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-1-4.2.2圆与圆的位置关系目标导航知识梳理重难聚焦典例透析1.理解并掌握圆与圆的位置关系.2.会利用方程组判断圆与圆的位置关系,并能解决有关问题.目标导航知识梳理重难聚焦典例透析判断圆与圆的位置关系(1)几何法:圆O1:(x-x1)2+(y-y1)2=𝑟12(𝑟10),圆𝑂2:(𝑥−𝑥2)2+(𝑦−𝑦2)2=𝑟22(𝑟20),两圆的圆心距d=|O1O2|=(𝑥1-𝑥2)2+(𝑦1-𝑦2)2,则有位置关系外离外切相交内切内含图示d与r1,r2的关系dr1+r2d=r1+r2|r1-r2|dr1+r2d=|r1-r2|d|r1-r2|目标导航知识梳理重难聚焦典例透析(2)代数法:圆O1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0,圆O2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0,两圆的方程联立得方程组,则有方程组解的个数2组1组0组两圆的公共点个数210两圆的位置关系相交外切或内切外离或内含目标导航知识梳理重难聚焦典例透析【做一做】圆x2+y2=4与圆(x-4)2+(y-7)2=1的位置关系是()A.相交B.外切C.内切D.外离答案:D目标导航知识梳理重难聚焦典例透析理解判定圆与圆的位置关系的两种方法剖析:几何法是利用两圆半径的和或差与圆心距作比较,得到两圆的位置关系;代数法则是把两圆位置关系的判定完全转化为代数问题,转化为方程组的解的组数问题,从而进一步体现了几何问题与代数问题之间的相互联系,但这种代数判定方法只能判断出不相交、相交、相切三种位置关系,而不能像几何判定方法一样,能判断出外离、外切、相交、内切、内含五种位置关系.例如,当由两圆的方程联立的方程组只有1组解时,圆与圆有内切与外切两种关系,具体是哪一种相切,这是用代数法无法判断的,因此,在一般情况下,使用几何法判定两圆的位置关系问题,只有在特定的情况下,才使用代数法,比如,只要求判断两圆是否相交或相切或不相交.目标导航知识梳理重难聚焦典例透析知识拓展若两圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0;C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0相交时,则公共弦所在的直线方程为(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0.目标导航知识梳理重难聚焦典例透析题型一题型二题型三题型四题型一判断两圆的位置关系【例1】已知圆C1:x2+y2-2ax-2y+a2-15=0,圆C2:x2+y2-4ax-2y+4a2=0(a0).试求当a为何值时,两圆C1,C2:(1)相切;(2)相交;(3)外离.解:对圆C1,C2的方程,配方可得:圆C1:(x-a)2+(y-1)2=16,圆C2:(x-2a)2+(y-1)2=1.所以C1(a,1),r1=4,C2(2a,1),r2=1,所以|C1C2|=(𝑎-2𝑎)2+(1-1)2=𝑎.目标导航知识梳理重难聚焦典例透析题型一题型二题型三题型四(1)当|C1C2|=r1+r2=5,即a=5时,两圆外切,当|C1C2|=r1-r2=3,即a=3时,两圆内切.(2)当3|C1C2|5,即3a5时,两圆相交.(3)当|C1C2|5,即a5时,两圆外离.目标导航知识梳理重难聚焦典例透析题型一题型二题型三题型四【变式训练1】圆O1:x2+y2-2x+4y+4=0和圆O2:x2+y2-4x+2y+194=0的位置关系是()A.相切B.外离C.内含D.相交解析:两圆的圆心和半径分别为O1(1,-2),r1=1,O2(2,-1),r2=12,则圆心距d=|O1O2|=(1-2)2+(-2+1)2=2.由1-12𝑑1+12,得两圆相交.答案:D目标导航知识梳理重难聚焦典例透析题型一题型二题型三题型四题型二与两圆相交有关的问题【例2】已知圆C1:x2+y2-10x-10y=0和圆C2:x2+y2+6x+2y-40=0相交于A,B两点,求弦AB的长.解法一:由𝑥2+𝑦2+6𝑥+2𝑦-40=0,𝑥2+𝑦2-10𝑥-10𝑦=0,解得𝑥=-2,𝑦=6或𝑥=4,𝑦=-2.所以(-2,6),(4,-2)是两圆的交点.所以|AB|=(-2-4)2+(6+2)2=10,即弦AB的长为10.