高一数学向量数量积的坐标表示高一数学课件

平面向量应用举例向量加法三角形法则a+b=(x1+x2,y1+y2)向量减法三角形法则a–b=(x1–x2,y1–y2)数乘（实数与向量的积）ma=(mx1,my1)aa+bba-babamaθbaθ内积（向量的数量积）a∙b=|a||b|cos(x1,y1)∙(x2,y2)=x1x2+y1y2a∥b(a≠0)，即a、b共线存在实数m，使b=max1y2=x2y1aba∙b=0x1x2+y1y2=0例1已知四点坐标：A(-1，3)、B(1，1)、C(4，4)、D(3，5).（1）求证：四边形ABCD是直角梯形；（2）求∠DAB的大小.(1)证明：∴AB//DC.AB=(1–(-1),1–3)=(2,-2),BC=(4–1,4–1)=(3,3).DC=(4–3,4–5)=(1,-1),∵AB=2DC,xABCDy∴AB⊥BC.∵AB·BC=2×3+(-2)×3=0,∴ABCD是直角梯形.又∵AB≠DC,xABCDy（2）解：|AB|=√(1–(-1))2+(1–3)2=2√2,AD=(3–(-1),5–3)=(4,2),|AD|=√(3–(-1))2+(5–3)2=2√5,AD·AB=4×2+2×(-2)=4,cos∠DAB===,AD·AB|AD||AB|42√5·2√2√1010∴∠DAB=arccos.√1010例2M是∆OAB中AB边上的中点，且|OA|=|OB|，利用向量证明:OM⊥AB.AMBO证明：设OA=a,OB=b,ab则AB=b–a,OM=(a+b).12∵|OA|=|OB|,∴|a|=|b|.∴OM⊥AB.∴OM·AB=(a+b)(b–a)=(b2–a2)=0,1212OABCxyDM例3已知正方形ABCD的两个顶点坐标:A(0,1)、C(4,3)，且A、B、C、D按逆时针排列，求顶点B、D的坐标.分析一：|AC|=√2|AD|?AC⊥DM?分析二：AD⊥DC?AD·AC=|AD||AC|cos45◦?解法一：设D(x,y),AC中点M(xo,yo),则xo==2,yo==2.0+421+32|AC|=√42+(3–1)2=2√5,|AD|=√x2+(y–1)2,由AC=√2|AD|,得2√5=√2√x2+(y–1)2，①由AC⊥DM,AC·DM=4(2–x)+(2–y)=0.②由①、②解得x=1,y=4y=0.x=3,{或{∴D、B坐标分别是（1，4）、（3，0）.得OABCxyDM又AC=(4,2),DM=(2–x,2–y).解法二：（略写）AD⊥DCx(4–x)+(y–1)(3–y)=0.AD·AC=|AD||AC|cos45◦4x+2(y–1)=|AC|2.√22√22OABCxyDMABCPabp例4∆ABC内有一点P，设CA=a,CB=b,CP=p(1)用a,b,p表示AP2+BP2+CP2;(2)求AP2+BP2+CP2的最小值，并求取得最小值时P点的位置.AP2=AP·AP=(p–a)2;∴AP2+BP2+CP2=3p2–2(a+b)p+a2+b2.解:(1)BP2=BP·BP=(p–b)2;CP2=p2.(2)AP2+BP2+CP2=3p2–2(a+b)p+a2+b2∴AP2+BP2+CP2的最小值为(a2+b2–a·b)，取得最小值时P点为ΔABC的重心.23=3(p–)2+(a2+b2–a·b),23a+b3ABCPabp(1)若P分线段AB为1:k,试以k表示点P的坐标;(2)求AB∙CP;(3)若CPAB,求P点的坐标.练习已知A、B、C的坐标分别为(3,4)、(9,1)和(7,7)，OABxyPCP解:(1)则x=,9+3k1+ky=.1+4k1+k即P点坐标为（，）.9+3k1+k1+4k1+k由已知，点P分BA的比为k,设P(x,y)，AB·CP=–.6(2–4k)1+k3(-6–3k)1+k(3)∵CP⊥AB,∴AB·CP=0,解得k=2,∴P点坐标为（5，3）.OABxyPCP(2)AB=(6,-3),CP=(–7,–7),1+4k1+k9+3k1+k1.已知正方形ABCD两顶点的坐标A(1,0)、B(4,1),求C、D坐标.2.等腰梯形ABCD的三个顶点坐标为A(-1,0)、B（2，1）、C（2，5），求点D的坐标.3.由三角形ABC的边AB、AC向外作正方形ABDE、ACFG,EG中点为M,求证：AM⊥BC.MGFEDABC作业