高一数学人教版A版必修二课件411圆的标准方程

第四章§4.1圆的方程4.1.1圆的标准方程1.掌握圆的定义及标准方程；2.能根据圆心、半径写出圆的标准方程，会用待定系数法求圆的标准方程.问题导学题型探究达标检测学习目标问题导学新知探究点点落实知识点一圆的标准方程思考1确定一个圆的基本要素是什么？答案圆心和半径.思考2在平面直角坐标系中，如图所示，以(1,2)为圆心，以2为半径的圆能否用方程(x－1)2＋(y－2)2＝4来表示？答案能.1.以点(a，b)为圆心，r(r0)为半径的圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.2.以原点为圆心，r为半径的圆的标准方程为x2＋y2＝r2.答案知识点二点与圆的位置关系思考点A(1,1)，B(4,0)，同圆x2＋y2＝4的关系如图所示，则|OA|，|OB|，|OC|同圆的半径r＝2是什么关系？答案|OA|2，|OB|2，|OC|＝2.点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断方法答案C(2，2)位置关系利用距离判断利用方程判断点M在圆上|CM|＝r(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2点M在圆外|CM|r(x0－a)2＋(y0－b)2r2点M在圆内|CM|r(x0－a)2＋(y0－b)2r2返回题型探究重点难点个个击破类型一求圆的标准方程例1(1)以两点A(－3，－1)和B(5,5)为直径端点的圆的方程是()A.(x＋1)2＋(y＋2)2＝10B.(x－1)2＋(y－2)2＝100C.(x＋1)2＋(y＋2)2＝25D.(x－1)2＋(y－2)2＝25解析∵AB为直径，∴AB的中点(1,2)为圆心，半径为12|AB|＝125＋32＋5＋12＝5，∴该圆的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝25.D解析答案(2)与y轴相切，且圆心坐标为(－5，－3)的圆的标准方程为___________________.解析∵圆心坐标为(－5，－3)，又与y轴相切，∴该圆的半径为5，∴该圆的标准方程为(x＋5)2＋(y＋3)2＝25.(x＋5)2＋(y＋3)2＝25解析答案(3)过点A(1，－1)，B(－1,1)且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的标准方程是________________.解析答案反思与感悟跟踪训练1求下列圆的标准方程：(1)圆心在y轴上，半径长为5，且过点(3，－4)；解设圆心(0，b)，得b＝0或－8，所以圆的标准方程为x2＋y2＝25或x2＋(y＋8)2＝25.解析答案则3－02＋－4－b2＝5，(2)已知圆和直线x－6y－10＝0相切于点(4，－1)，且经过点(9,6)；解因为圆C和直线x－6y－10＝0相切于点(4，－1)，其方程为y＋1＝－6(x－4)，即y＝－6x＋23.解析答案所以过点(4，－1)的直径所在直线的斜率为－116＝－6.又因为圆心在以(4，－1)，(9,6)两点为端点的线段的中垂线即5x＋7y－50＝0上，所以由y＝－6x＋23，5x＋7y－50＝0，解得圆心坐标为(3,5)，所以半径为9－32＋6－52＝37，故所求圆的标准方程为(x－3)2＋(y－5)2＝37.y－52＝－57(x－132)，(3)圆过A(5,1)，B(1,3)两点，圆心在x轴上.解线段AB的垂直平分线为y－2＝2(x－3)，令y＝0，则x＝2，∴圆心坐标为(2,0)，∴圆的标准方程为(x－2)2＋y2＝10.解析答案半径r＝5－22＋1－02＝10，类型二点与圆的位置关系例2(1)点P(m2,5)与圆x2＋y2＝24的位置关系是()A.在圆内B.在圆外C.在圆上D.不确定解析由(m2)2＋52＝m4＋2524，∴点P在圆外.解析答案(2)已知点M(5＋1，)在圆(x－1)2＋y2＝26的内部，则a的取值范围是____.解析由题意知(5a＋1－1)2＋(a)226，即26a26，a≥0解得0≤a1.B[0,1)反思与感悟aa跟踪训练2已知点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的外部，则a的取值范围是________________________.