法二：(代数法)当α＝135°时，直线AB的方程为y－2＝－(x＋1)，即y＝－x＋1，代入x2＋y2＝8，得2x2－2x－7＝0.所以x1＋x2＝1，x1x2＝－72，所以|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝1＋1[x1＋x22－4x1x2]＝30.(2)如图，当弦AB被点P平分时，OP⊥AB，因为kOP＝－2，所以kAB＝12，所以直线AB的方程为y－2＝12(x＋1)，即x－2y＋5＝0.[归纳升华]求直线与圆相交时弦长的两种方法：1.几何法：如图，直线l与圆C交于A，B两点，设弦心距为d，圆的半径为r，弦长为|AB|，则有|AB|22＋d2＝r2，即|AB|＝2r2－d2.2.代数法：如图所示，将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的两交点分别是A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1－x22＋y1－y22＝1＋k2|x1－x2|＝1＋1k2|y1－y2|(直线l的斜率k存在)．几何法比代数法运算量小，也比较直观、简单，故通常采用几何法解决圆的有关弦长问题.[同类练]☆1．过点(－1，－2)的直线l被圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0截得的弦长为2，求直线l的方程．解析：由题意，直线与圆要相交，斜率必须存在，设为k.设直线l的方程为y＋2＝k(x＋1)．又圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1，圆心为(1,1)，半径为1，所以圆心到直线的距离d＝|2k－1－2|1＋k2＝12－222＝22.解得k＝1或177.所以直线l的方程为y＋2＝x＋1或y＋2＝177(x＋1)，即x－y－1＝0或17x－7y＋3＝0.[变式练]☆2．直线l经过点P(5,5)并且与圆C：x2＋y2＝25相交截得的弦长为45，求l的方程．解析：据题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y－5＝k(x－5)，与圆C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)．方法一：联立方程组y－5＝kx－5，x2＋y2＝25，消去y，得(k2＋1)x2＋10k(1－k)x＋25k(k－2)＝0.∴Δ＝[10k(1－k)]2－4(k2＋1)·25k(k－2)＞0，解得k＞0.又x1＋x2＝－10k1－kk2＋1，x1x2＝25kk－2k2＋1.由斜率公式，得y1－y2＝k(x1－x2)．∴|AB|＝x1－x22＋y1－y22＝1＋k2x1－x22＝1＋k2[x1＋x22－4x1x2]＝1＋k2100k21－k2k2＋12－4·25kk－2k2＋1＝45.两边平方，整理得2k2－5k＋2＝0，解得k＝12或k＝2符合题意．故直线l的方程为x－2y＋5＝0或2x－y－5＝0.方法二：如图所示，|OH|是圆心到直线l的距离，|OA|是圆的半径，|AH|是弦长|AB|的一半．在Rt△AHO中，|OA|＝5，|AH|＝12|AB|＝12×45＝25，∴|OH|＝|OA|2－|AH|2＝5，∴|51－k|k2＋1＝5，解得k＝12或k＝2.∴直线l的方程为x－2y＋5＝0或2x－y－5＝0.[拓展练]☆3．已知以点A(－1,2)为圆心的圆与直线l1：x＋2y＋7＝0相切．过点B(－2,0)的动直线l与圆A相交于M，N两点，Q是MN的中点．(1)求圆A的方程；(2)当|MN|＝219时，求直线l的方程．解析：(1)设圆A的半径为r，∵圆A与直线l1：x＋2y＋7＝0相切，∴r＝|－1＋4＋7|5＝25，∴圆A的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝20.(2)当直线l与x轴垂直时，则直线l的方程x＝－2，此时有|MN|＝219，即x＝－2符合题意．当直线l与x轴不垂直时，设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＝0，∵Q是MN的中点，∴AQ⊥MN，∴|AQ|2＋12|MN|2＝r2，又∵|MN|＝219，r＝25，∴|AQ|＝20－19＝1，解方程|AQ|＝|k－2|k2＋1＝1，得k＝34，∴此时直线l的方程为y－0＝34(x＋2)，即3x－4y＋6＝0.综上所得，直线l的方程为x＝－2或3x－4y＋6＝0.谢谢观看！