目标导航知识梳理重难聚焦典例透析题型一题型二题型三题型四解法二:两圆的方程相减得弦AB所在的直线方程为4x+3y-10=0.圆心C1(5,5)到直线AB的距离为d=|20+15-10|5=5,而圆C1的半径为r=52.由圆的性质,可知|AB|=2𝑟2-𝑑2=250-25=10.即弦AB的长为10.目标导航知识梳理重难聚焦典例透析题型一题型二题型三题型四反思两圆的相交问题可由两圆方程相减,先得到公共弦所在的直线方程,从而将问题转化为直线与圆的相交问题.其步骤如下:两圆的方程作差→得公共弦方程→求弦心距→求半弦长→弦长目标导航知识梳理重难聚焦典例透析题型一题型二题型三题型四【变式训练2】求两圆x2+y2-2x+10y-24=0和x2+y2+2x+2y-8=0的公共弦所在直线的方程及公共弦长.解:联立两圆的方程得方程组𝑥2+𝑦2-2𝑥+10𝑦-24=0,𝑥2+𝑦2+2𝑥+2𝑦-8=0,两式相减得x-2y+4=0,此即为两圆公共弦所在直线的方程.方法一:设两圆相交于点A,B,则A,B两点满足方程组𝑥-2𝑦+4=0,𝑥2+𝑦2+2𝑥+2𝑦-8=0,解得𝑥=-4,𝑦=0或𝑥=0,𝑦=2.所以|AB|=(-4-0)2+(0-2)2=25,目标导航知识梳理重难聚焦典例透析题型一题型二题型三题型四即公共弦长为25.方法二:由x2+y2-2x+10y-24=0,得(x-1)2+(y+5)2=50,其圆心坐标为(1,-5),半径长r=52,圆心到直线x-2y+4=0的距离为d=|1-2×(-5)+4|1+(-2)2=35.设公共弦长为2l,由勾股定理得r2=d2+l2,即50=(35)2+𝑙2,解得l=5,故公共弦长2l=25.目标导航知识梳理重难聚焦典例透析题型一题型二题型三题型四题型三与两圆相切有关的问题【例3】求与圆C:x2+y2-2x=0外切且与直线l:x+3𝑦=0相切于点𝑀(3,−3)的圆的方程.解:圆C的方程可化为(x-1)2+y2=1,则圆心为C(1,0),半径为1.设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r0).由题意,可得(𝑎-1)2+𝑏2=𝑟+1,𝑏+3𝑎-3×-33=-1,|𝑎+3𝑏|2=𝑟,目标导航知识梳理重难聚焦典例透析题型一题型二题型三题型四解得𝑎=4,𝑏=0,𝑟=2或𝑎=0,𝑏=-43,𝑟=6.所以所求圆的方程为(x-4)2+y2=4或x2+(y+43)2=36.反思当两圆外切时,常用圆心距等于半径之和求解,圆与直线相切时,常用圆心到这条直线的距离等于圆的半径求解;若已知切点坐标,也可以用切点与圆心间的距离等于圆的半径求解.目标导航知识梳理重难聚焦典例透析题型一题型二题型三题型四【变式训练3】求过点(0,6)且与圆C:x2+y2+10x+10y=0相切于原点的圆的方程.解:将圆C化为标准方程得(x+5)2+(y+5)2=50,故其圆心为(-5,-5).因为相切两圆的连心线过切点,所以圆C的圆心(-5,-5)、原点、所求圆的圆心在一条直线上,即所求圆的圆心在直线x-y=0上.又因为所求圆经过点(0,0)和(0,6),所以所求圆的圆心在直线y=3上.所以由𝑥-𝑦=0,𝑦=3可得所求圆的圆心为(3,3),所以所求圆的半径为32+32=32,故所求圆的方程为(x-3)2+(y-3)2=18.目标导航知识梳理重难聚焦典例透析题型一题型二题型三题型四题型四易错辨析易错点:不理解两圆相切而致错【例4】已知圆C1:x2+y2-2mx+4y+m2-5=0,圆C2:x2+y2+2x-2my+m2-3=0,当m的取值满足什么条件时,圆C1与圆C2相切?错解:对于圆C1与圆C2的方程,化为标准方程得C1:(x-m)2+(y+2)2=9,C2:(x+1)2+(y-m)2=4,所以两圆的圆心分别为C1(m,-2),C2(-1,m),半径分别为r1=3,r2=2,且|C1C2|=(𝑚+1)2+(𝑚+2)2.若圆C1与圆C2相切,则|C1C2|=r1+r2,即(𝑚+1)2+(𝑚+2)2=5,解得m=-5或m=2.错因分析:错解只考虑了外切的情况而把内切漏掉了.目标导航知识梳理重难聚焦典例透析题型一题型二题型三题型四正解:当两圆外切时,由错解中的结果知m=-5或m=2.当圆C1与圆C2内切时,则|C1C2|=|r1-r2|,即(𝑚+1)2+(𝑚+2)2=1,解得m=-1或m=-2.综上可知,当m=-5或m=2或m=-1或m=-2时,两圆相切.反思两圆外切和内切统称为相切,d=|r1-r2|⇔内切;d=r1+r2⇔外切.