高一数学人教A版必修二课件第四章圆与方程423

4.2.2圆与圆的位置关系4．2.3直线与圆的方程的应用学案·新知自解1．能根据圆的方程，判断圆与圆的位置关系．2．能用直线与圆的方程解决一些简单的问题．圆与圆的位置关系圆C1：(x－a)2＋(y－b)2＝r21与圆C2：(x－c)2＋(y－d)2＝r22的位置关系的判定方法有几何法和代数法两种，如下表：位置关系几何法代数法图示外离_____________________|C1C2|＞r1＋r2Δ＜0外切_____________________相交______________________________内切________________________内含________________________|C1C2|＝r1＋r2Δ＝0|r1－r2|＜|C1C2|＜r1＋r2Δ＞0|C1C2|＝|r1－r2|Δ＝0|C1C2|＜|r1－r2|Δ＜0用坐标法解决几何问题用坐标法解决几何问题时，先用坐标和方程表示相应的几何元素：点、直线、圆，将几何问题转化为代数问题；然后通过代数运算解决代数问题；最后解释代数运算结果的几何含义，得到几何问题的结论．这就是用坐标法解决平面几何问题的三个步骤．[化解疑难]1.应用代数法判定两圆位置关系时应注意：(1)Δ＞0时，两圆有两个公共点，相交；(2)Δ＝0时，两圆只有一个公共点，包括内切与外切；(3)Δ＜0时，两圆无公共点，包括内含与外离．2．利用几何法判断两圆的位置关系，直观，容易理解，但不能求出交点坐标；利用代数法判断两圆的位置关系，并不能准确地判断位置关系(如：Δ＝0仅能说明两圆只有一个公共点，但确定不了是内切还是外切；Δ＜0仅能说明两圆没有公共点，到底是相离还是内含)，必须辅以图形.1．圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2－4y＝0的位置关系为()A．相离B．相交C．外切D．内切解析：圆O1的圆心坐标为(1,0)，半径长r1＝1；圆O2的圆心坐标为(0,2)，半径长r2＝2；1＝r2－r1＜|O1O2|＝5＜r1＋r2＝3，即两圆相交．故选B.答案：B2．两圆x2＋y2－4x＋2y＋1＝0与x2＋y2＋4x－4y－1＝0的公切线有()A．1条B．2条C．3条D．4条解析：r1＝2，r2＝3，d＝5，由于d＝r1＋r2，所以两圆外切，故公切线有3条，选C.答案：C3．已知两圆x2＋y2＝10和(x－1)2＋(y－3)2＝20相交于A，B两点，则直线AB的方程为________．解析：两圆方程相减得x＋3y＝0.答案：x＋3y＝0教案·课堂探究判断两圆的位置关系自主练透型当实数k为何值时，两圆C1：x2＋y2＋4x－6y＋12＝0，C2：x2＋y2－2x－14y＋k＝0相交、相切、相离？解析：将两圆的一般方程化为标准方程，C1：(x＋2)2＋(y－3)2＝1，C2：(x－1)2＋(y－7)2＝50－k.圆C1的圆心为C1(－2,3)，半径长r1＝1；圆C2的圆心为C2(1,7)，半径长r2＝50－k(k＜50)，从而|C1C2|＝－2－12＋3－72＝5.当1＋50－k＝5，即k＝34时，两圆外切．当|50－k－1|＝5，即50－k＝6，即k＝14时，两圆内切．当|50－k－1|＜5＜1＋50－k，即14＜k＜34时，两圆相交．当1＋50－k＜5或|50－k－1|＞5，即k＜14或34＜k＜50时，两圆相离．[归纳升华]1.判断两圆的位置关系或利用两圆的位置关系求参数的取值范围有以下几个步骤：(1)化成圆的标准方程，写出圆心和半径；(2)计算两圆圆心的距离d；(3)通过d，r1＋r2，|r1－r2|的关系来判断两圆的位置关系或求参数的范围，必要时可借助于图形，数形结合．2．应用几何法判定两圆的位置关系或求字母参数的范围是非常简单清晰的，要理清圆心距与两圆半径的关系.1．(1)两圆(x＋3)2＋(y－2)2＝4和(x－3)2＋(y＋6)2＝64的位置关系是()A．外切B．内切C．相交D．相离(2)圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为()A．内切B．相交C．外切D．外离解析：(1)圆心距d＝r＋R，选A.(2)因为两圆的圆心距为2＋22＋1－02＝17，又因为3－2173＋2，所以两圆相交．答案：(1)A(2)B与两圆相交有关的问题多维探究型求经过两圆x2＋y2＋6x－4＝0和x2＋y2＋6y－28＝0的交点且圆心在直线x－y－4＝0上的圆的方程．