高一数学课件正弦定理高一数学课件

授课教师：pygzhhpx——2004年5月10日——一.引入.C.B.A引例：为了测定河岸A点到对岸C点的距离，在岸边选定1公里长的基线AB，并测得∠ABC=120o，∠BAC=45o，如何求A、C两点的距离？AsinaBsinbCsincAsinaBsinbCsinccbca1.特例:在Rt△ABC中,∠C=90°，==，是否成立?初中学过锐角三角函数定义:sinA=sinB=∠C=90°,易证==BCAcba2．能否推广到斜三角形？证明一（传统证法）在任意斜△ABC当中：AbcBacCabSABCsin21sin21sin21两边同除以abc21即得：.sinsinsinCcBbAa3．用向量证明：证二：过A作单位向量j垂直于,ACACCBAB两边同乘以单位向量,jAC()CBABjj则：ACCBABjjj)90cos()90cos(90cosAABjCCBjACjoooAcCasinsin.sinsinCcAa同理：若过C作垂直于jCB得：.sinsinCcBb.sinsinsinCcBbAajACB图当△ABC为钝角三角形时，设A90过A作单位向量j垂直于向量,ACjACB图则j与,AB的夹角为A-90,j与,BC的夹角为90-C.同样可证得.sinsinsinCcBbAa这就是说，对于锐角三角形、直角三角形、钝角三角形来说，上面的关系式均成立.因此.我们得到下面的定理.二.正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即.sinsinsinCcBbAa1正弦定理的叙述：在一个三角形中。各边和它所.sinsinsinCcBbAa对角的正弦比相等，即：它适合于任何三角形。2可以证明.2sinsinsinRCcBbAa（R为△ABC外接圆半径）3每个等式可视为一个方程：知三求一三、正弦定理的应用从理论上正弦定理可解决两类问题：1．两角和任意一边，求其它两边和一角；2．两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角。例一、在△ABC中，已知10cA=45C=30A=45C=30求b（保留两个有效数字）.sinsinCcBb解：00000105)3045(180)(180CAB1930sin105sin10sinsin00CBcb例二、在△ABC中，已知20ab=28A=40求B(精确到1)和c（保留两个有效数字）8999.02040sin28sinsin0aAbB解：.116,640201BB.76)4064(180)(180,64000010101ABCB时当.3040sin76sin20sinsin0011ACac.24)40116(180)(180,116000020202ABCB时当.1340sin24sin20sinsin0022ACac例三、在△ABC中，已知60ab=50A=38求B(精确到1)和c（保留两个有效数字）解：已知ba，所以BA，因此B也是锐角.aAbBsinsin6036sin5005131.0031B00000111)3138(180)(180BAC.9138sin111sin60sinsin00ACac三、小结：正弦定理，两种应用已知两边和其中一边对角解斜三角形有两解或一解（见图示）CCCCABAAABBbabbbaaaa1B2Ba=bsinA一解bsinAab两解一解a=bsinA一解讨论已知两边和一边对角的斜三角形的解：A为钝角或直角A为锐角a＞ba≤ba≥ba＜bsinAa=bsinAa＞bsinA一解无解一解无解一解两解A的范围a,b关系解的情况（按角A分类）1、判断题:根据已知条件判断△ABC解的情况.(1)b=1，a=2，B=30o有一解；.(2)b=1，a=3，B=30o无解；.(3)b=1，a=，B=30o有一解；.(4)b=1，a=，B=150o有一解；.(5)b=，a=1，B=120o有两解..333掌声掌声五、作业P1341,2,32004.5