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-1-4.2.3直线与圆的方程的应用目标导航知识梳理重难聚焦典例透析1.能利用直线与圆的方程解决平面几何问题.2.能利用直线与圆的方程解决简单的实际生活问题.目标导航知识梳理重难聚焦典例透析直线与圆的方程的应用用坐标法解决平面几何问题的步骤:第一步:建立适当的平面直角坐标系,用坐标和方程表示问题中的几何元素,将平面几何问题转化为代数问题;第二步:通过代数运算,解决代数问题;第三步:把代数运算结果“翻译”成几何结论.这是用坐标方法解决平面几何问题的“三步曲”,又简称为“一建二算三译”.目标导航知识梳理重难聚焦典例透析解决与圆相关的实际问题的步骤剖析:解决此类问题的基本步骤如下:(1)阅读理解,认真审题.做题时,读懂题中的文字叙述,理解叙述中所反映的实际背景,领悟从背景中概括出来的数学实质,尤其是理解叙述中的新名词、新概念,进而把握新信息.在此基础上,分析出已知什么,求什么,涉及哪些知识,以确定变量之间的关系.审题时要抓住题目中关键的量,实现应用问题向数学问题的转化.目标导航知识梳理重难聚焦典例透析(2)引进数学符号或圆的方程,建立数学模型.根据已知条件,运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立方程(组)或函数关系式,将实际问题转化为一个数学问题,实现问题的数学化,即建立数学模型.如果题目已经告知曲线是圆,则需要建立适当的平面直角坐标系,设出圆的方程,为求解方程或计算做准备.(3)利用数学的方法将得到的常规数学问题(即数学模型)予以解答,求得结果.(4)翻译成具体问题.目标导航知识梳理重难聚焦典例透析题型一题型二题型一用坐标法证明几何问题【例1】如图,在半径为1的圆O上任取点C为圆心,作一圆与圆O的直径AB相切于点D,圆C与圆O交于点E,F.求证:EF平分CD.目标导航知识梳理重难聚焦典例透析题型一题型二证明:以AB所在直线为x轴,以AB的中点O为原点建立平面直角坐标系,如图所示,则圆O的方程为x2+y2=1.①设圆C的圆心为C(x1,y1),则可得圆C的方程为(x-x1)2+(y-y1)2=𝑦12,即x2+y2-2x1x-2y1y+𝑥12=0.②①-②,得2x1x+2y1y-1−𝑥12=0.③③式就是直线EF的方程.设CD的中点为H,其坐标为𝑥1,𝑦12,将H代入③式,得2𝑥12+2𝑦1·𝑦12−1−𝑥12=2𝑥12+𝑦12−1−𝑥12=𝑥12+𝑦12−1=0,即CD的中点H在EF上.故EF平分CD.目标导航知识梳理重难聚焦典例透析题型一题型二反思1.用坐标法解决几何问题时,先用坐标和方程表示相应的几何元素:点、直线、圆,将几何问题转化为代数问题;然后通过代数运算解决代数问题;最后解释代数运算结果的几何含义,得到几何问题的结论.2.用坐标法解决实际问题的关键是把它转化为数学问题.目标导航知识梳理重难聚焦典例透析题型一题型二【变式训练1】如图,Rt△ABC的斜边长为定值2m,以斜边的中点O为圆心作半径为n的圆,直线BC交圆于P,Q两点,求证:|AP|2+|AQ|2+|PQ|2为定值.证明:如图,以O为坐标原点,以直线BC为x轴,建立平面直角坐标系,于是有B(-m,0),C(m,0),P(-n,0),Q(n,0).设A(x,y),由已知,点A在圆x2+y2=m2上.|AP|2+|AQ|2+|PQ|2=(x+n)2+y2+(x-n)2+y2+4n2=2x2+2y2+6n2=2m2+6n2(定值).目标导航知识梳理重难聚焦典例透析题型一题型二题型二实际应用问题【例2】某圆拱桥的示意图如图所示,该圆拱的跨度AB是36m,拱高OP是6m,在建造时,每隔3m需用一个支柱支撑,求支柱A2P2的长.(精确到0.01m)(参考数据2≈1.414,3≈1.732)目标导航知识梳理重难聚焦典例透析题型一题型二解:如图,以线段AB所在的直线为x轴,线段AB的中点O为坐标原点建立平面直角坐标系,则点A,B,P的坐标分别为(-18,0),(18,0),(0,6).设圆拱所在的圆的方程是x2+y2+Dx+Ey+F=0.因为点A,B,P在圆拱所在的圆上,所以182-18𝐷+𝐹=0,182+18𝐷+𝐹=0,62+6𝐸+𝐹=0,解得𝐷=0,𝐸=48,𝐹=-324.目标导航知识梳理重难聚焦典例透析题型一题型二故圆拱所在的圆的方程是x2+y2+48y-324=0.将点P2的横坐标x=6代入上式,解得答:支柱A2P2的长约为5.39m.y=-24+126≈5.39(m)(负值舍去).目标导航知识梳理重难聚焦典例透析题型一题型二反思在实际问题中,遇到有关直线和圆的问题,通常建立坐标系,利用坐标法解决.建立适当的直角坐标系应遵循三点:(1)若曲线是轴对称图形,则可选它的对称轴为坐标轴;(2)常选特殊点作为直角坐标系的原点;(3)尽量使已知点位于坐标轴上.建立适当的直角坐标系,会简化运算过程.目标导航知识梳理重难聚焦典例透析题型一题型二【变式训练2】一座圆形拱桥,当水面在l位置时,拱顶离水面2m,水面宽为12m,问:水面下降1m后,水面宽多少米?解以拱桥的拱顶为坐标原点,以过拱顶的竖直直线为y轴,建立平面直角坐标系.设圆心为C,水面所在弦的端点为A,B(A在B的右侧),则由已知得A(6,-2).设圆的半径为r,则C(0,-r),即圆的方程为x2+(y+r)2=r2.①将点A的坐标(6,-2)代入①,解得r=10,所以圆的方程为x2+(y+10)2=100.②当水面下降1m时,设点A'的坐标为(x0,-3)(x00),将A'的坐标(x0,-3)代入方程②,解得x0=51.所以水面下降1m后,水面的宽为2x0=251m.