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§5.6平面向量的数量积及运算律南海中学数学组周福隽F引入•[问题]如图，一辆车在力F的作用下产生位移S，那么力所做的功可用下式计算：•其中θ是F与S的夹角。W=FSCOSθθS向量的数量积或内积二向量的夹角一平面向量数量积的定义三平面向量数量积的几何定义四平面向量数量积重要性质阅读提示：解：=cosθabab.例１已知a＝５,b＝４,a与b的夹角θ＝１２００，求,a2ab.=5x4xcos１２００=5x4x(-1/2)=-10一平面向量数量积的定义已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量叫做a与b的数量积（或内积），记作a.b，即abcosθabcosθa.b=解：例１已知a＝５,b＝４,a与b的夹角θ＝１２００，求,a2ab.一平面向量数量积的定义已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量叫做a与b的数量积（或内积），记作a.b，即abcosθabcosθa.b==52=25=aacosα=a2=a.aa2=aacos0a2=a2a=a2已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量叫做a与b的数量积（或内积），记作a.b，即abcosθ一平面向量数量积的定义abcosθa.b=并且规定，零向量与任一向量的数量积为0，即0.a=0注意：2符号中的“.”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替．1结果是一个实数．例２已知在△ABC中，BC=５，CA=８，∠C=６００，求BC.CAACBabcosθa.b=二向量的夹角(θ)请判断，在下列各图中AOB是否为给出向量的夹角(1)oAB(4)oAB(3)oAB(2)oAB二向量的夹角(θ)(1)oAB(4)oAB注意：1.在两向量的夹角的定义中，两向量必须是同起点．请判断，在下列各图中AOB是否为给出向量的夹角2.且θ∈[０,π]二向量的夹角(θ)注意：1.在两向量的夹角的定义中，两向量必须是同起点．3.当θ＝０时，a与b同向4.当θ＝π时，a与b反向5.当θ＝π／2时，a与b垂直，记作ab2.且θ∈[０,π]abcosθa.b=6.当θ∈［０,π/2)时,a.b＞０，当θ∈(π/２,π］时,a.b＜０，当θ=π/2,a.b=0例２已知在△ABC中，BC=５，CA=８，∠C=６００，求BC.CAACB∵∠C=６００∴向量BC与CA所成的角为１２００D=5×8x(-1/2)=-20解：∴BC.CA=BCCACOS１２００oooBBBB1(B1)B1AAA(3)(2)(1)三平面向量数量积的几何定义aaabbbOB1=bcosθ则，把bcosθ叫做向量b在a方向上的投影数量积a.b等于a的长度a与b在a的方向上的投影bcosθ的乘积．因此，得到a.b的几何意义：θθθabcosθa.b=a.b=abcosπ=-ab设a,b都是非零向量，e是与b方向相同的单位向量，θ是a与b的夹角，则(1)e.a=a.b=０=abcos０a.e=aecosθ=acosθ(2)ab(3)当a与b同向时,当a与b反向时,a.b=abcosθ=aba.b(4)cosθ=a.bab四平面向量数量积重要性质(5)a.bab≤已知a=4，则a2=16特别地，a.a=a2或a=a.a例４判断正误，并说明理由．(1)a.0=0(2)0.a=0(3)0-AB=BA(5)若a≠0,则对任一非零向量b有a.b≠０(6)若a.b=0,则a与b中至少有一个为０．(7)a与b是两个单位向量，则a2=b2(4)a.b=ab×××××(8)a,b是两个非零向量,a.b=ab是a,b共线的充要条件．×(9)若a≠0,a.b=a.c,则b=c(10)若a.b=a.c,则b≠c当且仅当a=0时成立××作业：出Ｐ１５３三．７，８，９小结：１两种定义２五个性质例３已知a=12，b=9,a.b=-542,求a和b的夹角θcosθ=a.bab=-54212×9=-22解：∵∴且θ∈[０,π]θ=π43