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-1-4.2直线、圆的位置关系-2-4.2.1直线与圆的位置关系目标导航知识梳理重难聚焦典例透析1.知道直线与圆的位置关系的分类.2.能根据方程,判断直线和圆的位置关系.3.能够解决有关直线和圆的位置关系的问题.目标导航知识梳理重难聚焦典例透析直线Ax+By+C=0与圆(x-a)2+(y-b)2=r2(r0)的位置关系及判断位置关系相交相切相离公共点个数210判定方法几何法:设圆心到直线的距离d=|Aa+Bb+C|A2+B2drd=rdr代数法:由Ax+By+C=0,(x-a)2+(y-b)2=r2消元得到一元二次方程的判别式ΔΔ0Δ=0Δ0目标导航知识梳理重难聚焦典例透析名师点拨求直线与圆相交截得的弦长的方法(1)应用圆中直角三角形:半径r,圆心到直线的距离d,弦长l具有的关系r2=d2+𝑙22.(2)利用弦长公式:设直线l:y=kx+b,与圆的两交点(x1,y1),(x2,y2),将直线方程代入圆的方程,消元后利用根与系数的关系得弦长l=1+𝑘2|𝑥1−𝑥2|=(1+𝑘2)[(𝑥1+𝑥2)2-4𝑥1𝑥2].目标导航知识梳理重难聚焦典例透析【做一做】直线3x+4y+12=0与圆(x-1)2+(y+1)2=9的位置关系是()A.相交且过圆心B.相切C.相离D.相交但不过圆心解析:由题意知圆心坐标为(1,-1),圆的半径r=3,圆心到直线3x+4y+12=0的距离所以直线与圆相交但不过圆心.答案:Dd=|3-4+12|32+42=115𝑟=3.目标导航知识梳理重难聚焦典例透析代数法与几何法的比较剖析:代数法的运算量较大,几何法的运算量较小,并且也简单、直观.受思维定势的影响,看到方程就想解方程组,自然就想到代数法.目标导航知识梳理重难聚焦典例透析【例】若直线4x-3y+a=0与圆x2+y2=100:①相交;②相切;③相离,试分别求实数a的取值范围.解法一:(代数法)得25x2+8ax+a2-900=0.则Δ=(8a)2-4×25(a2-900)=-36a2+90000.当直线和圆相交时,Δ0,即-36a2+90000=-36(a2-2500)0,也就是(a+50)(a-50)0,解得-50a50;当直线和圆相切时,Δ=0,解得a=50或a=-50;当直线和圆相离时,Δ0,解得a-50或a50.由方程组4𝑥-3𝑦+𝑎=0,𝑥2+𝑦2=100,消去y,目标导航知识梳理重难聚焦典例透析解法二:(几何法)圆x2+y2=100的圆心为(0,0),半径r=10,则圆心到直线4x-3y+a=0的距离d=|𝑎|32+42=|𝑎|5.当直线和圆相交时,dr,即|𝑎|510,所以-50a50;当直线和圆相切时,d=r,即|𝑎|5=10,所以a=50或a=-50;当直线和圆相离时,dr,即|𝑎|510,所以a-50或a50.注:代数法和几何法都具有普遍性,都要熟练掌握.由以上两种解法可看到,几何法比代数法运算量要小,也比较简单、直观.目标导航知识梳理重难聚焦典例透析题型一题型二题型三题型一直线与圆位置关系的判断及应用【例1】已知圆的方程为x2+y2=2,直线y=x+b,当b为何值时,圆与直线相交、相切、相离?解:(方法一)判断直线与圆的位置关系问题可转化为b为何值时,方程组𝑥2+𝑦2=2,𝑦=𝑥+𝑏①②有两组不同实数解;有两组相同实数解;无实数解的问题.把②代入①,整理得2x2+2bx+b2-2=0.③方程③的根的判别式Δ=(2b)2-4×2(b2-2)=-4(b+2)(b-2).目标导航知识梳理重难聚焦典例透析题型一题型二题型三当-2b2时,Δ0,方程组有两组不同实数解,因此直线与圆有两个公共点,直线与圆相交.当b=2或b=-2时,Δ=0,方程组有两组相同的实数解,因此直线与圆只有一个公共点,直线与圆相切.当b-2或b2时,Δ0,方程组没有实数解,因此直线与圆没有公共点,直线与圆相离.目标导航知识梳理重难聚焦典例透析方法二:如图,圆心O(0,0)到直线y=x+b的距离为d=|𝑏|2,圆的半径r=2.所以当d=r,|b|=2,即b=2或b=-2时,圆与直线相切.因为b为直线在y轴上的截距,数形结合可知,当-2b2时,直线与圆相交;当b2或b-2时,直线与圆相离.题型一题型二题型三目标导航知识梳理重难聚焦典例透析题型一题型二题型三【变式训练1】直线3x+4y-5=0与圆x2+y2=1的位置关系是()A.