高一数学人教A版必修二课件第四章圆与方程4章末高效整合

第四章圆与方程知能整合提升1．明确圆的两种方程，掌握待定系数法(1)圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，其中，圆心是C(a，b)，半径长是r.圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F0)，其中，圆心是－D2，－E2，半径长是12D2＋E2－4F.注意：二元二次方程表示圆的条件是x2和y2的系数相等，且没有xy项．(2)圆的标准方程和一般方程中都含有三个参变量(a，b，r或D，E，F)．求圆的方程时，由题意得到三个独立的条件，利用待定系数法求出三个参变量的值即可．(3)解题时选用圆的标准方程或一般方程的一般原则是：如果已知圆心或半径长或圆心到直线的距离，通常可用圆的标准方程；如果已知圆经过某些点，通常可用圆的一般方程．求圆的方程时，注意运用圆的几何性质，简化运算．2．点与圆的相关位置关系，注意判断方法(1)点与圆的位置关系有三种：点在圆上、点在圆内、点在圆外．可通过点到圆心的距离与半径长的大小关系来判断．(2)直线与圆的位置关系有三种：相交、相离、相切．其判断方法有两种：代数法(通过解直线方程与圆的方程组成的方程组，根据解的个数来判断)、几何法(由圆心到直线的距离d与半径长r的大小关系来判断)．(3)圆与圆的位置关系有五种：外离、外切、相交、内切、内含．其判断方法有两种：代数法(通过解两圆的方程组成的方程组，根据解的个数来判断)、几何法(由两圆的圆心距d与半径长r，R的大小关系来判断)．3．牢记圆的切线求法，细解弦长问题(1)圆的切线的求法：①设切线斜率，得到切线方程，与圆联立化为一元二次方程，依据判别式为0求解；②设切线斜率，得到切线方程，利用圆心到切线的距离等于圆的半径长求解．解题时，注意切线斜率不存在的情况．(2)当直线与圆相交时，圆的半径长、弦心距、弦长的一半构成直角三角形．(3)求相交两圆的公共弦长时，可通过两圆方程相减求出两圆公共弦所在的直线方程，进而求出其中一圆心到直线的距离及该圆的半径长，利用勾股定理求出弦长的一半，从而求得弦长．过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0的交点的直线方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.4．明晰空间直角坐标系的建立法则，直击距离公式(1)建立的空间直角坐标系要遵循右手法则，空间上的任意一点都与有序实数组(x，y，z)一一对应．(2)空间中P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)之间的距离|P1P2|＝x1－x22＋y1－y22＋z1－z22.(3)可利用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”的方法来求空间直角坐标系下的对称点．热点考点例析求圆的方程求圆的方程主要是根据圆的标准方程和一般方程，利用待定系数法求解，采用待定系数法求圆的方程的一般步骤为：第一步：选择圆的方程的某一形式；第二步：由题意得a，b，r(或D，E，F)的方程(组)；第三步：解出a，b，r(或D，E，F)；第四步：代入圆的方程．注：解题时应充分利用圆的几何性质解题途径，减少运算量，例如：圆的切线垂直于经过切点的半径；圆心与弦的中点连线垂直于弦；两圆相交时，连心线垂直平分两圆的公共弦；两圆相切时，连心线过切点等．求圆心在直线y＝－4x上，且与直线l：x＋y－1＝0相切于点P(3，－2)的圆的方程．[规范解答]方法一：设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，则有b＝－4a，3－a2＋－2－b2＝r2，|a＋b－1|2＝r.解得a＝1，b＝－4，r＝22.故所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8.方法二：过切点且与x＋y－1＝0垂直的直线为y＋2＝x－3，与y＝－4x联立可求得圆心为(1，－4)．故半径r＝3－12＋[－2－－4]2＝22，于是所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8.1．