解析由题意知，(1－a)2＋(1＋a)24，2a2－20，即a－1或a1，解析答案(－∞，－1)∪(1，＋∞)类型三与圆有关的最值问题例3已知实数x，y满足方程(x－2)2＋y2＝3.解析答案(1)求yx的最大值和最小值；解原方程表示以点(2,0)为圆心，以3为半径的圆，设yx＝k，即y＝kx，当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值和最小值，此时|2k－0|k2＋1＝3，解得k＝±3.故yx的最大值为3，最小值为－3.(2)求y－x的最大值和最小值；解设y－x＝b，即y＝x＋b，当y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值和最小值，解析答案此时|2－0＋b|2＝3.即b＝－2±6.故y－x的最大值为－2＋6，最小值为－2－6.(3)求x2＋y2的最大值和最小值.解x2＋y2表示圆上的点与原点距离的平方，由平面几何知识知，它在原点与圆心所在直线与圆的两个交点处取得最大值和最小值，又圆心到原点的距离为2，反思与感悟故(x2＋y2)max＝(2＋3)2＝7＋43，(x2＋y2)min＝(2－3)2＝7－43.解析答案解由题意知x2＋y2表示圆上的点到坐标原点距离的平方，显然当圆上的点与坐标原点的距离取最大值和最小值时，其平方也相应取得最大值和最小值.原点(0,0)到圆心(－1,0)的距离为d＝1，解析答案跟踪训练3已知x和y满足(x＋1)2＋y2＝14，试求：故圆上的点到坐标原点的最大距离为1＋12＝32，最小距离为1－12＝12，因此x2＋y2的最大值和最小值分别为94和14.(1)x2＋y2的最值；返回(2)x＋y的最值.解令y＋x＝z并将其变形为y＝－x＋z，问题转化为斜率为－1的直线在经过圆上的点时在y轴上的截距的最值.当直线和圆相切时在y轴上的截距取得最大值和最小值，解析答案此时有|－1－z|2＝12，解得z＝±22－1，即最大值为22－1，最小值为－22－1.123达标检测4解析答案1.圆心为(1,1)且过原点的圆的标准方程是()A.(x－1)2＋(y－1)2＝1B.(x＋1)2＋(y＋1)2＝1C.(x＋1)2＋(y＋1)2＝2D.(x－1)2＋(y－1)2＝2圆心坐标为(1,1)，所以圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.D解析圆的半径r＝1－02＋1－02＝2，1234解析答案2.若点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则实数a的取值范围是()A.－1a1B.0a1C.a1或a－1D.a＝±1解析∵点(1,1)在圆的内部，∴(1－a)2＋(1＋a)24，∴－1a1.A12343.若实数x，y满足(x＋5)2＋(y－12)2＝142，则x2＋y2的最小值是____.解析x2＋y2表示圆上的点(x，y)与(0,0)间距离的平方，由几何意义可知，1最小值为14－52＋122＝1.解析答案1234解析答案4.圆心在直线x＝2上的圆C与y轴交于两点A(0，－4)，B(0，－2)，则圆C的方程为__________________.解析由题意知圆心坐标为(2，－3)，∴圆C的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝5.(x－2)2＋(y＋3)2＝5半径r＝2－02＋－3＋22＝5.规律与方法1.判断点与圆位置关系的两种方法(1)几何法：主要利用点到圆心的距离与半径比较大小.(2)代数法：主要是把点的坐标代入圆的标准方程来判断：点P(x0，y0)在圆C上⇔(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2；点P(x0，y0)在圆C内⇔(x0－a)2＋(y0－b)2r2；点P(x0，y0)在圆C外⇔(x0－a)2＋(y0－b)2r2.2.求圆的标准方程时常用的几何性质求圆的标准方程，关键是确定圆心坐标和半径，为此常用到圆的以下几何性质：(1)弦的垂直平分线必过圆心.(2)圆内的任意两条弦的垂直平分线的交点一定是圆心.(3)圆心与切点的连线长是半径长.(4)圆心与切点的连线必与切线垂直.3.求圆的标准方程常用方法：(1)利用待定系数法确定a，b，r.(2)利用几何条件确定圆心坐标与半径.返回