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第二章§2.1空间点、直线、平面之间的位置关系2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系1.了解空间中两条直线的位置关系；2.理解异面直线的概念、画法；3.理解并掌握公理4及等角定理；4.掌握异面直线所成角的概念及异面直线垂直的概念，能求出一些较特殊的异面直线所成的角.问题导学题型探究达标检测学习目标问题导学新知探究点点落实知识点一空间两直线的位置关系思考在同一平面内，两条直线有几种位置关系？观察下面两个图形，你能找出既不平行又不相交的两条直线吗？答案平行与相交.教室内的日光灯管所在直线与黑板的左右两侧所在的直线；六角螺母中直线AB与CD.答案(1)异面直线：不同在_________平面内的两条直线.(2)异面直线的画法(衬托平面法)如图(1)(2)所示，为了表示异面直线不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面来衬托.(3)判断两直线为异面直线的方法：①定义法②两直线既不平行也不相交答案任何一个(4)空间两条直线的三种位置关系①从是否有公共点的角度来分：答案__________没有公共点有且仅有一个公共点——_____②从是否共面的角度来分：__________在同一平面内不同在任何一个平面内——_____平行异面平行相交相交异面知识点二平行公理(公理4)思考在平面内，直线a，b，c，若a∥b，b∥c则a∥c，该结论在空间中是否成立？答案成立2.符号表示：a∥bb∥c⇒a∥c.1.文字表述：平行于同一条直线的两条直线互相平行.答案知识点三等角定理思考观察图，在长方体ABCD-A′B′C′D′中，∠ADC与∠A′D′C′，∠ADC与∠D′A′B′的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何？答案从图中可以看出，∠ADC＝∠A′D′C′，∠ADC＋∠D′A′B′＝180°.答案空间中如果两个角的两边分别对应_____，则这两个角_____或_____.平行相等互补知识点四异面直线所成的角思考在长方体A1B1C1D1-ABCD中，BC1∥AD1，则“直线BC1与直线BC所成的角”，与“直线AD1与直线BC所成的角”是否相等？答案相等.答案答案定义前提两条异面直线a，b作法经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b结论我们把a′与b′所成的_____________叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)范围记异面直线a与b所成的角为θ，则____________.特殊情况当θ＝____时，a与b互相垂直，记作_____.锐角(或直角)0°θ≤90°90°a⊥b返回题型探究重点难点个个击破类型一异面直线的判断例1如图，已知正方体ABCD—A′B′C′D′.哪些棱所在直线与直线BA′是异面直线？反思与感悟解由异面直线的定义可知，棱AD、DC、CC′、DD′、D′C′、B′C′所在直线分别与直线BA′是异面直线.解析答案跟踪训练1(1)在四棱锥P-ABCD中，各棱所在的直线互相异面的有___对.解析与AB异面的有侧棱PD和PC，同理，与底面的各条边异面的都有两条侧棱，故共有异面直线4×2＝8(对).(2)如图是一个正方体的展开图，如果将它还原成正方体，那么AB，CD，EF，GH这四条线段所在直线是异面直线的有几对？分别是哪几对？解三对，分别为AB与CD，AB与GH，EF与GH.还原的正方体如图所示：解析答案8类型二平行公理和等角定理的应用例2(1)在空间四边形ABCD中，如图所示，则EH与FG的位置关系是________.解析连接BD，如图，解析答案AEAB＝AHAD，CFCB＝CGCD，平行∵AEAB＝AHAD，∴EH∥BD，又∵CFCB＝CGCD，∴FG∥BD，∴EH∥FG.(2)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，M1分别棱AD和A1D1的中点.求证：∠BMC＝∠B1M1C1.证明在正方形ADD1A1中，M，M1分别为AD，A1D1的中点，∴A1M1綊AM，∴四边形AMM1A1是平行四边形，∴A1A綊M1M.又∵A1A綊B1B，∴M1M綊B1B，∴四边形BB1M1M为平行四边形.∴B1M1∥BM.同理可得四边形CC1M1M为平行四边形，∴C1M1∥CM.由平面几何知识可知，∠BMC和∠B1M1C1都是锐角.∴∠BMC＝∠B1M1C1.解析答案反思与感悟跟踪训练2如图，已知在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，AD的中点.求证：(1)四边形MNA1C1是梯形；证明如图，连接AC，在△ACD中，∵M，N分别是CD，AD的中点，∴MN是△ACD的中位线，解析答案∴MN∥AC，MN＝12AC.由正方体的性质得：AC∥A1C1，AC＝A1C1.∴MN∥A1C1，且MN＝12A1C1，即MN≠A1C1，∴四边形MNA1C1是梯形.(2)∠DNM＝∠D1A1C1.证明由(1)可知MN∥A1C1.又∵ND∥A1D1，∴∠DNM与∠D1A1C1相等或互补.而∠DNM与∠D1A1C1均为锐角，∴∠DNM＝∠D1A1C1.解析答案类型三两异面直线所成的角例3如图，已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，A1A＝AB，E、F分别是BD1和AD中点，求异面直线CD1，EF所成的角的大小.解析答案反思与感悟返回跟踪训练3如图所示，在正方体AC1中，E、F分别是A1B1、B1C1的中点，求异面直线DB1与EF所成角的大小.解析答案123达标检测4解析答案1.若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是()A.异面或平行B.异面或相交C.异面D.相交、平行或异面解析异面直线不具有传递性，可以以长方体为载体加以说明a、b异面，直线c的位置可如图所示.D1234解析答案2.下列四个结论中假命题的个数是()①垂直于同一直线的两条直线互相平行；②平行于同一直线的两直线平行；③若直线a，b，c满足a∥b，b⊥c，则a⊥c；④若直线l1，l2是异面直线，则与l1，l2都相交的两条直线是异面直线.A.1B.2C.3D.412343.分别在两个相交平面内的两条直线间的位置关系是()A.异面B.平行C.相交D.以上都有可能解析如图(1)所示，直线a与b互相平行；如图(2)所示，直线a与b相交；如图(3)所示，直线a与b异面.D解析答案1234解析答案4.如图，已知长方体ABCD—A′B′C′D′中，AA′＝2.(1)求异面直线BC和A′C′所成的角的大小.解因为BC∥B′C′，所以∠B′C′A′是异面直线A′C′与BC所成的角.在Rt△A′B′C′中，B′C′＝2，所以∠B′C′A′＝45°.所以异面直线BC与A′C′所成的角为45°.AB＝23，AD＝23，A′B′＝23，31234解析答案(2)求异面直线AA′和BC′所成的角的大小.解因为AA′∥BB′，所以∠B′BC′是异面直线AA′和BC′所成的角.在Rt△BB′C′中，B′C′＝AD＝23，BB′＝AA′＝2，所以BC′＝4，所以∠B′BC′＝60°.所以异面直线AA′与BC′所成的角为60°.规律与方法1.判定两直线的位置关系的依据就在于两直线平行、相交、异面的定义.很多情况下，定义就是一种常用的判定方法.2.在研究异面直线所成角的大小时，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角.将空间问题向平面问题转化，这是我们学习立体几何的一条重要的思维途径.需要强调的是，两条异面直线所成角的范围为(0°，90°]，解题时经常结合这一点去求异面直线所成角的大小.作异面直线所成的角.可通过多种方法平移产生，主要有三种方法：①直接平移法(可利用图中已有的平行线)；②中位线平移法；③补形平移法(在已知图形中，补作一个相同的几何体，以便找到平行线).返回