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第三章§3.2直线的方程3.2.1直线的点斜式方程1.了解由斜率公式推导直线方程的点斜式的过程；2.掌握直线的点斜式方程与斜截式方程；3.会利用直线的点斜式与斜截式方程解决有关的实际问题.问题导学题型探究达标检测学习目标问题导学新知探究点点落实知识点一直线的点斜式方程思考1如图，直线l经过点P0(x0，y0)，且斜率为k，设点P(x，y)是直线l上不同于点P0的任意一点，那么x，y应满足什么关系？答案答案由斜率公式得k＝，则x，y应满足y－y0＝k(x－x0).y－y0x－x0思考2经过点P0(x0，y0)的所有直线是否都能用点斜式方程来表示？答案答案斜率不存在的直线不能用点斜式表示，过点P0斜率不存在的直线为x＝x0.答案点斜式已知条件点P(x0，y0)和图示方程形式y－y0＝适用条件斜率存在斜率kk(x－x0)知识点二直线的斜截式方程思考1已知直线l的斜率为k，且与y轴的交点为(0，b)，得到的直线l的方程是什么？答案答案将k及点(0，b)代入直线方程的点斜式得：y＝kx＋b.思考2方程y＝kx＋b，表示的直线在y轴上的截距b是距离吗？b可不可以为负数和零？答案y轴上的截距b不是距离，可以是负数和零.思考3对于直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2.①l1∥l2⇔________________，②l1⊥l2⇔________________.k1＝k2且b1≠b2k1k2＝－1斜截式已知条件斜率k和直线y轴上的截距b图示方程式适用条件斜率存在答案y＝kx＋b返回题型探究重点难点个个击破类型一直线的点斜式方程例1(1)经过点(－3,1)且平行于y轴的直线方程是________.解析∵直线与y轴平行，∴该直线斜率不存在，∴直线方程为x＝－3.(2)直线y＝2x＋1绕着其上一点P(1,3)逆时针旋转90°后得直线l，则直线l的点斜式方程是_______________.解析由题意知，直线l与直线y＝2x＋1垂直，则直线l的斜率为－.由点斜式方程可得l的方程为y－3＝－(x－1).1212x＝－3y－3＝－(x－1)12解析答案(3)一直线l1过点A(－1，－2)，其倾斜角等于直线l2：y＝x的倾斜角的2倍，则l1的点斜式方程为______________.解析∵直线l2的方程为y＝x，设其倾斜角为α，则tanα＝得α＝30°，那么直线l1的倾斜角为2×30°＝60°，则l1的点斜式方程为y＋2＝tan60°(x＋1)，即y＋2＝(x＋1).33333y＋2＝(x＋1)3解析答案33跟踪训练1写出下列直线的点斜式方程：(1)经过点A(2,5)，斜率是4；解析答案解y－5＝4(x－2)；(2)经过点B(2,3)，倾斜角是45°；解∵直线的斜率k＝tan45°＝1，∴直线方程为y－3＝x－2；(3)经过点C(－1，－1)，与x轴平行.解y＝－1.类型二直线的斜截式方程例2(1)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3的直线的斜截式方程是_________________________.解析答案解析∵直线的倾斜角是60°，∴其斜率k＝tan60°＝，∵直线与y轴的交点到原点的距离是3，∴直线在y轴上的截距是3或－3，∴所求直线方程是y＝x＋3或y＝x－3.333y＝x＋3或y＝x－333(2)已知直线l1的方程为y＝－2x＋3，l2的方程为y＝4x－2，直线l与l1平行且与l2在y轴上的截距相同，求直线l的方程.解由斜截式方程知直线l1的斜率k1＝－2，又因为l∥l1.由题意知l2在y轴上的截距为－2，所以l在y轴上的截距b＝－2，由斜截式可得直线l的方程为y＝－2x－2.解析答案反思与感悟跟踪训练2(1)已知直线l的斜率为，且和两坐标轴围成面积为3的三角形，求l的斜截式方程；解设直线方程为y＝x＋b，则x＝0时，y＝b；y＝0时，x＝－6b.由已知可得·|b|·|－6b|＝3，即6|b|2＝6，∴b＝±1.故所求直线方程为y＝x＋1或y＝x－1.