搜索
-1-4.1.2圆的一般方程目标导航知识梳理重难聚焦典例透析1.正确理解圆的一般方程及其特点.2.能进行圆的一般方程和标准方程的互化.3.会求圆的一般方程以及简单的轨迹方程.目标导航知识梳理重难聚焦典例透析1.圆的一般方程(1)方程:当D2+E2-4F0时,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0叫做圆的一般方程,其中圆心为-𝐷2,-𝐸2,半径为12𝐷2+𝐸2-4𝐹.(2)说明:方程x2+y2+Dx+Ey+F=0不一定表示圆.当且仅当D2+E2-4F0时,表示圆;当D2+E2-4F=0时,表示一个点-𝐷2,-𝐸2;当D2+E2-4F0时,不表示任何图形.12(3)用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤:①根据题意,选择标准方程或一般方程;②根据条件列出关于a,b,r或D,E,F的方程组;③解出a,b,r或D,E,F,代入标准方程或一般方程.目标导航知识梳理重难聚焦典例透析12归纳总结1.圆的一般方程的特点:(1)x2,y2项的系数相等且不为零(如果x2,y2项的系数为不是1的非零常数,只需在方程两边同时除以这个数,系数就可变为1);(2)没有xy项;(3)D2+E2-4F0.2.关于x,y的二元二次方程Ax2+By2+Cxy+Dx+Ey+F=0表示圆的条件是:(1)A=B≠0;(2)C=0;(3)D2+E2-4AF0.目标导航知识梳理重难聚焦典例透析12【做一做1-1】圆x2+y2-2x+4y=0的圆心坐标是()A.(1,-2)B.(1,2)C.(-1,2)D.(-1,-2)解析:D=-2,E=4,则圆心坐标为--22,-42,即(1,-2).答案:A目标导航知识梳理重难聚焦典例透析12解析:D=-6,E=8,F=0,则半径r=12𝐷2+𝐸2-4𝐹=1236+64=5.答案:C【做一做1-2】圆x2+y2-6x+8y=0的半径等于()A.3B.4C.5D.25目标导航知识梳理重难聚焦典例透析122.轨迹方程点M的坐标(x,y)满足的关系式称为点M的轨迹方程.知识拓展当动点M的变化是由点P的变化引起的,并且点P在某一曲线C上运动时,常用中间量法(又称为相关点法)来求动点M的轨迹方程,其步骤是:(1)设动点M(x,y);(2)用点M的坐标来表示点P的坐标;(3)将所得点P的坐标代入曲线C的方程,即得动点M的轨迹方程.目标导航知识梳理重难聚焦典例透析12【做一做2】已知点P(x0,y0)是圆x2+y2=4上的动点,点M是OP(O是原点)的中点,则动点M的轨迹方程是.答案:x2+y2=1目标导航知识梳理重难聚焦典例透析121.圆的标准方程和一般方程的对比剖析:(1)由圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2(r0),可以直接看出圆心坐标(a,b)和半径r,圆的几何特征明显.(2)由圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F0),知道圆的方程是一种特殊的二元二次方程,圆的代数特征明显.(3)相互转化,如图所示.目标导航知识梳理重难聚焦典例透析122.由圆的一般方程判断点与圆的位置关系剖析:已知点M(x0,y0)和圆的方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F0),则其位置关系如下表:位置关系代数关系点M在圆外x02+y02+𝐷𝑥0+𝐸𝑦0+𝐹0点M在圆上x02+y02+𝐷𝑥0+𝐸𝑦0+𝐹=0点M在圆内x02+y02+𝐷𝑥0+𝐸𝑦0+𝐹0目标导航知识梳理重难聚焦典例透析题型一题型二题型三题型一圆的一般方程的概念辨析【例1】判断关于x,y的方程x2+y2-4mx+2my+20m-20=0能否表示圆,若能表示圆,求出圆心坐标和半径.解法一:由方程x2+y2-4mx+2my+20m-20=0,可知D=-4m,E=2m,F=20m-20,则D2+E2-4F=16m2+4m2-80m+80=20(m-2)2,当m=2时,D2+E2-4F=0,原方程表示一个点;当m≠2时,D2+E2-4F0,原方程表示圆的方程,此时,圆的圆心坐标为(2m,-m),半径为r=12𝐷2+𝐸2-4𝐹=5|𝑚−2|.目标导航知识梳理重难聚焦典例透析题型一题型二题型三解法二:原方程可化为(x-2m)2+(y+m)2=5(m-2)2,当m=2时,原方程表示一个点;当m≠2时,原方程表示圆的方程,此时,圆的圆心坐标为(2m,-m),半径为r=5|𝑚−2|.反思形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的二元二次方程,判定其是否表示圆时有如下两种方法:(1)由圆的一般方程的定义判断D2+E2-4F是否为正.