解析：法一：解方程组x2＋y2＋6x－4＝0，x2＋y2＋6y－28＝0，得两圆的交点A(－1,3)、B(－6，－2)．设所求圆的圆心为(a，b)，因圆心在直线x－y－4＝0上，故b＝a－4.则有a＋12＋a－4－32＝a＋62＋a－4＋22，解得a＝12，故圆心为12，－72，半径为12＋12＋－72－32＝892.故圆的方程为x－122＋y＋722＝892，即x2＋y2－x＋7y－32＝0.法二：∵圆x2＋y2＋6y－28＝0的圆心(0，－3)不在直线x－y－4＝0上，故可设所求圆的方程为x2＋y2＋6x－4＋λ(x2＋y2＋6y－28)＝0(λ≠－1)，其圆心为－31＋λ，－3λ1＋λ，代入x－y－4＝0，求得λ＝－7.故所求圆的方程为x2＋y2－x＋7y－32＝0.[归纳升华]1.圆系方程一般地过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆的方程可设为：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)然后再由其他条件求出λ，即可得圆的方程.2.两圆相交时，公共弦所在的直线方程若圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则两圆公共弦所在直线的方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.3.公共弦长的求法(1)代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长．(2)几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解.2．已知圆C1：x2＋y2＋2x－6y＋1＝0，与圆C2：x2＋y2－4x＋2y－11＝0相交于A，B两点，求AB所在的直线方程和公共弦AB的长．解析：由圆C1的方程减去圆C2的方程，整理，得方程3x－4y＋6＝0，又由于方程3x－4y＋6＝0是由两圆相减得到的，即两圆交点的坐标一定是方程3x－4y＋6＝0的解．因为两点确定一条直线，故3x－4y＋6＝0是两圆公共弦AB所在的直线方程．∵圆C1：x2＋y2＋2x－6y＋1＝0，∴圆心为C1(－1,3)，半径r＝3，∴圆心C1到直线AB的距离d＝|－3－12＋6|25＝95，∴|AB|＝2r2－d2＝29－952＝245.∴AB所在的直线方程为3x－4y＋6＝0，公共弦AB的长为245.直线与圆的方程的实际应用多维探究型有一种大型商品，A、B两地均有出售且价格相同，某地居民从两地之一购得商品运回来，每公里的运费A地是B地的两倍，若A，B两地相距10公里，顾客选择A地或B地购买这种商品的运费和价格的总费用较低，那么不同地点的居民应如何选择购买此商品的地点？解析：以AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，如图所示，设A(－5,0)，则B(5,0)．在坐标平面内任取一点P(x，y)，设从A运货到P地的运费为2a元/km，则从B运货到P地运费为a元/km.若P地居民选择在A地购买此商品，则2ax＋52＋y2＜ax－52＋y2，整理得x＋2532＋y2＜2032.即点P在圆C：x＋2532＋y2＝2032的内部．也就是说，圆C内的居民应在A地购买．同理可推得圆C外的居民应在B地购买．圆C上的居民可随意选择A，B两地之一购买．[归纳升华]求直线与圆的方程的实际应用问题的解题步骤．(1)认真审题，明确题意；(2)建立平面直角坐标系，用坐标表示点，用方程表示曲线，从而在实际问题中建立直线与曲线的方程；(3)利用直线与圆的方程的有关知识求解问题；(4)把代数结果还原为实际问题的解.3．某公园有A、B两个景点，位于一条小路(直道)的同侧，分别距小路2km和22km，且A、B景点间相距2km，今欲在该小路上设一观景点，使两景点在同时进入视线时有最佳观赏和拍摄效果，则观景点应设在何处？解析：所选观景点应使对两景点的视角最大．由平面几何知识知，该点应是过A、B两点的圆与小路所在的直线相切时的切点．以小路所在直线为x轴，B点在y轴正半轴上建立平面直角坐标系．由题意，得A(2，2)，B(0,22)，设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝b2，由A、B两点在圆上，得a＝0，b＝2或a＝42，b＝52，由实际意义知a＝0，b＝2，∴圆的方程为x2＋(y－2)2＝2，切点为(0,0)，∴观景点应设在B景点在小路的投影处．谢谢观看！