解析答案1616161612(2)已知直线l1的方程为y＝－2x＋3，l2的方程为y＝4x－2，直线l与l1垂直且与l2在y轴上的截距互为相反数，求直线l的方程.解∵l1⊥l，直线l1：y＝－2x＋3，∴l的斜率为，∵l与l2在y轴上的截距互为相反数，直线l2：y＝4x－2，∴l在y轴上的截距为2，∴直线l的方程为y＝x＋2.解析答案1212类型三平行与垂直的应用例3(1)当a为何值时，直线l1：y＝－x＋2a与直线l2：y＝(a2－2)x＋2平行？解析答案解由题意可知，∵l1∥l2，12212llkka＝－，＝－，∴a2－2＝－1，2a≠2，解得a＝－1.故当a＝－1时，直线l1：y＝－x＋2a与直线l2：y＝(a2－2)x＋2平行.(2)当a为何值时，直线l1：y＝(2a－1)x＋3与直线l2：y＝4x－3垂直？解析答案反思与感悟解由题意可知，12214llkak＝－，＝，∵l1⊥l2，∴4(2a－1)＝－1，解得a＝.故当a＝时，直线l1：y＝(2a－1)x＋3与直线l2：y＝4x－3垂直.3838跟踪训练3已知在△ABC中，A(0,0)，B(3,1)，C(1,3).(1)求AB边上的高所在直线的方程；解直线AB的斜率k1＝＝，AB边上的高所在直线斜率为－3且过点C，所以AB边上的高所在直线的方程为y－3＝－3(x－1).解析答案1－03－013(2)求BC边上的高所在直线的方程；解直线BC的斜率k2＝＝－1，BC边上的高所在直线的斜率为1且过点A，所以BC边上的高所在直线的方程为y＝x.3－11－3返回(3)求过A与BC平行的直线方程.解由(2)知，过点A与BC平行的直线的斜率为－1，其方程为y＝－x.解析答案123达标检测4解析答案1.方程y＝k(x－2)表示()A.通过点(－2,0)的所有直线B.通过点(2,0)的所有直线C.通过点(2,0)且不垂直于x轴的所有直线D.通过点(2,0)且除去x轴的所有直线解析易验证直线通过点(2,0)，又直线斜率存在，故直线不垂直于x轴.C1234解析答案2.倾斜角是30°，且过(2,1)点的直线方程是________________.解析∵斜率为tan30°＝，∴直线的方程为y－1＝(x－2).3333y－1＝(x－2)3312343.(1)已知直线y＝ax－2和y＝(a＋2)x＋1互相垂直，则a＝________；解析由题意可知a(a＋2)＝－1，解得a＝－1.(2)若直线l1∶y＝与直线l2∶y＝3x－1互相平行，则a＝________.－2a＝3，－1a≠－1，解析由题意可知解得a＝－.23－1－23解析答案－2ax－1a1234解析答案4.(1)求经过点(1,1)，且与直线y＝2x＋7平行的直线的方程；解∵与直线y＝2x＋7平行，∴该直线斜率为2，由点斜式方程可得y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1∴所求直线的方程为y＝2x－1.1234解析答案(2)求经过点(－2，－2)，且与直线y＝3x－5垂直的直线的方程.解∵所求直线与直线y＝3x－5垂直，∴该直线的斜率为－，由点斜式方程得：y＋2＝－(x＋2)，即y＝－x－.故所求的直线方程为y＝－x－.131313831383规律与方法1.求直线的点斜式方程的方法步骤2.直线的斜截式方程的求解策略(1)用斜截式求直线方程，只要确定直线的斜率和截距即可，同时要特别注意截距和距离的区别.(2)直线的斜截式方程y＝kx＋b不仅形式简单，而且特点明显，k是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距，只要确定了k和b的值，直线的图象就一目了然.因此，在解决直线的图象问题时，常通过把直线方程化为斜截式方程，利用k，b的几何意义进行判断.3.判断两条直线位置关系的方法直线l1：y＝k1x＋b1，直线l2：y＝k2x＋b2.(1)若k1≠k2，则两直线相交.(2)若k1＝k2，则两直线平行或重合，当b1≠b2时，两直线平行；当b1＝b2时，两直线重合.(3)特别地，当k1·k2＝－1时，两直线垂直.(4)对于斜率不存在的情况，应单独考虑.返回