相交B.相离C.相切D.无法判断解析:因为圆的方程为x2+y2=1,所以圆心坐标为(0,0),半径为1,所以圆心到直线的距离故直线与圆相切.答案:Cd=532+42=1.目标导航知识梳理重难聚焦典例透析题型一题型二题型三题型二直线与圆的相交问题【例2】过点(-4,0)作直线l与圆x2+y2+2x-4y-20=0交于A,B两点,如果|AB|=8,求直线l的方程.解:将圆的方程配方得(x+1)2+(y-2)2=25,由圆的性质可得,圆心到直线l的距离d=(25)2-822=3.当l的斜率不存在时,x=-4满足题意.当l的斜率存在时,设方程为y=k(x+4),即kx-y+4k=0.由点到直线的距离公式,得3=|-𝑘-2+4𝑘|1+𝑘2,解得k=−512.所以直线l的方程为5x+12y+20=0.综上所述,直线l的方程为x+4=0或5x+12y+20=0.目标导航知识梳理重难聚焦典例透析题型一题型二题型三反思1.圆的弦长的计算,一般不用弦长公式或两点间的距离公式,以避开联立方程涉及交点的有关烦琐运算,而常用弦心距、半弦长、半径构成的直角三角形直接求解.2.若知弦长求直线时,要注意符合条件的直线条数,不要忽视斜率不存在的情形.目标导航知识梳理重难聚焦典例透析题型一题型二题型三【变式训练2】已知直线x+3𝑦−2=0与圆𝑥2+𝑦2=4相交于𝐴,𝐵两点,求弦𝐴𝐵的长.解:(方法一)根据直线和圆的方程易知,圆心(0,0)到直线x+3𝑦−2=0的距离为d=212+(3)2=1,又知圆的半径为2,所以弦长|AB|=222-12=23.(方法二)联立方程组𝑥+3𝑦-2=0,𝑥2+𝑦2=4消去x整理得y2−3𝑦=0,目标导航知识梳理重难聚焦典例透析题型一题型二题型三设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=3,𝑦1𝑦2=0,所以|AB|=1+1𝑘2|𝑦1−𝑦2|=1+3(𝑦1+𝑦2)2-4𝑦1𝑦2=23.(方法三)联立方程组𝑥+3𝑦-2=0,𝑥2+𝑦2=4,解之,得𝑥1=2,𝑦1=0或𝑥2=-1,𝑦2=3,故A(2,0),B(-1,3),所以弦长|AB|=(2+1)2+(0-3)2=23.目标导航知识梳理重难聚焦典例透析题型一题型二题型三题型三直线与圆的相切问题【例3】求经过点(1,-7)且与圆x2+y2=25相切的直线方程.解:当直线的斜率不存在时,其方程为x=1,不与圆相切;当直线的斜率存在时,设斜率为k,则切线方程为y+7=k(x-1),即kx-y-k-7=0.所以|-𝑘-7|𝑘2+(-1)2=5,解得k=43或k=−34.所以所求切线方程为y+7=43(𝑥−1)或y+7=−34(𝑥−1),即4x-3y-25=0或3x+4y+25=0.目标导航知识梳理重难聚焦典例透析题型一题型二题型三反思过一点求圆的切线的方法:(1)求过圆上一点(x0,y0)的圆的切线方程的求法:先求切点与圆心连线的斜率k,再由垂直关系得切线的斜率如果斜率为零或不存在,则由图形可直接得到切线方程y=y0或x=x0.(2)过圆外一点(x0,y0)的切线方程的求法:设切线方程为y-y0=k(x-x0),由圆心到直线的距离等于半径建立方程,可求得k,也就得到切线方程.当用此法只求出一个方程时,另一个方程应为x=x0,因为在上面解法中不包括斜率不存在的情况,而过圆外一点的切线有两条.一般不用联立方程组的方法求解.为−1𝑘,由点斜式可得切线方程.目标导航知识梳理重难聚焦典例透析题型一题型二题型三【变式训练3】过点A(4,-3)作圆(x-3)2+(y-1)2=1的切线,求此切线的方程.解:因为(4-3)2+(-3-1)2=171,所以点A在圆外.若所求直线的斜率存在,设切线斜率为k,则切线方程为y+3=k(x-4),即kx-y-4k-3=0.因为圆心C(3,1)到切线的距离等于半径1,所以|3𝑘-1-3-4𝑘|𝑘2+1=1,即|k+4|=𝑘2+1,所以k2+8k+16=k2+1.解得k=−158.所以切线方程为y+3=−158(𝑥−4),即15x+8y-36=0.目标导航知识梳理重难聚焦典例透析题型一题型二题型三若直线斜率不存在,圆心C(3,1)到直线x=4的距离也为1,这时直线与圆也相切,所以另一条切线方程是x=4.综上,所求切线方程为15x+8y-36=0或x=4.