已知动圆C经过点A(2，－3)和B(－2，－5)．(1)当圆C面积最小时，求圆C的方程；(2)若圆C的圆心在直线3x＋y＋5＝0上，求圆C的方程．解析：(1)要使圆C的面积最小，则AB为圆C的直径．圆心C(0，－4)，半径r＝12|AB|＝5，所以所求圆C的方程为x2＋(y＋4)2＝5.(2)法一：因为kAB＝12，AB中点为(0，－4)，所以AB中垂线方程为y＋4＝－2x，即2x＋y＋4＝0，解方程组2x＋y＋4＝0，3x＋y＋5＝0得x＝－1，y＝－2，所以圆心C为(－1，－2)．根据两点间的距离公式，得半径r＝10，因此，所求的圆C的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.法二：设所求圆C的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，根据已知条件得2－a2＋－3－b2＝r2，－2－a2＋－5－b2＝r2，3a＋b＋5＝0⇒a＝－1，b＝－2，r2＝10，所以所求圆C的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.直线与圆的位置关系1．当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最大距离＝d＋r，最小距离＝d－r.其中d为圆心到直线的距离．2．当直线与圆相交时，设弦长为l，弦心距为d，半径为r，则有l22＋d2＝r2.3．当直线与圆相交时，设弦长为AB，则|AB|＝1＋k2AB·|xA－xB|；|AB|＝1＋k2AB|kAB|·|yA－yB|.4．当直线与圆相切时，切线的求法有如下几种：(1)若点(x0，y0)在圆x2＋y2＝r2上，则切线方程为x0x＋y0y＝r2.若点(x0，y0)在圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上，则切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.(2)斜率为k且与圆x2＋y2＝r2相切的切线方程为y＝kx±r1＋k2.斜率为k且与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2相切的切线方程的求法，可以设切线为y＝kx＋m，然后变成一般式kx－y＋m＝0，利用圆心到切线的距离等于半径列出方程，求m.(3)若点(x0，y0)在圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2外，则设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，变成一般式kx－y＋y0－kx0＝0.因为直线与圆相切，所以有|ka－b＋y0－kx0|k2＋1＝r.由此解出k，若此方程有一个实根，则还有一条斜率不存在的切线，务必要补上．已知直线l：2mx－y－8m－3＝0和圆C：x2＋y2－6x＋12y＋20＝0.(1)m∈R时，证明l与C总相交；(2)m取何值时，l被C截得的弦长最短，求此弦长．[规范解答](1)证明：直线的方程可化为y＋3＝2m(x－4)，由点斜式可知，直线过点P(4，－3)．由于42＋(－3)2－6×4＋12×(－3)＋20＝－15＜0，所以点P在圆内，故直线l与圆C总相交．(2)如图，当圆心C(3，－6)到直线l的距离最大时，线段AB的长度最短．此时PC⊥l，所以直线l的斜率为－13，所以m＝－16.在△APC中，|PC|＝10，|AC|＝r＝5，∴AP2＝AC2－PC2＝25－10＝15，∴AP＝15，∴|AB|＝215，即最短弦长为215.2．已知圆M：(x－1)2＋(y－1)2＝4，直线l过点P(2,3)且与圆M交于A，B两点，且|AB|＝23，求直线l的方程．解析：①当直线l存在斜率时，设直线l的方程为y－3＝k(x－2)，即kx－y＋3－2k＝0.作示意图如图，作MC⊥AB于C.在Rt△MBC中，|BC|＝3，|MB|＝2，故|MC|＝|MB|2－|BC|2＝1，由点到直线的距离公式得|k－1＋3－2k|k2＋1＝1，解得k＝34.所以直线l的方程为3x－4y＋6＝0.