若D2+E2-4F0,则方程表示圆,否则不表示圆.(2)将方程配方变形成“标准”形式后,根据圆的标准方程的特征,观察是否可以表示圆.目标导航知识梳理重难聚焦典例透析题型一题型二题型三【变式训练1】若关于x,y的方程x2+y2+2mx-2y+m2+5m=0表示圆.求:(1)实数m的取值范围;(2)圆心坐标和半径.解:(1)根据题意知D2+E2-4F=(2m)2+(-2)2-4(m2+5m)0,即4m2+4-4m2-20m0,解得m15.故m的取值范围为-∞,15.(2)将方程x2+y2+2mx-2y+m2+5m=0化成标准方程为(x+m)2+(y-1)2=1-5m.故圆心坐标为(-m,1),半径r=1-5𝑚.目标导航知识梳理重难聚焦典例透析题型一题型二题型三题型二求圆的一般方程【例2】已知A(2,2),B(5,3),C(3,-1),求△ABC外接圆的方程.解:设△ABC外接圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.由题意,得2𝐷+2𝐸+𝐹+8=0,5𝐷+3𝐸+𝐹+34=0,3𝐷-𝐸+𝐹+10=0,解得𝐷=-8,𝐸=-2,𝐹=12,即△ABC外接圆的方程为x2+y2-8x-2y+12=0.目标导航知识梳理重难聚焦典例透析题型一题型二题型三反思当给出的条件与圆心坐标、半径有关,或者由已知条件容易求得圆心坐标和半径时,一般用圆的标准方程比较方便;否则,用圆的一般方程较好,特别是当给出圆上的三点坐标时,用一般方程可以得到关于D,E,F的三元一次方程组,这比用圆的标准方程简便得多.目标导航知识梳理重难聚焦典例透析题型一题型二题型三【变式训练2】求圆心在直线l:2x-y-3=0上,且过点A(5,2)和点B(3,-2)的圆的方程.解:设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.则由题意得5𝐷+2𝐸+𝐹+29=0,3𝐷-2𝐸+𝐹+13=0,-𝐷+𝐸2-3=0,解得𝐷=-4,𝐸=-2,𝐹=-5,所以所求圆的方程为x2+y2-4x-2y-5=0.目标导航知识梳理重难聚焦典例透析题型一题型二题型三题型三求轨迹方程【例3】等腰三角形的顶点是A(4,2),底边一个端点是B(3,5),求另一个端点C的轨迹方程,并说明它的轨迹是什么.解:设另一端点C的坐标为(x,y).依题意,得|AC|=|AB|,由两点间的距离公式,得(𝑥-4)2+(𝑦-2)2=(4-3)2+(2-5)2,整理得(x-4)2+(y-2)2=10.这是以点A(4,2)为圆心如图所示,又因为A,B,C为三角形的三个顶点,所以A,B,C三点不共线,即点B,C不能重合且B,C不能为圆A的一条直径的两个端点.,以10为半径的圆,目标导航知识梳理重难聚焦典例透析题型一题型二题型三因为点B,C不能重合,所以点C不能为(3,5).又因为点B,C不能为一条直径的两个端点,所以𝑥+32≠4,且𝑦+52≠2,即点C不能为(5,-1).故端点C的轨迹方程是(x-4)2+(y-2)2=10(除去点(3,5)和(5,-1)),它的轨迹是以点A(4,2)为圆心,10为半径的圆,但除去(3,5)和(5,-1)两点.目标导航知识梳理重难聚焦典例透析题型一题型二题型三反思1.求轨迹方程的三种常用方法(1)直接法:根据题目条件,建立平面直角坐标系,设出动点坐标,找出动点满足的条件,然后化简、证明.(2)定义法:动点的运动轨迹符合圆的定义时,可利用圆的定义写出动点的轨迹方程.(3)代入法:若动点P(x,y)依赖于某圆上的一个动点Q(x1,y1)而运动,先把x1,y1用x,y表示,再将点Q的坐标代入到已知圆的方程中,得出点P的轨迹方程.目标导航知识梳理重难聚焦典例透析题型一题型二题型三2.求曲线的轨迹方程要注意以下三点:(1)根据题目条件,选用适当的求轨迹方程的方法.(2)看准是求轨迹,还是求轨迹方程,轨迹是轨迹方程所表示的曲线(图形).(3)检查轨迹上是否有应去掉的点或漏掉的点.目标导航知识梳理重难聚焦典例透析题型一题型二题型三【变式训练3】已知点A(-1,1),B(3,3)是圆C的一条直径的两个端点,又点M在圆C上运动,点N(4,-2),求线段MN的中点P的轨迹方程.解:因为A,B是圆C直径的两个端点,所以圆心C(1,2),半径r=(3-1)2+(3-2)2=5,所以圆的方程为(x-1)2+(y-2)2=5.设P(x,y),M(x0,y0),因为M,N的中点是P,所以𝑥0=2𝑥-4,𝑦0=2𝑦+2.因为M在圆C上,所以(2x-5)2+(2y)2=5,即𝑥-522+𝑦2=54.故线段MN的中点P的轨迹方程是𝑥-522+𝑦2=54.