②当直线l的斜率不存在时，其方程为x＝2，且|AB|＝23，所以适合题意．综上所述，直线l的方程为3x－4y＋6＝0或x＝2.圆与圆的位置关系1．平面上两圆的位置关系有五种，即外离、外切、相交、内切、内含．可以从两圆的圆心距与两圆半径的数量关系来判断．设⊙O1的半径为r1，⊙O2的半径为r2，两圆的圆心距为d.当|r1－r2|＜d＜r1＋r2时，两圆相交，如图(1)所示；当r1＋r2＝d时，两圆外切，如图(2)所示；当r1＋r2＜d时，两圆相离，如图(3)所示；当|r1－r2|＝d时，两圆内切，如图(4)所示；当|r1－r2|＞d时，两圆内含，如图(5)所示．2．公共弦问题．(1)公共弦长的求法：①代数法，即将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求其长；②几何法，即求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，用勾股定理求出弦长．(2)公共弦所在直线方程的求法：用两圆方程相减，所得直线方程即为两圆公共弦所在直线方程．(3)重要结论：两圆圆心连线是两圆公共弦的垂直平分线．已知圆C1：x2＋y2＋4x－4y－5＝0与圆C2：x2＋y2－8x＋4y＋7＝0.(1)证明圆C1与圆C2相切，并求过切点的两圆公切线的方程；(2)求过点(2,3)且与两圆相切于(1)中切点的圆的方程．[规范解答](1)证明：把圆C1与圆C2都化为标准方程形式，得(x＋2)2＋(y－2)2＝13，(x－4)2＋(y＋2)2＝13.圆心与半径长分别为C1(－2,2)，r1＝13；C2(4，－2)，r2＝13.因为|C1C2|＝－2－42＋2＋22＝213＝r1＋r2，所以圆C1与圆C2相切．由x2＋y2＋4x－4y－5＝0，x2＋y2－8x＋4y＋7＝0，得12x－8y－12＝0，即3x－2y－3＝0，这就是过切点的两圆公切线的方程．(2)由圆系方程，可设所求圆的方程为x2＋y2＋4x－4y－5＋λ(3x－2y－3)＝0.点(2,3)在此圆上，将点坐标代入方程解得λ＝43.所以所求圆的方程为x2＋y2＋4x－4y－5＋43(3x－2y－3)＝0，即x2＋y2＋8x－203y－9＝0.3．求圆心在直线x＋y＝0上，且过两圆x2＋y2－2x＋10y－24＝0，x2＋y2＋2x＋2y－8＝0交点的圆的方程．解析：设所求圆的方程为x2＋y2－2x＋10y－24＋λ(x2＋y2＋2x＋2y－8)＝0(λ≠－1)，即x2＋y2－21－λ1＋λx＋25＋λ1＋λy－83＋λ1＋λ＝0，可知圆心坐标为1－λ1＋λ，－5＋λ1＋λ.因为圆心在直线x＋y＝0上，所以1－λ1＋λ－5＋λ1＋λ＝0，解得λ＝－2.将λ＝－2代入所设方程并化简，可得所求圆的方程为x2＋y2＋6x－6y＋8＝0.一、选择题1．圆心坐标为(1，－1)，半径长为2的圆的标准方程是()A．(x－1)2＋(y＋1)2＝2B．(x＋1)2＋(y－1)2＝2C．(x－1)2＋(y＋1)2＝4D．(x＋1)2＋(y－1)2＝4解析：由圆心坐标和半径长可知圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝4.答案：C2．点A(3，－2,4)关于点(0,1，－3)的对称点的坐标为()A．(－3,4，－10)B．(－3,2，－4)C.32，－12，12D．(6，－5,11)解析：设对称点P(x，y，z)，则3＋x2＝0，－2＋y2＝1，4＋z2＝－3，∴x＝－3，y＝4，z＝－10，故P(－3,4，－10)．答案：A3．若直线l：ax＋by＝1与圆C：x2＋y2＝1有两个不同交点，则点P(a，b)与圆C的位置关系是()A．点在圆上B．点在圆内C．点在圆外D．不能确定解析：由题意，圆心(0,0)到直线l的距离d＝1a2＋b21，所以有a2＋b21，即点P(a，b)在圆C外．答案：C4．半径为6的圆与x轴相切，且与圆x2＋(y－3)2＝1内切，则此圆的方程为()A．(x－4)2＋(y－6)2＝6B．(x±4)2＋(y－6)2＝6C．(x－4)2＋(y－6)2＝36D．(x±4)2＋(y－6)2＝36解析：由题意知，半径为6的圆与x轴相切，且圆心在x轴上方．设所求圆的圆心坐标为(a，b)，则b＝6，再由a2＋32＝5，可以解得a＝±4，故所求圆的方程为(x±4)2＋(y－6)2＝3